【正文】 重克，中號鋼珠每個重克，小號鋼珠每個重克．問：大、中、小號鋼珠各有多少個？【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 設(shè)大、中、小號鋼珠分別有個，個和個，則： ，得．可見是3的倍數(shù)，又是7的倍數(shù)，且小于30，所以只能為21，故，代入得，．所以大、中、小號鋼珠分別有3個、3個和8個．【答案】大、中、小號鋼珠分別有3個、3個和8個【鞏固】 袋子里有三種球，分別標(biāo)有數(shù)字，和，小明從中摸出12個球，它們的數(shù)字之和是．問：小明最多摸出幾個標(biāo)有數(shù)字的球？【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 設(shè)小明摸出標(biāo)有數(shù)字，和的球分別為，個，于是有 由，得，由于，都是正整數(shù)，因此在⑶中，取時．取最大值，所以小明最多摸出5個標(biāo)有數(shù)字2的球．【答案】最多摸出5個標(biāo)有數(shù)字2的球【例 14】 公雞1只值錢5，母雞一只值錢3，小雞三只值錢1，今有錢100，買雞100只，問公雞、母雞、小雞各買幾只？【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 設(shè)買公雞、母雞、小雞各、只，根據(jù)題意，得方程組 由②①，得，即：，因為、為正整數(shù)，所以不難得出應(yīng)為的倍數(shù)，故只能為、從而相應(yīng)的值分別為、相應(yīng)的值分別為、．所以，方程組的特殊解為，，所以公雞、母雞、小雞應(yīng)分別買只、只、只或只、只、只或只、只、只．【答案】公雞、母雞、小雞應(yīng)分別買只、只、只或只、只、只或只、只、只【鞏固】 小明玩套圈游戲，套中小雞一次得分，套中小猴得分，套中小狗得分．小明共套了次，每次都套中了，每個小玩具都至少被套中一次，小明套次共得分．問：小明至多套中小雞幾次？【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 設(shè)套中小雞次，套中小猴次，則套中小狗()次．根據(jù)得分可列方程：，化簡后得．顯然越小，越大． 將代入得，無整數(shù)解；若，解得，所以小明至多套中小雞次．【答案】小明至多套中小雞次【例 15】 開學(xué)前，寧寧拿著媽媽給的元錢去買筆，文具店里的圓珠筆每支元，鉛筆每支元．寧寧買完兩種筆后把錢花完．請問：她一共買了幾支筆？【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 (法一)由于題中圓珠筆與鉛筆的數(shù)量都不知道，但總費用已知，所以可以根據(jù)不定方程分析兩種筆的數(shù)量，進(jìn)而得解．設(shè)她買了支圓珠筆，支鉛筆，由題意列方程：，所以，因為均為整數(shù)，所以應(yīng)該能被整除，又因為，所以或，當(dāng)時，，當(dāng)時，，寧寧共買了支筆或支筆．(法二)換個角考慮：將“一支圓珠筆和一支鉛筆”看成一對，分析寧寧可能買了幾對筆，不妨設(shè)為對，余下的一定是圓珠筆與鉛筆中的唯一一種．一對筆的售價為“元，由題意可知，又為整數(shù)（1） 當(dāng)時，余款為，不能被或整除，這種情況不可能；（2） 當(dāng)時，余款為，能被整除，也就是說配對后，余下支圓珠筆．此時，寧寧買了支圓珠筆，支鉛筆，共支筆．（3） 當(dāng)時，余款為，能被整除，也就是說配對后，余下支圓珠筆．此時，寧寧買了支圓珠筆，支鉛筆，共支筆．（4） 當(dāng)時，余款為，不能被或整除，這種情況不可能，由上面的分析可知，寧寧共買了支筆或支筆．【答案】寧寧共買了支筆或支筆【鞏固】 小華和小強各用角分買了若干支鉛筆，他們買來的鉛筆中都是分一支和分一支的兩種，而且小華買來的鉛筆比小強多．小華比小強多買來鉛筆多少支．