【正文】 7 8 y 5 7 0 5 4 5 2 3 3.14 6 6 0 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 xi yi xiyi = ， = =， =， =， = 第 6 頁(yè) 共 24 頁(yè) = 在 “相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)的臨界值表 ”查出與顯著性水平 及自由度 122=10 相應(yīng)的相關(guān)數(shù)臨界值 =, 這說(shuō)明每月產(chǎn)品的總成本 y（萬(wàn)元）與該月產(chǎn)量 x（萬(wàn)件）之間存在線性相關(guān)關(guān)系 。 3） 設(shè)回歸直線方程 ， 利用 ， 計(jì)算 a， b，得 b≈, a= ≈， ∴ 回歸直線方程為： 例 2．在 7 塊并排、形狀大小相同的試驗(yàn)田上進(jìn)行施化肥量對(duì)水稻產(chǎn)量影響的試驗(yàn)，得數(shù)據(jù)如下（單位： kg） 施化肥量 x 15 20 25 30 35 40 45 水稻產(chǎn)量 y 330 345 365 405 445 450 455 第 7 頁(yè) 共 24 頁(yè) 1） 畫出散點(diǎn)圖； 2）檢驗(yàn)相關(guān)系數(shù) r的顯著性水平； 3）求月總成本 y與月產(chǎn)量 x之間的回歸直線方程 。 解析： 1）畫出散點(diǎn)圖如下： 2）檢驗(yàn)相關(guān)系數(shù) r的顯著性水平： r= =≈，在 “相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)的臨界值表 ”查出與顯著性水平 及自由度 7－ 2=5 相應(yīng)的相關(guān)數(shù)臨界值 =＜ ，這說(shuō)明水稻產(chǎn)量與施化肥量之間存在線性相關(guān)關(guān)系 。 3）設(shè)回歸直線方程 ，利用 計(jì)算 a， b， 得 b= i 1 2 3 4 5 6 7 xi 15 20 25 30 35 40 45 yi 330 345 365 405 445 450 455 xiyi 4950 6950 9125 12150 15575 18000 20475 =30, =, =7000, =1132725, =87175 第 8 頁(yè) 共 24 頁(yè) a=30≈257，則回歸直線方程 題型 2：獨(dú)立性檢驗(yàn) 例 3．為了探究患慢性氣管炎是否與吸煙有關(guān)，調(diào)查了 339 名 50 歲以上的人，調(diào)查結(jié)果如下表所示： 患慢性氣管炎 未患慢性氣管炎 合計(jì) 吸煙 43 162 205 不吸煙 13 121 134 合計(jì) 56 283 339 試問(wèn)： 50 歲以上的人患慢性氣管炎與吸煙習(xí)慣有關(guān)嗎？ 解析： 由公式 )1316212143(3392 ???? ?????K ， 因?yàn)?,所以我們有 99%的把握說(shuō)： 50 歲以上的人患慢性氣管炎與吸煙習(xí)慣有關(guān)。 例 4．對(duì) 196個(gè)接受心臟搭橋手術(shù)的病人和 196 個(gè)接受血管 清障手術(shù)的病人進(jìn)行了 3年的跟蹤研究，調(diào)查他們是否又發(fā)作過(guò)心臟病，調(diào)查結(jié)果如下表所示： 又發(fā)作過(guò)心臟病 未發(fā)作過(guò)心臟病 合計(jì) 心臟搭橋手術(shù) 39 157 196 血管清障手術(shù) 29 167 196 合計(jì) 68 324 392 試根據(jù)上述數(shù)據(jù)比較這兩種手術(shù)對(duì)病人又發(fā)作心臟病的影響有沒(méi)有差別。 