【正文】 yYPp ???? ???1)(X和 Y相互獨(dú)立 的充要條件是 jiij ppp ?? ?? 首頁 連續(xù)型 若隨機(jī)變量 （ X， Y） 的概率密度為 則 X和 Y相互獨(dú)立 的充要條件是 ),( yxf分別稱為（ X， Y）關(guān)于 X和 Y邊緣概率密度。 dyyxfxf X ),()( ? ?????dxyxfyf Y ),()( ? ?????),( yxf )( xf X? )( yfY首頁 4． 條件分布函數(shù) 離散型 若 ， 則稱 為在條件 下，隨機(jī)變量 X的條件分布律 。 0) ?? jyYP （jijjjiji ppyYPyYxXPyYxXP????????)),)|（（（ixX ?jyY ?????????iijijiij ppxXPyYxXPxXyYP)),)|（（（同樣 為在條件 下，隨機(jī)變量 Y的條件分布律。 首頁 4． 條件分布函數(shù) 連續(xù)型 稱為在條件 下，隨機(jī)變量 X的條件分布律 。 同樣 稱為在條件 下，隨機(jī)變量 Y的條件分布律。 )(),()|(yfyxfyxfY?yY ?)(),()|(xfyxfxyfX?xX ?注意 ：分母不等于 0 返回 首頁 第三節(jié) 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 一、期望和方差 1．期望 設(shè) 離散型 隨機(jī)變量 X的分布律為 則 kk pxXP ?? )( ?,2,1?k)(XE kkkpx????1 設(shè) 連續(xù)型 隨機(jī)變量 X的概率密度為 ， )(xf則 )(XE dxxxf )(?????? 首頁 函數(shù)期望 當(dāng) X為 離散型 隨機(jī)變量 則 當(dāng) X為 連續(xù)型 隨機(jī)變量， 則 )( XgY ??? )]([)( XgEYEkkkpxg )(1????? )]([)( XgEYE dxxfxg )()(?????首頁 2。方差 稱隨機(jī)變量 的期望為 X的方差，即 計(jì)算方差時(shí)通常用下列關(guān)系式： 2)]([ XEX ?)( XD ]))([( 2XEXE ??)( XD 22 )]([][ XEXE ??首頁 3． 性質(zhì) （ 1） （ 2） （ 3） 若 X和 Y相互獨(dú)立，則 CCE ?)( 0)( ?CD)()( XCECXE ? )()( 2 XDCCXD ??????niinii XEXE11)()()()()( YEXEXYE ?（ 4） 0)( ?XD 的充要條件是 1)]([ ?? XEXP返回 首頁 3． 性質(zhì) （ 5）（柯西 — 許瓦茲不等式） 等式成立當(dāng)且僅當(dāng) （ 6） 若 X為非負(fù)整數(shù)值的隨機(jī)變量，則 證 )()(|)(| 222 YEXEXYE ??1)( 0 ?? XtYP)()(1iXPXEi?? ???首頁 （ 7）若 X為非負(fù)值的隨機(jī)變量，則 1( ) ( )kE X k P X k?????? ?? ?? 0 )(1)( dxxFXE ）（)1( ?? XP)2()2( ???? XPXP)3()3()3( ?????? XPXPXP??)()()( nXPnXPnXP ??????? ???最后對(duì)每一叢向列求和，即得。 首頁 1．協(xié)方差 計(jì)算協(xié)方差時(shí)通常用下列關(guān)系式： 二、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù) ),(C o v YX ))]())(([( YEYXEXE ???),(C o v YX )()()( YEXEXYE ?? )()(),(CovYDXDYXrXY ?首頁 3． 性質(zhì) （ 1） （ 2）若 X和 Y相互獨(dú)立，則 （ 4） 的充要條件是 X與 Y以概率 1 線性相關(guān)，即 ),(C o v2)()(1,11jnjijiiniinii XXXDXD ?????????0),(C o v ?YX1|| ?XYr（ 3） 1|| ?XYr1)( ??? baXYP返回 首頁 例 1 設(shè) X?N（ 0， 1），求 解 當(dāng) n為偶數(shù)時(shí)，由分部積分得 當(dāng) n為奇數(shù)時(shí)， )( nXE)( nXE dxex xn 2221 ????????0)( ?nXE)( nXE dxexnxn 22221 ??????????)()1( 2??? nXEn依次遞推，注意到 ，故 1)( 0 ?xE???????????? 偶數(shù)奇數(shù)2!)!1(135)3)(1(0)(nnnnnXE n?首頁 在一次集會(huì)上， n個(gè)人把他們的帽子放到房間的中央混合在一起，而后每個(gè)人隨機(jī)地選取一項(xiàng)，求每人拿到自己的帽子的人數(shù) X的均值和方差。 例 2（匹配問題） 解 利用表達(dá)式 nXXXX ???? ?21其中 ??????其它個(gè)人拿到自己的帽子如果第，01 iiX即求 EX、 DX 故 因 nXP i /1)1( ??nXE i /1)( ? 22 1)1(1)( nnnnXD i ????首頁 又 ),(C o vji XX )()()( jiji XEXEXXE ??而 ??????其它個(gè)人都拿到自己的帽子個(gè)人與第如果第，01 jiji XX得 }11{)( ???jiji XXPXXE ，}1|1{}1{ ???? iji XXPXP 111 ??? nn故 ),(C o v ji XX )1( 1?? nn21???????n所以 1)( ?XE1)1( 121)( 22 ????? nnCnnXD n)1(12 ?? nn返回 首頁 一、矩母函數(shù) 第四節(jié) 矩母函數(shù)和特征函數(shù) 1．