【正文】 兩兩互斥的諸基本事件出現(xiàn)的可能性相等。 這時(shí)，稱所討論的問題是古典概型。對(duì)于滿足古典概型下的隨機(jī)事件 A 的概率可用下式計(jì)算： p(A)=m/n,其中 m 為隨機(jī)事件 A 所所包含的試驗(yàn)結(jié)果的個(gè)數(shù)。 例 從一批由 90 件正品、 3 件次品組成的產(chǎn)品中，任取一件產(chǎn)品，求取得正品的概率。 解： 一維隨機(jī)變量的分布和數(shù)字特征： 一維隨機(jī)變量的概念：一個(gè)變量依試驗(yàn)結(jié)果的改變而取不同的實(shí)數(shù)值，而試驗(yàn)的結(jié)果具有隨機(jī)性，因此這個(gè)變量的取值也具有隨機(jī) 性，稱這個(gè)變量為一維隨機(jī)變量，記為 X。 隨機(jī)變量的分布函數(shù)： 定義：隨機(jī)變量 X 取值不大于實(shí)數(shù) x 的概率 p（ X≤x ）叫做隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)，記作F(x)=p（ X≤x ） 性質(zhì)：分布函數(shù)具有以下的性質(zhì)： （ 1） 離散型隨機(jī)變量及其分布： 有一類隨機(jī)變量，它所有可能取的值是有限個(gè)或可數(shù)多 個(gè)數(shù)值，這樣的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量，它的分布稱為離散型分布。其分布可用下列表格給出： X x1 x2 ? xi ? 概率 p1 p2 ? pi ? 隨機(jī)變量函數(shù)的分布： 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、隨機(jī)變量的方差： 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義： 連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義： 隨機(jī)變量的方差定義： D（ X） =E(XE(X))2 隨機(jī)變量的期望、方差的性質(zhì)：（ 1） E（ k） =k,D(k)=0，其中 k 為常數(shù)； （ 2） E(kX)=k(X), D(kX)=k2D(X), 其中 k 為常數(shù) (3)E(X+k)= E（ X） +k, D(X+k)= D(X) 其中 k 為常（ 4）當(dāng)ξη 相互獨(dú)立時(shí)， E（ ξ177。η ） =E（ ξ ） 177。E （ η ）， D（ ξ177。η ） =D(ξ)+D （ η ） 常用隨機(jī)變量的分布和數(shù)字特征： 例 列函數(shù)中哪個(gè)不是隨機(jī)變量的分布函數(shù)（ C ） 例 設(shè)函數(shù) F1（ x）與 F2（ x）分別是隨機(jī)變量 x1與 x2的分布函數(shù)，為使 F(x)=a F1（ x）b F2（ x）為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)，在下列給定的各組數(shù)中應(yīng)?。? A ） 例 7 連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù) 一定滿足（ C） 例 記正態(tài)分布 N(a,?2) 的分布函數(shù)為 Fa, ? (x),其 X~N（ 1， 4），則下列計(jì)算正確的是（ D） 例 已知隨機(jī)變量 X 服從二項(xiàng)分布，且 E（ x） =， D(x)=，則二項(xiàng)分布的參數(shù)為多少 解： E（ x） =np=, D(x)=np(1p)=，可解得 n=6,p= 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念： 總體：在統(tǒng)計(jì)中，將研究、考察對(duì)象的全體稱為總體。也特指某個(gè)指標(biāo) X， X 具有 隨機(jī)性，因此研究總體也轉(zhuǎn)化為研究 X 的分布。 樣本 ：從總體中抽取的一部分個(gè)體叫做樣本，樣本中所所包含的個(gè)體的數(shù)量叫做樣本容量。一般我們抽取的樣本滿足下面二個(gè)條件：（ 1）樣本中的個(gè)體相互獨(dú)立，（ 2）樣本中個(gè)體的分布同總體的分布。 統(tǒng)計(jì)量：不含未知參數(shù)的樣本函數(shù)稱為統(tǒng)計(jì)量。例如：從均值為 μ 方差為 ? 2的總體中抽得一個(gè)樣本量為 n 的樣本 X1， X2， ?Xn 其中 μ 、 ? 2未知，那么 X1+ X2， max{X1， X2， ?Xn}是統(tǒng)計(jì)量，而 X1+ X22μ 、（ X1μ ） /? 