【正文】 第 1 頁 共 24 頁 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書 — 數(shù)學(xué) [人教版 ] 高三新 數(shù)學(xué) 第一輪復(fù)習(xí)教案（講座 40） — 統(tǒng)計 一．課標(biāo)要求： 1． 統(tǒng)計案例 通過典型案例，學(xué)習(xí)下列一些常見的統(tǒng)計方法，并能初步應(yīng)用這些方法解決一些實際問題。 （ 1） 通過對典型案例（如 肺癌與吸煙有關(guān)嗎 等）的探究，了解獨立性檢驗（只要求 22 列聯(lián)表）的基本思想、方法及初步應(yīng)用 ； （ 2） 通過對典型案例（如 質(zhì)量控制 、 新藥是否有效 等）的探究，了解實際推斷原理和假設(shè)檢驗的基本思想、方法及初步應(yīng)用 ； （ 3） 通過對典型案例（如 昆蟲分類 等）的探究，了解聚類分析的基 本思想、方法及初步應(yīng)用 ； （ 4） 通過對典型案例（如 人的體重與身高的關(guān)系 等）的探究，進一步了解回歸的基本思想、方法及初步應(yīng)用 。 2．隨機變量的分布列 （ 1） 在對具體問題的分析中，理解取有限值的離散型隨機變量及其分布列的概念，認(rèn)識分布列對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性 ； （ 2） 通過實例（如彩票抽獎），理解超幾何分布及其導(dǎo)出過程，并能進行簡單的應(yīng)用 ； （ 3） 在具體情境中，了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念，理解 n 次獨立重復(fù)試驗的模型及二項分布，并能解決一些簡單的實際問題 ； （ 4） 通過實例，理解取有限值的離散型隨機變 量均值、方差的概念，能計算簡單離散型隨機變量的均值、方差，并能解決一些實際問題 ； （ 5） 通過實際問題，借助直觀（如實際問題的直方圖），認(rèn)識正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義。 二．命題走向 統(tǒng)計案例 本部分內(nèi)容主要包括回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用和獨立性檢驗的基本思想和初步應(yīng)用，是教材新增內(nèi)容，估計高考中比重不會過大。 預(yù)測 07 年的高考主要有以下幾種情況： （ 1）知識點將會考察回歸分析的基本思想方法，用獨立性檢驗判斷 A 與 B 間的關(guān)系，及 2 2 列聯(lián)表； （ 2）考查的形式主要以選擇、填空題為主，但不會涉及很多 ； 隨機變量的分布列 本部分內(nèi)容主要包括隨機變量的概念及其分布列，離散性隨機變量的均值和方差，正態(tài)分布，從近幾年的高考觀察，這部分內(nèi)容有加強命題的趨勢。 預(yù)測 07 年的高考對本部分內(nèi)容的考查有以下情況： （ 1）考查的重點將以隨機變量及其分布列的概念和基本計算為主，題型以選擇、填空為主，有時也以解答題形式出現(xiàn)； （ 2）預(yù)計 07 年高考還是實際情景為主，建立合適的分布列，通過均值和方差解釋實際問題； 第 2 頁 共 24 頁 三．要點精講 統(tǒng)計案例 1．相關(guān)系數(shù) 相關(guān)系數(shù)是因果統(tǒng)計學(xué)家皮爾遜提出的，對于變量 y與 x的一組觀測值，把? 叫做變量 y與 x之間的樣本相關(guān)系數(shù)，簡稱相關(guān)系數(shù)，用它來衡量兩個變量之間的線性相關(guān)程度。 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)： ||r ≤ 1，且 ||r 越接近 1，相關(guān)程度越大；且 ||r 越接近 0，相關(guān)程度越小。 顯著性水平 :顯著性水平是統(tǒng)計假設(shè)檢驗中的一個概念，它是公認(rèn)的小概率事件的概率值。它必須在每一次統(tǒng)計檢驗之前確定。