【正文】 )U x E? , 1( ) 0Px? , 粒子將停止下來 . 它的全部動(dòng)能轉(zhuǎn)化為勢(shì)能 , 因而運(yùn)動(dòng)將向相反的方向進(jìn)行 :1x 是反轉(zhuǎn)點(diǎn) . 因此 , 當(dāng) mEU? 時(shí) ,從左邊來的粒子不能穿過勢(shì)能極大值的區(qū)域 0()xx? , 因而便不能進(jìn)入第二個(gè)區(qū)域 0xx? 去 . 相似地 , 如果粒子是從右向左運(yùn)動(dòng)的 ,而且 mEU? , 則它便不能進(jìn)入第二個(gè)反轉(zhuǎn) 點(diǎn) 2x 后面的區(qū)域去 , 因?yàn)樵?2x 點(diǎn)上 2()U x E? (參閱圖 ). 因此對(duì)于所有能量小于 mU 的粒子來說 ,勢(shì)壘都是一個(gè)“ 不透明 ” 的壁壘 . 相反地 , 對(duì)于能量 大于 mU 的粒子 , 勢(shì)壘則是 “ 透明 ” 的 . 這也就說明了 “ 勢(shì)壘 ” 這個(gè)名稱的來源 . ()UxmEU?mEU?mEU?x0xO圖 一維勢(shì)壘 1x 2x數(shù)字與標(biāo)題間空一格 , 數(shù)字用 Times New Roman字體 ,文字用黑體 加粗 ,字號(hào)均為三號(hào) .居中 . 二級(jí)標(biāo)題級(jí)別為標(biāo)題 2,格式左對(duì)齊首行縮進(jìn) 2字符 (或 字符 ,與正文首行對(duì)齊即可 , 數(shù)字用 Times New Roman 字體 ,文字用黑體 加粗 ,字號(hào)均為 四 號(hào) ,數(shù)字與文字空一格 .單倍行距 .如在章標(biāo)題下或位于本頁(yè)第一行 ,段前空 0 行 ,段后空 行 ,如在文中位置時(shí)采用段前空 1 行 ,段后空 行 . 三級(jí)標(biāo)題級(jí)別為標(biāo)題 3,格式左對(duì)齊首行縮進(jìn) 2字符 , 數(shù)字用 Times New Roman 字體 ,文字用 宋體加粗 ,字號(hào)均為 小四 號(hào) ,數(shù)字與文字空一格 .單倍行距 .如在章標(biāo)題下或位于本頁(yè)第一行 ,段前空 0 行 ,段后空 ,如在文中位置時(shí)采用段前空 1行 ,段后空 . 四級(jí)標(biāo)題級(jí)別為標(biāo)題 4,格式左對(duì)齊首行縮進(jìn) 2字符 , 數(shù)字用 Times New Roman 字體 ,文字用 宋 體 加粗 ,字號(hào)均為 小四 號(hào) ,數(shù)字與文字空一格 .單倍行距 .如在章標(biāo)題下或位于本頁(yè)第一行 ,段前空 0 行 ,段后空 ,如在文中位置時(shí)采用段前空 1行 ,段后空 .一般不要用四級(jí) 晉中學(xué)院本科生畢業(yè) (設(shè) 計(jì) )論文 3 為了進(jìn)一步理解勢(shì)壘這個(gè)概念 , 我們想象一個(gè)質(zhì)量為 ? , 在圖 函 數(shù)作用下的粒子 . ()xl??? ? , ( ) 0Ux? , 0Ux? ?? , ()x x l??? ? ? ? ? ? ()2 mUU x l ??? ? ?, 2mUUx ?? ?? lx??? ? , mUU? , 0Ux? ?? , 在橫坐標(biāo)為 l ??? 和 ()x ???的兩個(gè)點(diǎn)之間 , 粒子受到一個(gè)力 F 的作用 , 此力的指向與Ox 軸的單位矢量 xe 相反 2m xU???Fe 在這個(gè)區(qū)域之外 , 勢(shì)能() mU x U? 或 ( ) 0Ux? 為一常數(shù) , 而力等于零 . 在 0t 時(shí)刻 ,以速度 0v , 在橫坐標(biāo)為 ()x ???的點(diǎn)處接近這一區(qū)域的粒子由于 F 的作用而減速 ,由此得運(yùn)動(dòng)方程 ? ? ? ?20 0 0 ()4 mUx t t v t t l ???? ? ? ? ? ? ?, 只有當(dāng)方程 ? ? ? ?20 0 0 ()4 mUl t t v t t l????? ? ? ? ? ? ? ? ?, 具有實(shí)根時(shí) ,粒子才能到達(dá)橫坐標(biāo)為 ()l ??? 的點(diǎn) , 這就要求 2020 mvU? ? , 如果不是這樣 , 粒子的能量 E 小于 mU 2020 mE v U??? () 這個(gè)粒子就不可能到達(dá)勢(shì)能變化區(qū)的端點(diǎn) . 因而粒子要被反射回來 , 并重新 向反向運(yùn)動(dòng) . 使趨于零 ,而保持值不變 , 力就變的無限大 , 作用區(qū)變得無限薄 . 方程 ()所表示的結(jié)果依舊成立 , 因?yàn)樗c寬度無關(guān) . 