都不是統(tǒng)計(jì)量。 例 總體 X 服從參數(shù)為 λ 的指數(shù)分布， X1， X2， ?Xn 是從中抽取的樣本，試求 參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)： 參數(shù)估計(jì)：設(shè)總體 X 服從 f(x,θ )的分布，其中 θ 為未知參數(shù)， X1， X2， ?Xn 是從總體 X 中抽取的樣本，用樣本的函數(shù)即統(tǒng)計(jì)量去估計(jì)未知參數(shù)，這就是參數(shù)估計(jì)。參數(shù)估計(jì)有兩種形式：點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)。 點(diǎn)估計(jì)：若取樣本的某個(gè)函數(shù) 作為未知參數(shù)估計(jì)量，則稱 為 θ 的點(diǎn)估計(jì)量，稱 為θ 的點(diǎn)估計(jì)值。求點(diǎn)估計(jì)常用的方法為矩法估計(jì)：即總體均值 E（ X）用樣本均值 來估計(jì)，總體方差 區(qū)間估計(jì)： 例 1設(shè)一個(gè)物體的重量 μ 未知，為估計(jì)其重量，可以用天平去稱，所得稱重與實(shí)際值間是有誤差的，因此所得的稱重是一個(gè)隨機(jī)變量，通常服從正態(tài)分布，如果已知稱量的誤差的標(biāo)準(zhǔn)差為 克，為使 μ 的 95%的置信區(qū)間的長度不超過 ，那么至少應(yīng)該稱多少次？ 解：這是求樣本容量的問題。在標(biāo)準(zhǔn)差已知時(shí)， μ 的 95%的置信區(qū)間為： 假設(shè)檢驗(yàn)：假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟： （ 1）、建立假設(shè) （ 2）、選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，給出拒絕的形式 （ 3）、給出顯著性水平 α ，常取 α 為 （ 4）、定出臨界值 c，寫出拒絕域 W，作出判斷。 正態(tài)總體中均值 μ 的假設(shè)檢驗(yàn)： H0： μ=μ 0， H0： μ≠μ 0 例 1某電工器材廠行產(chǎn)一種云母帶，其厚度在正常生產(chǎn)下服從 N（ ,），某日在生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽查了 10 次，發(fā)現(xiàn)平均厚度為 ，如果標(biāo)準(zhǔn)差不變，試部生產(chǎn)是否正常？取 α 為 由于樣本觀測(cè)值未落在拒絕域中，所以不能拒絕原假設(shè)，可以認(rèn)為該天生產(chǎn)正常。 用的統(tǒng)計(jì)技術(shù)：方差分析與回歸分析。 方差分析的基本假定是：（ 1）在水平 Ai 下，指標(biāo)服從正態(tài)分布；（ 2）在不同水平下，方差相等（ 3）數(shù)據(jù) Yij 相互獨(dú)立。 回歸分析 ：平方和分解公式： 第三講 微分及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 一、內(nèi)容提要 ：本講主要是講解 函數(shù)與極限、連續(xù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)問題。 二、重點(diǎn) ：本講的重點(diǎn)是 微分的應(yīng)用，二個(gè)中值定理，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。 難點(diǎn)：本講的難點(diǎn)是偏導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用。 三、內(nèi)容講解： 微分及其應(yīng)用： 為了對(duì)微分有比較直觀的了解，我們?cè)賮碚f明微分的幾何意義。 如下圖所示： 。 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。 羅爾中值定理：如下圖所示， 如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)，除去有限個(gè)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)外導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，那么只要用方程 f’(x)=0 的根及 f’(x) 不存在的點(diǎn)來劃分函數(shù) f(x)的定義區(qū)間，就能保證 f’(x)在各個(gè)部分區(qū)間保持固定