顯著性檢驗： (相關(guān)系數(shù)檢驗的步驟 )由顯著性水平和自由度查表得出臨界值，顯著性水 平一般取 ，自由度為ｎ－２，其中ｎ是數(shù)據(jù)的個數(shù) 在“相關(guān)系數(shù)檢驗的臨界值表”查出與顯著性水平 由度 n2（ n為觀測值組數(shù)）相應(yīng)的相關(guān)數(shù)臨界值 r0 05或 r0 01；例如ｎ＝７時，ｒ ＝ ，ｒ ＝ 求得的相關(guān)系數(shù)ｒ和臨界值ｒ ，若ｒ＞ｒ ，上面ｙ與ｘ是線性相關(guān)的 ,當(dāng) ≤ ，認(rèn)為線性關(guān)系不顯著。 結(jié)論：討論若干變量是否線性相關(guān)，必須先進行相關(guān)性檢驗，在確認(rèn)線性相關(guān)后，再求回歸直線； 通過兩個變量是否線性相關(guān)的估計，實際上就是把非確定性問題轉(zhuǎn)化成確定性問題來研究； 我們研究的對象是兩個變量的線性相關(guān)關(guān)系，還可以研究多個變量的相關(guān)問題，這在今后的學(xué)習(xí)中會進一步學(xué)到。 2．卡方檢驗 統(tǒng)計中有一個有用的（讀做“卡方”）統(tǒng)計量，它的表達式是： ))()()(( )(2 dbcadcba bcadnK ???? ??，經(jīng)過對統(tǒng)計量分布的研究，已經(jīng)得到了兩個臨界值： 與 。當(dāng)根據(jù)具體的數(shù)據(jù)算出的 k 時，有 95%的把握說事件 A 與B 有關(guān)；當(dāng) k 時，有 99%的把握說事件 A與 B 有關(guān)；當(dāng) k? 時，認(rèn)為事件 A與 B 是無關(guān)的。 隨機變量 1．隨機變量的概念 如果隨機試驗的結(jié)果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量。隨機變量常 用希臘字母 ξ、 η等表示。 第 3 頁 共 24 頁 對于隨機變量可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變 量叫做離散型隨機變量。 注： 隨機變量 ξ 是關(guān)于試驗結(jié)果的函數(shù)，即每一個試驗結(jié)果對應(yīng)著一個實數(shù)；隨機變量 ξ的線性組合 η=aξ+b(a、 b 是常數(shù) )也是隨機變量。 2．離散性隨機變量的分布列 一般地，設(shè)離散型隨機變量 ? 可能取得值為 ： X1， X2， … ， X3， … ， ? 取每一個值 Xi（ I=1， 2， … ）的概率為 P（ Pxi ?? )? ，則稱表 ? X1 X2 … xi … P P1 P2 … Pi … 為隨機變量 ? 的概率分布，簡稱 ? 的分布列。 兩條基本性質(zhì)：① ,2,1(0 ?? ipi ? )；② P1+P2+? =1。 3．獨立 相互獨立事件：事件 A（或 B）是否發(fā)生對事件 B（或 A）發(fā)生的概率沒有影響 .這樣的兩個事件叫做相互獨立事件 。 獨立重復(fù)試驗：若 n 次重復(fù)試驗中，每次試驗結(jié)果的概率都不依賴于其他各次試驗的結(jié)果，則稱這 n 次試驗 是獨立的 。 公式 (1)兩個相互獨立事件同時發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積，即 P（ AB）=P（ A） P （ B）； 推廣：若事件 A1， A2，? ， An 相互獨立， 則 P(A1 A2? An)=P(A1)P(A2)…P( n)。 (2)如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率為 P,那么在 n 次獨立重復(fù)試驗中這個事件恰好發(fā)生 k 次的概率 ： Pn(k)=Ckn Pk(1－ P)nk。 4．隨機變量的均值和方差 （ 1）隨機變量的均值 ??? 2211 pxpxE? ?；反映隨機變量取值的平均水平。 （ 2）離散型隨機變量 的方差： ????? 222121 )()( pExpExD ??? ? ??? nn pEx 2)( ? ?