解析： 由公式 )2915716739(3922 ???? ?????K ， 因?yàn)?，所以我們沒(méi)有理由說(shuō) “心臟搭橋手術(shù) ”與 “又發(fā)作過(guò)心臟病 ”有關(guān)，可以認(rèn)為病人又發(fā)作與否與其做過(guò)任何手術(shù)無(wú)關(guān)。 題型 3：獨(dú)立的概念 及應(yīng)用 第 9 頁(yè) 共 24 頁(yè) 例 5． (2020,江蘇、河南 ,12 分 )有三種產(chǎn)品 ,合格率分別是 , 和 ，各抽取一件進(jìn)行檢驗(yàn) 。 (1)求恰有一件不合格的概率； (2)求至少有兩件不合格的概率（精確到 ）； 解析： 設(shè)三種產(chǎn)品各抽取一件，抽到合格產(chǎn)品的事件分別為 A、 B 和 C， (1)P(A)=， P(B)=P(C)=，則 P(A )=,P(B )=P(C )=。 因?yàn)槭录?A、 B、 C 相互獨(dú)立，恰有一件不合格的概率為 ： P（ ABC ） +P（ AB C） +P（ A BC） =P（ A） P （ B） P （ C ） +P（ A） P （ B ） P（ C） +P(A )P(B)P(C) =2+≈ 答： 恰有一件不合格的概率為 . (2)解法一：至少有兩件不合格的概率為： P（ AB C ） +P（ A BC ） +P（ A B C） +P（ A B C ） =+2+≈. 答：至少有兩件不合格的概率為 . 解法二：三件產(chǎn)品都合格的概率為： P（ ABC） =P（ A） P （ B） P （ C） =≈. 由 (1)知，恰有一件不合格的概率為 ，所以，至少有兩件不合格的概率為 1[P（ ABC） +]=1（ +） =. 答：至少有兩件不合格的概率為 . 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率和相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。 例 6． （ 06 北京卷）某公司招聘員工，指定三門考試課程，有兩種考試方案。 方案一：考試三門課程，至少有兩門及格為考試通過(guò)； 方案二：在三門課 程中，隨機(jī)選取兩門，這兩門都及格為考試通過(guò) . 假設(shè)某應(yīng)聘者對(duì)三門指定課程考試及格的概率分別是 ,abc，且三門課程考試是否及格相互之間沒(méi)有影響 . （Ⅰ）分別求該應(yīng)聘者用方案一和方案二時(shí)考試通過(guò)的概率； （Ⅱ）試比較該應(yīng)聘者在上述兩種方案下考試通過(guò)的概率的大小 .（說(shuō)明理由） 解析：設(shè)三門考試課程考試通過(guò)的事件分別為 A， B， C，相應(yīng)的概率為 a， b， c （ 1）考試三門課程，至少有兩門及格的事件可表示為 AB__C ＋ A__B C＋ __A BC＋ ABC，第 10 頁(yè) 共 24 頁(yè) 設(shè)其概率為 P1，則 P1＝ ab（ 1－ c）＋ a（ 1－ b） c＋（ 1－ a） bc＋ abc＝ ab＋ ac＋ bc－ 2abc 設(shè)在三門課程中，隨機(jī)選取兩門，這兩門都及格的概率為 P2，則 P2＝ 13ab＋ 13ac＋ 13bc （ 2） P1－ P2＝（ ab＋ ac＋ bc－ 2abc）－（ 13ab＋ 13ac＋ 13bc）＝ 23ab＋ 23ac＋ 23bc－ 2abc＝ 23（ ab＋ ac＋ bc－ 3abc）＝ 23〔 ab（ 1c）＋ ac（ 1－ b）＋ bc（ 1－ a）〕 ?0 ?P1?P2即用方案一的概率大于用方案二的概率。 點(diǎn)評(píng)：“至少、至多”問(wèn)題的處理方式是分類到底，利用獨(dú)立、互斥或?qū)α⑹录M(jìn)行轉(zhuǎn)化。 題型 4：隨機(jī)變量的分布列 例 7．（ 06 廣東卷）．