一級倒立擺自動化設(shè)計-文庫吧
2025-04-21 13:20 本頁面
【正文】 模型的推導(dǎo) 對于忽略各種 摩擦參數(shù)和空氣阻力 之后，直線一即倒立擺抽象為小車河均質(zhì)桿組成的系統(tǒng) 本系統(tǒng)的 參數(shù)定義如下： 自動化 1101 第 4 頁 共 22 頁 下面我們對這個系統(tǒng)作一下受力分析。 N 和 P 為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。 應(yīng)用 Newton 方法來建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程過程如下： 分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程： NxbFxM ??? ??? (21) 由擺桿水平方向的受力進行分析可以得到下面等式： 22 ( si n )dN m x ldt ??? (22) 2c os si nN m x m l m l? ? ? ?? ? ? (23) 把這個等式代入上式中，就得到系統(tǒng)的第一個運動方程： M 小車質(zhì)量（本實驗為 ） m 擺桿質(zhì)量 (本實驗為 ) b 小車摩擦系數(shù) (本實驗為 ) l 擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度 (本實驗為 ) I 擺桿慣量 (本實驗為 *m*m) F 加在小車上的力 x 小車位置 （變量） φ 擺桿與垂直向上方向的夾角 （輸出） θ 擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始 位置為豎直向下） 圖 3： 倒立擺系統(tǒng)小車和擺桿的受力分析 自動化 1101 第 5 頁 共 22 頁 FmlmlxbxmM ????? ???? s i nc o s)( 2?????? （ 24） 為了推出系統(tǒng)的第二個運動方程，我們對擺桿垂直方向上的合力進行分析，可以得到下面方程： 22 ( c o s )dP m g m ldt ?? ? ? (25) 2sin c o sP m g m l m l? ? ? ?? ? ? (26) 力矩平衡方程如下： ??? ??INlPl ??? c o ss in (27) 注 意 ： 此 方 程 中 力 矩 的 方 向 ， 由 于??????? s i ns i n,c o sc o s, ?????? ，故等式前面有負號。 合并這兩個方程，約去 P 和 N ，得到第二個運動方程： ??? c o ss i n)( 2 xmlm g lmlI ???? ???? (28) 建模 設(shè) ??? ?? ，當擺桿與垂直向上方向之間的夾角 ? 與 1（單位是弧度）相比很小，即 1??? 時，則可以進行近似處理： 1cos ??? ， ?? ??sin ，0)( 2 ?dtd? 。為了與控制理論的表達習(xí)慣相統(tǒng)一，即 u 一般表示控制量，用 u 來代表被控對象的輸入力 F ，線性化后得到該系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的微分方程表達式： ? ?????????????umlxbxmMxmlm glmlI??? ?????????)(2 (29) 自動化 1101 第 6 頁 共 22 頁 建模 對方程組（ 29）進行拉普拉斯變換，得到 ? ?????? ????? ????? )()()()()( )()()(22222sUssmlssbXssXmMssm lXsm glssmlI (210) 注意：推導(dǎo)傳遞函數(shù)時假設(shè)初始條件為 0。 由于輸出為 角度 ? ，求解方程組（ 210）的第一個方程，可以得到 )(])([)( 22 ssgmlmlIsX ???? (211) ? ?? ? ? ? 222s m lsXsI m l s m gl? ??? (212) 如果令 vx? ，則有： ? ?? ? ? ?22s mlVs I m l s m gl? ? ?? (213) 把 上 式 代 入 方 程 組 （ 210 ） 的 第 二 個 方 程 ， 得 到)()()()()()()( 22222sUssmlsssgml mlIbsssgml mlImM?????????? ?????????? ??? (214) 整理后得到以輸入力 u 為輸入量，以擺桿擺角 ? 為輸出量的傳遞函數(shù)224 3 2()() ( ) ( )ml ss qUs b I m l M m m g l b m g ls s s sq q q? ???? ? ? (215) 其中 ])())([( 22 mlmlImMq ???? 由現(xiàn)代控制理論 原理可知，控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程可寫成如下形式： 自動化 1101 第 7 頁 共 22 頁 DuCXY BuAXX ?? ??? (216) 方程組（ 29）對 ???,x 解代數(shù)方程，得到如下解： ????????????????????????????????????uM mlmMImlM mlmMImMmg lxM mlmMIml buM mlmMImlIM mlmMIglmxM mlmMIbmlIxxx2222222222)()()()()()()()()(??????????????? (217) 整理后得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程： uM m lmMImlM m lmMImlIxxM m lmMImMm g lM m lmMIm l bM m lmMIglmM m lmMIbmlIxx??????????????????????????????????????????????
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