【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】迎春杯，預(yù)賽【解析】 設(shè)買分一支的鉛筆支，分一支的鉛筆支．則：，是的倍數(shù)．用，，，，代入檢驗，只有，滿足這一要求，得出相應(yīng)的，．即小華買鉛筆支，小強買鉛筆支，小華比小強多買支．【答案】小華比小強多買支【例 16】 藍(lán)天小學(xué)舉行“迎春”環(huán)保知識大賽，一共有名男、女選手參加初賽，經(jīng)過初賽、復(fù)賽，最后確定了參加決賽的人選．已知參加決賽的男選手的人數(shù)，占初賽的男選手人數(shù)的；參加決賽的女選手的人數(shù)，占初賽的女選手人數(shù)的，而且比參加初賽的男選手的人數(shù)多．參加決賽的男、女選手各有多少人？【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 由于參加決賽的男選手的人數(shù)，占初賽的男選手人數(shù)的；參加決賽的女選手的人數(shù)，占初賽時女選手人數(shù)的，所以參加初賽的男選手人數(shù)應(yīng)是的倍數(shù)，參加初賽的女選手的人數(shù)應(yīng)是的倍數(shù)．設(shè)參加初賽的男生為人，參加初賽的女生為人．根據(jù)題意可列方程：．解得，或．又因為參加決賽的女選手的人數(shù)，比參加決賽的男選手的人數(shù)多，也就是要比大，所以第一組解不合適，只有，滿足．故參加決賽的男選手為人，女選手為人．【答案】男選手為人，女選手為人【鞏固】 今有桃個，分給甲、乙兩班學(xué)生吃，甲班分到的桃有是壞的，其他是好的；乙班分到的桃有是壞的，其他是好的．甲、乙兩班分到的好桃共有幾個？【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 甲班分到的桃是的倍數(shù)，乙班分到的桃是的倍數(shù)，假設(shè)甲班分到桃個，乙班分到桃個．于是：，解得，即甲班分到桃(個)，乙班分到桃(個)．所以，兩班共分到好桃 (個)．【答案】兩班共分到好桃個【例 17】 甲、乙兩人各有一袋糖，每袋糖都不到粒．如果甲給乙一定數(shù)量的糖后，甲的糖就是乙的倍；如果乙給甲同樣數(shù)量的糖后，甲的糖就是乙的倍．甲、乙兩人共有多少粒糖？【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 設(shè)甲、乙原有糖分別為粒、粒，甲給乙的數(shù)量為粒，則依題意有：，且．整理得由⑴得，代入⑵得，即．因，故或．若，則，不合題意．因而，對應(yīng)方程組有唯一解，．則甲、乙共有糖粒．【答案】甲、乙共有糖?！眷柟獭?有兩小堆磚頭，如果從第一堆中取出塊放到第二堆中去，那么第二堆將比第一堆多一倍．如果相反，從第二堆中取出若干塊放到第一堆中去，那么第一堆將是第二堆的倍．問：第一堆中的磚頭最少有多少塊？【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 設(shè)第一堆磚有塊，則根據(jù)第一個條件可得第二堆磚有塊．再設(shè)從第二堆中取出塊放在第一堆后，第一堆將是第二堆的倍，可列方程：，化簡得，那么．因為是整數(shù)，與互質(zhì)，所以應(yīng)是的倍數(shù)，最小是，推知最小是，所以，第一堆中的磚頭最少有塊．【答案】第一堆中的磚頭最少有塊【例 18】 甲乙丙三個班向希望工程捐贈圖書，已知甲班有人捐冊，有人各捐冊，其余都各捐冊，乙班有人捐冊，人各捐冊，其余各捐冊；丙班有人各卷冊，人各捐冊，其余各捐冊。已知甲班捐書總數(shù)比乙班多冊，乙班比丙班多冊，各班捐書總數(shù)在冊與冊之間，問各班各有多少人？