；反映隨機變量取值的穩(wěn)定與波動，集中與離散的程度。 基本性質(zhì)： baEbaE ??? ?? )( ； ?? DabaD 2)( ?? 。 5．幾種特殊的分布列 （ 1） 兩點分步 兩點分布：對于一個隨機試驗，如果它的結(jié)果只有兩種情況，則我們可用隨機變量第 4 頁 共 24 頁 ???? . 0 , 1 乙結(jié)果發(fā)生甲結(jié)果發(fā)生? ， 來描述這個隨機試驗的結(jié)果 。 如果甲結(jié)果發(fā)生的概率為 P，則乙結(jié)果發(fā)生的概率必定為 1－ P，所以兩點分布的 分布列為 ： ? 1 0 P P 1－ p 均值為 E? =p，方差為 D? =p（ 1－ p）。 （ 2）超幾何分布 重復(fù)進行獨立試驗，每次試驗只有成功、失敗兩種可能，如果每次試驗成功的概率為 p，重復(fù)試驗直到出現(xiàn)一次成功為止，則需要的試驗次數(shù)是一個隨機變量，用ξ表示，因此事件 {ξ＝ n}表示“第 n 次試驗成功且前 n－ 1 次試驗均失敗”。所以? ? ? ? 1np1pnP ?????? ，其分布列為： ξ 1 2 ? n ? P p p(1－ p) ? ? ? 1np1p ?? ? （ 3）二項分布 如果我們設(shè)在每次試驗中成功的概率都為 P，則在 n次重復(fù)試驗中，試驗成功的次數(shù)是一個隨機變量，用ξ來表示，則ξ服從二項分布．則在 n 次試驗中恰好成功 k 次的概率為： ? ? ? ? .p1pCkP knkkn ????? 二項分布的分布列為： ξ 0 1 ? ? n P ? ?n00n p1pC ? ? ? 1n11n p1pC ?? ? ? ? knkkn p1pC ?? ? ? ?0nnn p1pC ? 記ε是 n 次獨立重復(fù)試驗?zāi)呈录l(fā)生的次數(shù)，則ε～ B（ n， p）；其概率,2,1,0,1()( ???? ? kpqqpCkP knkknn ? ),n 。期望 Eε =np，方差 Dε =npq。 6．正態(tài)分布 正態(tài)分布密度函數(shù)： 2 22 )(21)( ??????? xexf ，均值為 Eε =μ，方差為 2???D 。 正態(tài)曲線具有以下性質(zhì)： （ 1）曲線在 x軸的上方，與 x軸不相交。 （ 2）曲線關(guān)于直線 x =μ對稱。 （ 3）曲線在 x =μ時位于最高點。 （ 4）當(dāng) x μ時，曲線上升；當(dāng) x μ時，曲線下降。并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無限延伸時，以 x軸為漸近線，向它無限靠近。 （ 5）當(dāng)μ一定時，曲線的形狀由σ確定。σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體越分散；σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中。 從理論上講，服從正態(tài)分布的隨機變量 ? 的取值范圍是 R，但實際上 ? 取區(qū)間 (μ 3第 5 頁 共 24 頁 σ，μ +3σ )外的數(shù)值的可能性微乎其微，在實際問題中常常認(rèn)為它是不會發(fā)生的。因此，往往認(rèn)為它的取值是個有限區(qū)間，即 區(qū)間 (μ 3σ，μ +3σ )，這即實用中的三倍標(biāo)準(zhǔn)差規(guī)則，也叫 3σ規(guī)則。在企業(yè)管理中，經(jīng)常應(yīng)用這個規(guī)則進行產(chǎn)品質(zhì)量檢查和工藝生產(chǎn)過程控制。 四．典例解析 題型 1：線性相關(guān)性檢驗 例 1． 一個工廠在某年里每月產(chǎn)品的總成本 y（萬元）與該月產(chǎn)量 x（萬件）之間由如下一組數(shù)據(jù)： 1）畫出散點圖； 2）檢驗相關(guān)系數(shù) r 的顯著性水平； 3）求月總成本 y 與月產(chǎn)量 x之間的回歸直線方程 . 解析： 1） 畫出散點圖： 2） r= x 8 2 9 8 6 8 9 8 1.80