【正文】 （ixX ?jyY ?????????iijijiij ppxXPyYxXPxXyYP)),)|（（（同樣 為在條件 下，隨機(jī)變量 Y的條件分布律。它滿足 ),( ji yx?,2,1( ?i ),2,1 ??jijp),( ji yxijji pyYxXP ??? ),(0?ijp 11 1?? ???????iji jp首頁(yè) 2． 二維分布密度 連續(xù)型 如果存在一個(gè)非負(fù)的二元函數(shù) f（ x， y） ,使對(duì)任意的實(shí)數(shù) x， y有 則稱(chēng) （ X， Y） 為二維連續(xù)型隨機(jī)變量 ， f（ x， y） 稱(chēng)為（ X， Y） 的概率密度 ， 滿足： ? ??? ??? x y dudvvufyxF ),()( ，0),( ?yxf 1),( ?? ????????? d x d yyxf 首頁(yè) 3． 邊緣分布及獨(dú)立性 邊緣分布 設(shè) （ X， Y） 的分布函數(shù)為 ， 則 X， Y 的分布函數(shù) 、 ， 依次稱(chēng)為關(guān)于 X和關(guān)于 Y 的邊緣分布函數(shù) ， 且有 )( yxF ，)(xFX )( yFY),()( ??? xFxF X ),()( yFyF Y ??? 獨(dú) 立 性 )( yxF ， ?? )( xF X )( yFY則稱(chēng)隨機(jī)變量 X和 Y是相互獨(dú)立的。 ???? )(?X)(?X2．分布函數(shù) 隨機(jī)變量 X取值不超過(guò) x的概率 ， 稱(chēng)為 X的分布函數(shù) （ 其中 x為任意實(shí)數(shù) ） ， 記為 即 )( xXP ?)(xF)()( xXPxF ?? ?????? x 首頁(yè) 分布函數(shù) F（ x） 具有下列性質(zhì)： 1 2 是非降函數(shù) ， 即當(dāng) 時(shí) ， 有 )(xF1)(0 ?? xF ?????? x21 xx ?)()( 21 xFxF ?0)(l i m ???? xFx 1)(l i m ???? xFx3 4 )()0( xFxF ??F（ x）是右連續(xù)的，即 首頁(yè) 3．分布密度 最常見(jiàn)的隨機(jī)變量是離散型和連續(xù)型兩種 。 若 1． 定義 則稱(chēng) 首頁(yè) 定理 2（ 乘法公式 ） 2． 基本公式 假設(shè) 為任意 n個(gè)事件（ ）， nAAA ， ?212?n021 ?）（ nAAAP ??? )|()|()( 21312121 AAAPAAPAPAAAP n ?）（）（ 121| ?nn AAAAP ?若 則 首頁(yè) 定理 3（ 全概率公式與貝葉斯公式 ） 設(shè)事件 兩兩互不相容， nBBB ， ?21 ??? iniB1?0?）（ iBP ni ,21 ?，?則（ 1）對(duì)任意事件 A，有 )|)(1iiniBAPBPAP （）（???（ 2）對(duì)任意事件 A ，若 ，有 0?）（ AP)|)|)|(1iiniiiiBAPBPBAPBPABP（）（（）（???首頁(yè) 五、獨(dú)立性 如果事件 A， B滿足 ）（）（）（ BPAPABP ? 設(shè) 是 n個(gè)事件，如果對(duì)于任意 和 ，有 nAAA ， ?21)2( ns ??s niii s ????? ?211）（）（）（）（ ss iiiiii APAPAPAAAP ?? 2121 ?則稱(chēng)事件 相互獨(dú)立 。 對(duì)樣本空間 ?的每一個(gè)事件 E，都有一實(shí)數(shù) P（ E）與之對(duì)應(yīng)，且滿足： （ 1） 3．隨機(jī)事件 4．概 率 10 ?? ）（ EP 1?? ）（P?， 21 EE（ 3）對(duì) 兩兩互不相容 的事件序列 （ 2） )11??????iiiiEPEP （）（ ?則稱(chēng) P（ E）為事件 E的 概率 。 具有三個(gè)特性： （ 1）可以在相同的條件下 重復(fù) 進(jìn)行； （ 2）每次試驗(yàn)的結(jié)果不止一個(gè)，并能事先 明確 試驗(yàn)的所有可能的結(jié)果； （ 3）每次試驗(yàn)前 不 能 確定 哪個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)。 首頁(yè) 2．樣本空間 隨機(jī)試驗(yàn)所有可能結(jié)果的集合，記為 ?。 首頁(yè) 二、概率的性質(zhì)： 1 0?）（ ?P2 ）（）（）（）（ EFPFPEPFEP ????3 )(1)( EPEP c ??4 設(shè) nEEE ， ?21兩兩互不相容 ，則 )11????niiiniEPEP （）（ ?5 設(shè)兩兩互不相容的事件 ， ?21 EE ???? iiE1?則對(duì)于任意事件 A，有 )1????iiEAPAP ?（）（首頁(yè) 三、概率的連續(xù)性 1．極限事件 對(duì)于事件 若 ， ?21 EE1?? nn EE1?n 則稱(chēng)事件序列 }1{ ?nE n， 遞增 ， 若 1?? nn EE1?n 則稱(chēng)事件序列 }1{ ?nE n，遞減。 nAAA ， ?21則稱(chēng)事件 A， B相互獨(dú)立 。 離散型 隨機(jī)變量 隨機(jī)變量 X的可能取值僅有有限個(gè)或可列無(wú)窮多個(gè) 。 首頁(yè) 離散型 若隨機(jī)變量 （ X， Y） 的聯(lián)合分布律 分別稱(chēng)為 （ X， Y） 關(guān)于 X和 Y的邊緣分布律 。 首頁(yè) 4． 條件分布函數(shù) 連續(xù)型 稱(chēng)為在條件 下，隨機(jī)變量 X的條件分布律 。 首頁(yè) 1．