【正文】 同方差性假定下，構造如下滿足 F分布的統(tǒng)計量 )12,12(~)12(~)12(~2122???????????????kkFkekeFii ⑤ 給定顯著性水平 ?，確定臨界值 F?(v1,v2)， 若 F F?(v1,v2)， 則拒絕同方差性假設， 表明存在異方差 。 當然，還可根據兩個殘差平方和對應的子樣的順序判斷是 遞增型異方差 還是 遞減異型方差 。 懷特（ White）檢驗 懷特檢驗不需要排序，且適合任何形式的異方差 懷特檢驗的基本思想與步驟 （以二元為例）： iiii XXY ???? ???? 22110然后做如下輔助回歸 iiiiiiii XXXXXXe ??????? ??????? 215224213221102~ 可以證明，在同方差假設下： (*) R2為 (*)的可決系數， h為 (*)式解釋變量的個數， 表示漸近服從某分布。 注意： 輔助回歸仍是檢驗與解釋變量可能的組合的顯著性，因此，輔助回歸方程中還可引入解釋變量的更高次方。 如果存在異方差性 ， 則表明確與解釋變量的某種組合有顯著的相關性 ， 這時往往顯示出有較高的可決系數以及某一參數的 t檢驗值較大 。 當然 ， 在多元回歸中 ， 由于輔助回歸方程中可能有太多解釋變量 ， 從而使自由度減少 ， 有時可去掉交叉項 。 六、 異方差的修正 基本思想：在獲得關于隨機擾動項的變動，及其它們之間相互關系的更多信息條件下，通過一定的數學變換，將這個隨機擾動項轉化成滿足經典假設的同方差的情形。 基本方法有二： 一是在知道隨機擾動項相對波動大小的情況下，直接對每個樣本的隨機擾動項進行加權，從而使它們的波動幅度一樣； 二是在知道了隨機擾動項的波動，及各個隨機擾動項之間相關性的條件下，利用正定或半正定矩陣經過線性變換，可以化成單位矩陣的邏輯，將隨機擾動項轉化成滿足經典假設條件。 模型檢驗出存在異方差性，可用 加權最小二乘法 （ Weighted Least Squares, WLS） 進行估計。 加權最小二乘法的基本思想： 加權最小二乘法 是對原模型加權，使之變成一個新的不存在異方差性的模型，然后采用 OLS估計其參數。 21102 )]???([? ? ????? kkiiii XXYWeW ??? ? 在采用 OLS方法時 : 對較小的殘差平方 ei2賦予較大的權數， 對較大的殘差平方 ei2賦予較小的權數。 例如 ， 如果對一多元模型 ， 經檢驗知： 222 )()()( ???? jiiii XfEV a r ??? ????? ijiijijiijiXXfXXfXfYXf22110)(1)(1)(1)(1??? ijikijikXfXXf??)(1)(1?? 新模型中，存在 222 )()(1))(1())(1( ???? ???ijiijiijiEXfXfEXfV a r即滿足同方差性 ，可用 OLS法估計。 一般情況下 : 對于模型 Y=X?+? 存在 Wμμμμ2)()(0)(?????EC o vEW ?????????????www n12?即存在 異方差性 。 W是一對稱正定矩陣 ， 存在一可逆矩陣 D使得 W=DD’ 用 D1左乘 Y=X?+? 兩邊，得到一個新的模型： μDX βDYD 111 ??? ??*** μβXY ??該模型具有同方差性。因為 1211211111 )()()(????????????????????DDDDDΩDDμμDDμμDμμ **??EEEI2??**1*** )(? YXXXβ ??? ?YWXXWXYDDXXDDX11111111)()(????????????????這就是原模型 Y=X?+? 的 加權最小二乘估計量 ，是無偏、有效的估計量。 這里權矩陣為 D1，它來自于 原模型殘差項 ?的方差 協(xié)方差矩陣 ?2W 。 如何得到 ?2W ？ 從前面的推導過程看，它來自于原模型殘差項 ?的方差 協(xié)方差矩陣。因此 仍對原模型進行 OLS估計，得到隨機誤差項的近似估計量 ěi，以此構成權矩陣的估計量，即 ???????????2212~~?nee?W? 這時可直接以 |}~|/1,|,~|/1|,~|/1{ 211 neeed i a g ???D作為權矩陣。 注意： 在實際操作中 人們通常采用如下的經驗方法： 不對原模型進行異方差性檢驗，而是直接選擇加權最小二乘法，尤其是采用截面數據作樣本時。 如果確實存在異方差，則被有效地消除了； 如果不存在異方差性，則加權最小二乘法等價于普通最小二乘法 七、案例 中國農村居民人均消費函數 例 中國農村居民人均消費支出主要由人均純收入來決定。 農村人均純收入包括 (1)從事農業(yè)經營的收入，(2)包括從事其他產業(yè)的經營性收入 (3)工資性收入、 (4)財產收入 (4)轉移支付收入。 考察 從事農業(yè)經營的收入 (X1)和 其他收入 (X2)對中國 農村居民消費支出 (Y)增長的影響 : ???? ???? 22110 lnlnln XXY表 4 . 1 . 1 中國 2020 年各地區(qū)農村居民家庭人 均純收入與消費支出相關數據（單位：元） 地區(qū) 人均消費 支出 Y 從事農業(yè)經營 的收入 1X 其他收入 2X 地區(qū) 人均消費 支出 Y 從事農業(yè)經營 的收入 1X 其他收入 2X 北 京 3 5 5 2 . 1 4 4 4 6 . 4 湖 北 2 7 0 3 . 3 6 2 5 2 6 . 9 天 津 2 0 5 0 . 9 2 6 3 3 . 1 湖 南 1 5 5 0 . 6 2 河 北 1 4 2 9 . 8 1 6 7 4 . 8 廣 東 1 3 5 7 . 4 3 山 西 1 2 2 1 . 6 1 3 4 6 . 2 廣 西 1 4 7 5 . 1 6 1 0 8 8 . 0 內蒙古 1 5 5 4 . 6 海 南 1 4 9 7 . 5 2 1 0 6 7 . 7 遼 寧 1 7 8 6 . 3 1 3 0 3 . 6 重 慶 1 0 9 8 . 3 9 吉 林 1 6 6 1 . 7 四 川 1 3 3