某運(yùn)動(dòng)員射擊一次所得環(huán)數(shù) X 的分布如下： X 6 7 8 9 10 P 0 現(xiàn)進(jìn)行兩次射擊，以該運(yùn)動(dòng)員兩次射擊中最高環(huán)數(shù)作為他的成績(jī)，記為 ? . (I)求該運(yùn)動(dòng)員兩次都命中 7 環(huán)的概率 (II)求 ? 的分布列 解析： (Ⅰ )求該運(yùn)動(dòng)員兩次都命中 7 環(huán)的概率為 )7( ???P ； (Ⅱ )? 的可能取值為 10 )7( ???P ； )8( 2 ???????P ， )9( 2 ??????????P ， )10( 2 ?????????????P ， ? 分布列為： ? 7 8 9 10 P (Ⅲ ) ? 的數(shù)學(xué)希望為 ??????????E 。 點(diǎn)評(píng)：分布列不僅明確給出了（ ix?? ）的概率，而且對(duì)任 ba? 事件（ ba ??? ）第 11 頁(yè) 共 24 頁(yè) 發(fā)生的概率均可由分布列算出：baabaa iii baPaUba ???? ????????? )()()( ??? iii PaP baa ????? )(?。 例 8．設(shè)自動(dòng)生產(chǎn)線在調(diào)整后出現(xiàn)廢品的概率為 ，而且一旦出現(xiàn)廢品就要重新調(diào)整，求在兩次調(diào)整 之間所生產(chǎn)的合格品的數(shù)目不小于 5 的概率。 分析：如果用隨機(jī)變量η表示兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的產(chǎn)品的個(gè)數(shù)，而且我們知道一旦出現(xiàn)廢品就重新調(diào)整生產(chǎn)線，所以兩次調(diào)整之間所生產(chǎn)的合格品是連續(xù)出現(xiàn)的，那么隨機(jī)變量η的取值就服從幾何分布，我們?cè)诮忸}時(shí)應(yīng)先求出η的分布列。然后再計(jì)算事件“合格品數(shù)不小于 5”即 {η 5}的概率。 解析：設(shè)隨機(jī)變量η表示兩次調(diào)整之間生產(chǎn)線所生產(chǎn)的產(chǎn)品的個(gè)數(shù)，則η服從幾何分布，事件 {η＝ k}就表示生產(chǎn)了 k－ 1 件合格品，且第 k 件產(chǎn)品是廢品。容易求得： P(η＝ 1)＝ ， P(η＝ 2)＝ (1－ ) ＝ ， ? ? ? ? .0 8 2 ?????? 寫成分布列的形式為： ? 1 2 3 4 5 6 ? P ? 題目中要求計(jì)算“所生產(chǎn)的合格品數(shù)不小于 5”的概率，即 P(η 5)，因?yàn)槭录?{η 5}所包含的基本事件為 {η＝ 6}， {η＝ 7}，?， {η＝ n}，?，所以有 P(η 5)＝ P(η＝ 6)＋ P(η＝ 7)＋?＋ P(η＝ n)＋? 我們應(yīng)用分布列的性質(zhì)計(jì)算上式的值．因?yàn)?P(η 5)＝ 1－ P(η≤ 5)，所以 P(η 5)＝ 1－［ P(η＝ 1)＋ P(η＝ 2)＋ P(η＝ 3)＋ P(η＝ 4)＋ P(η＝ 5)］ ＝ 1－ (＋ ＋ ＋ ＋ )＝ ， 所以事件“兩次調(diào)整之間所生產(chǎn)的合格品數(shù)不小于 5”的概率為 點(diǎn)評(píng)：這是一道綜合例題，包括了分列的計(jì)算及分布列的應(yīng)用兩個(gè)步驟。該題對(duì)于我們鞏固所學(xué)知識(shí)，深入了解分布列有很大幫助。 題型 5：隨機(jī)變量的均值 例 9．（ 1） （ 06 福建卷）一個(gè)均勻小正方體的六個(gè)面中，三個(gè)面上標(biāo)以數(shù) 0，兩個(gè)面上標(biāo)以數(shù) 1,一個(gè)面上標(biāo)以數(shù) 2，將這個(gè)小正方體拋擲 2 次； 則向上的數(shù)之積的數(shù)學(xué)期望是