量子力學(xué)方程 與邊界條件 如果我們談的是微觀粒子在微觀場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng) , 也就是在談到不能略去量子效應(yīng)的()UxmUxl? O圖 一維勢(shì)壘粒子受力分析 ()l ??? exl ???論文中的公式統(tǒng)一用 Word 軟件中的公式編輯器書寫 .主要公式要按章統(tǒng)一進(jìn)行編號(hào)并與論文中的敘述一致 ,編號(hào)數(shù)字用 Times New Roman 字體 ,右對(duì)齊 .未編號(hào)的公式要居中 .如單行公式行距采用固定值 22 磅 ,多行公式行距采用最小值 0 磅 . 為了頁(yè)面統(tǒng)一 ,所有正文內(nèi)容 (文字圖表均就在此線框內(nèi) ,最上 (下 )面的線及左右線與頁(yè)面標(biāo)志對(duì)齊 .注意要使內(nèi)容與橫線的內(nèi)側(cè)線對(duì)齊 ,如果首行為多行公式 ,應(yīng)在公式前插入一空行 ,此空行的行距為固定值 5 磅 .當(dāng)下端內(nèi)容與下面的內(nèi)側(cè)線有空白時(shí) ,要行當(dāng)調(diào)整本面中的行距使之對(duì)齊 .(另起一頁(yè)時(shí)除外 ) 二級(jí)標(biāo)題級(jí)別為標(biāo)題 2,格式左對(duì)齊首行縮進(jìn) 2字符 (或 字符 ,與正方首行對(duì)齊即可 ), 數(shù)字用Times New Roman 字體 ,文字用黑體 加粗 ,字號(hào)均為 四 號(hào) ,數(shù)字與文字空一格 .單倍行距 .如在章標(biāo)題下或位于本頁(yè)第一行 ,段前空 0 行 ,段后空 行 ,如在文中位置時(shí)采用段前空 1 行 ,段后空 行 . 晉中學(xué)院本科生畢業(yè) (設(shè) 計(jì) )論文 4 運(yùn)動(dòng)時(shí) . 在勢(shì)壘附近發(fā)生的現(xiàn)象就完全不同了 .在這種情況下 , 與經(jīng)典力學(xué)的結(jié)論相反 , 能量 E 大于勢(shì)壘高度 mU 的粒子有一部分為勢(shì)壘反射 ,而能量小于 mU 的粒子也有一部分會(huì)穿過勢(shì)壘 . 在量子力學(xué)里 , 必須知道 波函數(shù) ? , 因此必須要解薛定諤方程 222 ()2i U xtx?? ????? ? ? () 一維散射問題是一個(gè)非束縛態(tài)問題 ( ()Ux與時(shí)間無關(guān) , 而 E 是正的 ).因此令 ( , ) ( ) Eitx t x e?? ?? () 由此得到 222 ()2 d U x Edx? ???? ? ? () 按照勢(shì)能 ()Ux的形式 , 方程 ()一般需要分成幾個(gè)部分求解 .將上式改寫成如下形式 2 22 0d kdx? ??? () 2 2 2 21122, ( ) [ ( ) ]k E k k n x E U x??? ? ? ? () 為了確定波函數(shù)要滿足的邊界條件 , 我們把 ()Ux和 ()nx 看作是 x 的緩變函數(shù) , 在圖 中 為方便 取 0l? , 于是 ,在 0x? 點(diǎn)附近對(duì)方程 ()求積分 , 我們得到 2 22 0d d x k d xdx??? ????????? 即 2 2212 ( ) 0d d x k n x d xdx??? ????????? 由此得 221( ) ( ) ( )k n x d x??? ? ? ? ?????? ? ? ? ? () 當(dāng)取極限 0?? 時(shí) , 我們得到一個(gè)邊界條件 ( 0) ( 0)????? ? ? () 其次 , 根據(jù)波函數(shù)的連續(xù)性的普遍要求 ,我們有 第二 個(gè)邊界條件 : ( 0) ( 0)??? ? ? () 因?yàn)樵?0x? 點(diǎn)并沒有任何特殊之處 , 所以條件 ()和 ()在任一點(diǎn)都能得到滿足 . 實(shí)際上上述邊界條件在任何勢(shì)能函數(shù)躍變的地方均可以滿足 . 晉中學(xué)院本科生畢業(yè) (設(shè) 計(jì) )論文 5 2 階梯 勢(shì)壘散射 模型 與 方程 本 章 中 ,我們將討論體系勢(shì)能在無限遠(yuǎn)處為有限的情況 ,這時(shí)粒子可以在無限遠(yuǎn)處出現(xiàn) ,波函數(shù)在無限遠(yuǎn)處不為零 ,由于沒有無限遠(yuǎn)處波函數(shù)為零的約束 ,體系能量可以取任意值 ,即能級(jí)組成連續(xù)譜 .這類問題屬于粒子被勢(shì)函數(shù)散射的問題 ,粒子從無限遠(yuǎn)處來 ,被勢(shì)場(chǎng)散射后又到無限遠(yuǎn)處去 .