【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】華杯賽，復(fù)賽【解析】 我們設(shè)甲班有人，乙班有人，丙班有人，那么三個班的捐書數(shù)目分別為：，，根據(jù)題意有：，即有又因為各班的捐書數(shù)目都在到之間，因此我們知道：捐書最多的甲班有，而捐書最少的丙班有，從而有，于是有，所以有或。經(jīng)檢驗，當(dāng)時，不是整數(shù)，而當(dāng)時，有，也就是說，甲乙丙三班人數(shù)分別為?！敬鸢浮考滓冶嗳藬?shù)分別為，【例 19】 在新年聯(lián)歡會上，某班組織了一場飛鏢比賽．如右圖，飛鏢的靶子分為三塊區(qū)域，分別對應(yīng)分、分和分．每人可以扔若干次飛鏢，脫靶不得分，投中靶子就可以得到相應(yīng)的分?jǐn)?shù)．若恰好投在兩塊(或三塊)區(qū)域的交界線上，則得兩塊(或三塊)區(qū)域中分?jǐn)?shù)最高區(qū)域的分?jǐn)?shù)．如果比賽規(guī)定恰好投中分才能獲獎，要想獲獎至少需要投中 　 次飛鏢．【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】迎春杯，高年級組，復(fù)賽【解析】 假設(shè)投中17分、11分、4分的次數(shù)分別為次、次和次，那么投中飛鏢的總次數(shù)為次，而總得分為分，要想獲獎，必須．由于，得到．當(dāng)?shù)闹狄欢ê?，要使最小，必須使盡可能大．若，得到，此時無整數(shù)解；若，得到，此時，；若，得到，此時最大為4，當(dāng)時，這種情況下；若，得到，此時，；若，得到，此時最大為6，當(dāng)時，這種情況下；若，得到，此時最大為9，當(dāng)時，這種情況下；若，得到，此時最大為8，當(dāng)時，這種情況下．經(jīng)過比較可知的值最小為10，所以至少需要投中10次飛鏢才能獲獎．【答案】至少需要投中10次飛鏢才能獲獎模塊三、不定方程與生活中的應(yīng)用題【例 20】 某地用電收費的標(biāo)準(zhǔn)是：若每月用電不超過度，則每度收角；若超過度，則超出部分按每度角收費．某月甲用戶比乙用戶多交元角電費，這個月甲、乙各用了多少度電？【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 3元3角即33角，因為既不是的倍數(shù)又不是的倍數(shù)，所以甲、乙兩用戶用電的情況一定是一個超過了50度，另一個則沒有超過．由于甲用戶用電更多，所以甲用戶用電超過度，乙用戶用電不足度．設(shè)這個月甲用電度，乙用電度．因為甲比乙多交角電費，所以有．容易看出，可知甲用電度，乙用電度．【答案】甲用電度，乙用電度【鞏固】 某區(qū)對用電的收費標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定如下：每月每戶用電不超過度的部分，按每度元收費；超過度而不超過度的部分，按每度元收費；超過度的部分按每度元收費．某月甲用戶比乙用戶多交電費元，乙用戶比丙用戶多交元，那么甲、乙、丙三用戶共交電費多少元？(用電都按整度數(shù)收費)【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 由于丙交的電費最少，而且是求甲、乙電費的關(guān)鍵，先分析一下他的用電度數(shù)．因為乙用戶比丙用戶多交元，所以二者中必有一個用電度數(shù)小于度(否則差中不會出現(xiàn)元)，丙用電少，所以丙用電度數(shù)小于度，乙用電度數(shù)大于度，但是不會超過度(否則甲、乙用電均超過度，其電費差應(yīng)為的整數(shù)倍，而不會是元)．設(shè)丙用電()度，乙用電()度，由題意得：所以是的倍數(shù)，又均為整數(shù)，且都大于小于所以，所以丙用電度，交電費元；乙交電費元，甲交電費元，三戶共交電費元．【答案】三戶共交電費元【例 21】 馬小富在甲公司打工，幾個月后又在乙公司兼職，甲公司每月付給他薪金元，乙公司每月付給他薪金元．年終，馬小富從兩家公司共獲薪金元．