協(xié)方差 計(jì)算協(xié)方差時(shí)通常用下列關(guān)系式： 二、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù) ),(C o v YX ))]())(([( YEYXEXE ???),(C o v YX )()()( YEXEXYE ?? )()(),(CovYDXDYXrXY ?首頁(yè) 3． 性質(zhì) （ 1） （ 2）若 X和 Y相互獨(dú)立，則 （ 4） 的充要條件是 X與 Y以概率 1 線性相關(guān)，即 ),(C o v2)()(1,11jnjijiiniinii XXXDXD ?????????0),(C o v ?YX1|| ?XYr（ 3） 1|| ?XYr1)( ??? baXYP返回 首頁(yè) 例 1 設(shè) X?N（ 0， 1），求 解 當(dāng) n為偶數(shù)時(shí)，由分部積分得 當(dāng) n為奇數(shù)時(shí)， )( nXE)( nXE dxex xn 2221 ????????0)( ?nXE)( nXE dxexnxn 22221 ??????????)()1( 2??? nXEn依次遞推，注意到 ，故 1)( 0 ?xE???????????? 偶數(shù)奇數(shù)2!)!1(135)3)(1(0)(nnnnnXE n?首頁(yè) 在一次集會(huì)上， n個(gè)人把他們的帽子放到房間的中央混合在一起，而后每個(gè)人隨機(jī)地選取一項(xiàng)，求每人拿到自己的帽子的人數(shù) X的均值和方差。 特別 當(dāng) 存在時(shí)，有 )()( xfxF ???)(t? dxxfe itx )(?????)(xf dtte itx )(2 1 ?? ? ???? ??5．特征函數(shù)的性質(zhì) 性質(zhì) 1 對(duì)任何實(shí)數(shù) t， 1|)(| ?tX?證 1|||)(||)(| ???itXitXX eEeEt?首頁(yè) 性質(zhì) 2 證 性質(zhì) 3 設(shè) a， b為任意實(shí)數(shù)， ，則 Y的特 征函數(shù) 有 證 )()( tt XX ?? ???? )( tX? ]s i n[ c o s XtiXtE ）（）（ ???][ s i n][ c o s tXiEtXE ??][ s i n][ c o s tXiEtXE ?? )(tX??baXY ??)(tY? )()( atet XitbY ?? ?][)( )( baXitY eEt ??? ][ ) itbXati eeE ?? （][ ) Xatiitb eEe （? )( ate Xitb ?? 首頁(yè) 性質(zhì) 4 性質(zhì) 5 設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 的 特征函數(shù)分別為 ， ， … ， 則和 若隨機(jī)變量 X的 n階絕對(duì)矩存在，即 ???|| nXE則 X的特征函數(shù) 有 n階導(dǎo)數(shù)，且有 )(tX?)0()()( )( kXkk iXE ??? nk ,2,1 ??rXXX ， ?21)(1 t? )(2 t? )(tr?rXXXY ???? ?21的特征函數(shù)為 ?)(tY? )(1 t? )(2 t? )(tr?… 首頁(yè) 例 2 設(shè)隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為 的泊松分布 ， 求 X的特征函數(shù) 。 )|( YXEyY ? )|( yYXE ?離散型 )]|([ YXEE?)( XE)()|()(1jjjyYPyYXEXE ??? ???dyyfyYXEXE Y )()|()( ?? ? ????首頁(yè) 證 只證（ X， Y）是離散型隨機(jī)向量時(shí)的情況 )()|(1jjjyYPyYXE ?????)()|(1 1jjij ii yYPyYxXPx ???? ? ?????),(1 1jij ii yYxXPx ??? ? ?????????????? ??????),(11jijii yYxXPx)()(1XExXPx iii ??? ???首頁(yè) 一礦工困在礦井中，要到達(dá)安全地帶，有三個(gè)通道可選擇，他從第一個(gè)通道出去要走 3個(gè)小時(shí)可到達(dá)安全地帶，從第二個(gè)通道出去要走 5個(gè)小時(shí)又返回原處，從第三個(gè)通道出去要走 7個(gè)小時(shí)也返回原處。 則 )|( XYE)(xg]))([( 2XgYE ? ]))|([( 2XYEYE ??]|))([( 2 XXgYE ?]|))()|()|([( 2 XXgXYEXYEYE ????首頁(yè) ]|))|([( 2 XXYEYE ??]|))()|([( 2 XXgXYEE ??))|([(2 XYEYE ?? ]|))()|(( XXgXYE ?由于 當(dāng) X取定值時(shí)是常數(shù)， )()|( XgXYE ?所以 ))()|(( XgXYE ? 0]|))|([( ??? XXYEYE故得 ]|))([( 2 XXgYE ? ]|))|([( 2 XXYEYE ??由定理 1，兩邊取數(shù)學(xué)期望，即得證。 ?????????0,00,)(xxexfx????????????????0,00,1)()(xxedyyfxFxx?)0???（ 首頁(yè) 二、無(wú)記憶性 若隨機(jī)變量 X滿足 則稱(chēng)隨機(jī)變量 X是 無(wú)記憶的 。假設(shè)當(dāng) A進(jìn)去時(shí)，他發(fā)現(xiàn)一名營(yíng)業(yè)員正在給 B辦事而另一名營(yíng)業(yè)員正在為 C服務(wù)。 由指數(shù)分布的無(wú)記憶性，這另一個(gè)人在郵局再花費(fèi)的時(shí)間也服從指數(shù)分布，其均值仍為 ，即仿佛他才開(kāi)始服務(wù) .