定義 稱 的數(shù)學(xué)期望 為 X的矩母函數(shù) 2．原點(diǎn)矩的求法 tXe ][)( tXeEt ??利用矩母函數(shù)可求得 X的各階矩，即對(duì) 逐次求導(dǎo)并計(jì)算在 點(diǎn)的值： )(t? 0?t][)( tXXeEt ??? ][)() tXnn eXEt ?（?][)0() nn XE?（? 首頁 3．和的矩母函數(shù) 定理 1 設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 的 矩母函數(shù)分別為 ， ， … ， ， 則其和 的矩母函數(shù)為 rXXX ，， ?21)(1 t? )(2 t? )(tr?rXXXY ???? ?21?)(tY? )(1 t? )(2 t? )(tr?… 首頁 例 1 設(shè) X與 Y是獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量，各自的均值為 與 ，方差為 與 ，求 X+Y的矩母函數(shù)。 解 而正態(tài)分布的矩母函數(shù)為 1? 2? 21? 22?][)( ）（ YXtYX eEt ?? ?? ][ tXeE? ][ tYeE)(tX?? )(tY?}2/e x p {)( 22 ttt ??? ??所以 )(tYX ?? }2/)()e x p { ( 2222121 tt ???? ????首頁 二、特征函數(shù) 1 .復(fù)隨機(jī) 變量 設(shè) X， Y為二維（實(shí)）隨機(jī)變量，則稱 為復(fù)隨機(jī)變量 . 3 .特征函數(shù) iYXZ ??)()()( YiEXEZE ?? 設(shè) X為隨機(jī)變量，稱復(fù)隨機(jī)變量 的數(shù)學(xué)期望 itXe?)(tX? ][ itXeE為 X的特征函數(shù)，其中 t是實(shí)數(shù)。 還可寫成 )(tX? ][ s i n][ c o s tXiEtXE ?? 首頁 4．特征函數(shù)與分布函數(shù)的關(guān)系 特征函數(shù)與分布函數(shù) 相互唯一確定。 特別 當(dāng) 存在時(shí)，有 )()( xfxF ???)(t? dxxfe itx )(?????)(xf dtte itx )(2 1 ?? ? ???? ??5．特征函數(shù)的性質(zhì) 性質(zhì) 1 對(duì)任何實(shí)數(shù) t， 1|)(| ?tX?證 1|||)(||)(| ???itXitXX eEeEt?首頁 性質(zhì) 2 證 性質(zhì) 3 設(shè) a， b為任意實(shí)數(shù)， ，則 Y的特 征函數(shù) 有 證 )()( tt XX ?? ???? )( tX? ]s i n[ c o s XtiXtE ）（）（ ???][ s i n][ c o s tXiEtXE ??][ s i n][ c o s tXiEtXE ?? )(tX??baXY ??)(tY? )()( atet XitbY ?? ?][)( )( baXitY eEt ??? ][ ) itbXati eeE ?? （][ ) Xatiitb eEe （? )( ate Xitb ?? 首頁 性質(zhì) 4 性質(zhì) 5 設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 的 特征函數(shù)分別為 ， ， … ， 則和 若隨機(jī)變量 X的 n階絕對(duì)矩存在，即 ???|| nXE則 X的特征函數(shù) 有 n階導(dǎo)數(shù)，且有 )(tX?)0()()( )( kXkk iXE ??? nk ,2,1 ??rXXX ，， ?21)(1 t? )(2 t? )(tr?rXXXY ???? ?21的特征函數(shù)為 ?)(tY? )(1 t? )(2 t? )(tr?… 首頁 例 2 設(shè)隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為 的泊松分布 ， 求 X的特征函數(shù) 。 解 由于 所以 ??? ??? ekkXPk?。?)(tX? ?? ???? ekekkitk！0！kee kitk)(0?? ?????iteee ?? ?? ? )1( ?? itee ?首頁 例 3 設(shè)隨機(jī)變量 X服從 [a， b]上的均勻分布 ， 求 X的特征函數(shù) 。 解 X的概率密度為 所以 ?????????其它01)(bxaabxfdxabetbaitxX ?? ?1)(?)( abitee itaitb???首頁 例 4 設(shè) X ~B（ n， p） ， 求 X的特征函數(shù) 及 和 。 解 X的分布律為 所以 )(tX? ）（ XE）（ XDknkkn qpckXP??? ）（?)(tX?knkknnkitk qpce ???0knkitknnkqpec ???? )(0nit qpe )( ??由性質(zhì) 4知 npqpedtdiXE tnit ???? ? 0|)(）（2202222 |)()( pnnpqqpedtdiXEtnit ??????）（故 ）（ XD 22 )][ XEXE （）（ ?? npq?首頁 常見分布的數(shù)學(xué)期望、方差和特征函數(shù) 返回 見教材 首頁 一、條件期望的定義 第五節(jié) 條件期望 離散型 其中 連續(xù)型 其中 )|( jyYXE ? )|(1jiii yYxXPx ??? ???)(),()|(jjiji yYP