他在甲公司打工 個月，在乙公司兼職 個月．【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 設(shè)馬小富在甲公司打工月，在乙公司兼職月(，、都是不大于的自然數(shù))，則有，化簡得．若為偶數(shù)，則的末位數(shù)字為，從而的末位數(shù)字必為，這時．但時，不是整數(shù)，不合題意，所以必為奇數(shù)．為奇數(shù)時，的末位數(shù)字為，從而的末位數(shù)字為，或．但時容易看出，與矛盾．所以，代入得．于是馬小富在甲公司打工個月，在乙公司兼職個月．【答案】在甲公司打工個月，在乙公司兼職個月【例 22】 甲、乙、丙、丁、戊五人接受了滿分為分(成績都是整數(shù))的測驗．已知：甲得了分，乙得了最高分，丙的成績與甲、丁的平均分相等，丁的成績剛好等于五人的平均分，戊比丙多分．求乙、丙、丁、戊的成績．【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 法一：方程法． 設(shè)丁的分?jǐn)?shù)為分，乙的分?jǐn)?shù)為分，那么丙的分?jǐn)?shù)為分，戊的分?jǐn)?shù)為分，根據(jù)“丁的成績剛好等于五人的平均分”，有，所以．因為，所以，得到，故，代入得．所以丁得分，丙得分，戊得分，乙得分．法二：推理法．因為丁為五人的平均分，所以丁不是成績最低的；丙的成績與甲、丁的平均分相等，所以丙在甲與丁之間；又因為戊和乙都比丙的成績高，所以乙、丙、丁、戊都不是最低分，那么甲的成績是最低的．因為甲是分，所以丁可能是分或分(由丙的成績與甲、丁的平均分相等知丁的得分是偶數(shù))，經(jīng)檢驗丁得分時與題意不符，所以丁得分，則丙得分，戊得分，乙得分．【答案】丁得分，則丙得分，戊得分，乙得分【鞏固】 有兩個學(xué)生參加4次數(shù)學(xué)測驗，他們的平均分?jǐn)?shù)不同，但都是低于90分的整數(shù)．他們又參加了第5次測驗，這樣5次的平均分?jǐn)?shù)都提高到了90分．求第5次測驗兩人的得分．(每次測驗滿分為100分)【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 設(shè)某一學(xué)生前4次的平均分為分，第5次的得分為分，則其5次總分為，于是．顯然，故，解得．由于為整數(shù)，可能為88和89，而且這兩個學(xué)生前4次的平均分不同，所以他們前4次的平均分分別為88分和89分，那么他們第5次的得分分別為：分；分．【答案】第5次的得分分別為：分；分【例 23】 小明、小紅和小軍三人參加一次數(shù)學(xué)競賽，一共有100道題，每個人各解出其中的60道題，有些題三人都解出來了，我們稱之為“容易題”；有些題只有兩人解出來，我們稱之為“中等題”；有些題只有一人解出來，我們稱之為“難題”．已知每個題都至少被他們中的一人解出，則難題比容易題多 道．【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】填空 【解析】 設(shè)容易題、中等題和難題分別有道、道、道，則，由得，即，所以難題比容易題多20道．【答案】難題比容易題多20道【例 24】 甲、乙兩個同學(xué)在一次數(shù)學(xué)擂臺賽中，試卷上有解答題、選擇題、填空題各若干個，而且每個小題的分值都是自然數(shù)．結(jié)果公布后，已知甲做對了5道解答題，7道選擇題，9道填空題，共得52分；乙做對了7道解答題，9道選擇題，11道填空題，共得68分．問：解答題、選擇題、填空題的每道小題各多少分？【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 設(shè)每道解答題為分，每道選擇題為分，每道填空題為分，有，解得．因為、都是自然數(shù)，而且不為0，所以有，或者，．分別代入原