在這類問題中 ,粒子的能量是預(yù)先給定的 . 考慮在一維空間中運(yùn)動(dòng)的粒子 ,它的勢(shì)能在有限區(qū)域 ? ?0 x? ?? 內(nèi)等于常量? ?000 ?UU ,而在 0x??? ? 區(qū)域內(nèi) 等于零 ,即 ? ?? ? 0 ,00 , 0U x U xU x x? ? ? ?? ? ? ? ? () 我們稱這種勢(shì)為階梯勢(shì)壘 ?圖 ?. 具有一定能量 E 的粒子由勢(shì)壘左方 ? ?0?x 向右方運(yùn)動(dòng) . 在經(jīng)典力學(xué)中 ,只有能量 E 大于 0U 的粒子才能越過勢(shì)壘運(yùn)動(dòng)到 0x? 的區(qū)域 。能量 E 小于 0U 的粒子運(yùn)動(dòng)到勢(shì)壘左方邊緣 ( 0?x 處 )時(shí)被反射回去 ,不能透過勢(shì) 壘 . 在量子力學(xué)中 ,情況卻不是這樣 .能量 E 大于 0U 的粒子有可能越過勢(shì)壘 ,但也有可能被反射回來 。而能量 E 小于 0U 的粒子有可能被勢(shì)壘反射回來 ,但也有可能貫穿勢(shì)壘而運(yùn)動(dòng)到勢(shì)壘右邊 0x? 的區(qū)域中去 . 粒子的波函數(shù) ? 所滿足的定態(tài)薛定諤方程是 ? ?22 2 ,02 d Exdx? ??? ? ? () 和 ? ?22 02 ,02 d U E xdx ? ???? ? ? ? () 或改寫成 ? ?2 222 0 , 0d Exdx?? ?? ? ? () 和 ? ? ? ?2 0222 0 , 0d E U xdx ?? ?? ? ? ? () ()Ux0UOx圖 一維階梯勢(shì)壘 晉中學(xué)院本科生畢業(yè) (設(shè) 計(jì) )論文 6 下面我們分兩種情況分別進(jìn)行討論 . 0EU? 的情況 現(xiàn)在令 ? ?221 2 022,k E k E U??? ? ? () 則得 ? ?2 212 0 , 0d kxdx? ?? ? ? () 和 ? ?2 222 0 , 0d kxdx? ?? ? ? () 容易得出方程 ()和 ()的解為 111 , ( 0 )i k x i k xA e A e x? ??? ? ? () 222 , ( 0 )i k x i k xB e B e x? ??? ? ? () 由 ()式可知 ,當(dāng) ()和 ()式中的波函數(shù) 1? 、 2? 乘上時(shí)間因子 Eite? 后 , 1? 、 2? 中的第一項(xiàng) 和 第二項(xiàng) 分別描述的 是由左向右傳播的平面 波 和 由右向左傳播的平面波 . 由于在 0x? 處的邊界條件并不足以確定 ()和 ()中的 4 個(gè)未知常數(shù) , 為確定這些常數(shù)我們假設(shè)粒子自左向右運(yùn)動(dòng) .當(dāng) x 為很大的正值時(shí) , 波函數(shù)應(yīng)該描述越過 “ 壁頂 ” 并沿 x 軸的正方向運(yùn)動(dòng)的一個(gè)粒子 , 它的漸近形式必然是 22 , ( 0 )ik xB e x? ?? () 即取 0b?? . 由 0x? 處的邊界條件 : ? ? ? ? 0201 ?? ? xx ?? , () 0201?? ?????????????xx dxddxd ?? () 我們有 , ( 0)A A B x?? ? ? () 1 1 2 , ( 0)k A k A k B x?? ? ? () ()和 ()兩式給出透射波 和反射波振幅與入射波振幅之間的關(guān)系 如下 : 1212kkAA k k? ?? ? () 1122kBA k k? ? () 晉中學(xué)院本科生畢業(yè) (設(shè) 計(jì) )論文 7 由這兩 式可以求出透射波和反射波的幾率密度與入射 波幾率密度之比 . 將入射波 1ikxAe 、透射波 1ikxBe 和反射波 1ikxAe?? 依次代換 下式 ? ?**2iJ ? ? ? ??? ? ? ? 中的 ? ,得入射波的幾率流密度為 ? ? ? ?1 1 1 1 212 i k x i k x i k x i k x**i d d kJ A e A e A e A e Ad x d x??????? ? ????? 透射波的幾率流密度為 22D kJB?? 反射波的 幾率流密度為 21R kJA? ??? 透射波的 幾率流密度與入射波的幾率流密度之比稱為透射系數(shù) ,以 D 表示 .這個(gè)比值也就 是貫穿到 0x? 區(qū)域的粒子在單位時(shí)間內(nèi)流過垂直于 x 方向的單位面積的數(shù)目 ,與入射粒子 (在 0?x 區(qū)域 )單位時(shí)間內(nèi)流過垂直于 x 方向的單位面積的數(shù)目之比 .由上面的結(jié)果 ,有 ? ?22 1 2