【正文】 果你想說存在的話就是抽象的存在，是你頭腦中的存在，你看到皮球看到蘋果你知道是個圓。根據(jù)你的印象，你可以在黑板上畫出一個圓，甚至可以定義圓研究圓，因此我們老師應該知道這么一個事情，這就是數(shù)學的一般性。我講課，講圓，不是我黑板上畫出的圓，不是講具體的圓，而是講大家頭腦中的圓，那個叫抽象的存在。我就找了鄭板橋的話，大家都知道鄭板橋畫竹子有名，難得糊涂這句話大家都知道，他說：我畫的不是我眼中之竹，而是我心中之竹，我講的不是我黑板上的圓而是大家心里共同認可的圓，這就是抽象的功能，使得數(shù)學的研究具有了一般性。研究對象的關系得到數(shù)學的結論，主要有兩種形式的推理，一種是從小范圍到大范圍的推理，另一種是從大范圍到小范圍的推理，一種或是叫做特殊到一般的推理或者叫一般到特殊的推理。在數(shù)量上有正比例，反比例；方程、不等式這些東西。推理，這是高中課標準備給的定義，是指從一些事實的命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的思維過程。依據(jù)規(guī)則，數(shù)學的推理是有規(guī)則的，我下面講規(guī)則是什么，主要是兩類，一類是從特殊到一般的推理；一類是一般到特殊的推理。這和傳統(tǒng)的合情推理有點不一樣，我的想法是把數(shù)學能夠培養(yǎng)講得細一點，所以不包括聯(lián)想和想象，聯(lián)想和想象有點漫無邊際，不是數(shù)學邏輯性所要求的東西。你看看這幾句話推理得對還是不對？第一句話：因為兩個點間直線段最短，所以三角形兩邊之和大于第三邊；第二個推理：三角形內角和180度，因為180度是平角，所以三角形是平角；第三：因為兩個偶數(shù)的和是偶數(shù)，所以和為偶數(shù)的兩個數(shù)必為偶數(shù)。錯在什么地方？這個可較勁了。時候他們自己也說不清楚想得對和錯，而我們老師要教給孩子們會想，你得知道哪塊想得對，哪塊想得不對，錯是哪塊錯，為什么錯，不然就不好辦。我們稍微定一下，什么叫做推理呢？推理就是一個命題判斷到另一個命題判斷的思維過程。什么是命題呢？就是可以判斷正確或者錯誤的陳述句。所以數(shù)學的所有結論是一句話，這句話你能說他對還是不對，這個就是數(shù)學的命題，因此可以判斷這句話是不是數(shù)學的命題，這個三角形是美的，或者這個三角形是白的，不是數(shù)學命題。為什么？我說了，抽象是舍去了所有的物理屬性，因此后面是形容詞的全部是數(shù)學命題，形容詞有物理屬性，我們把物理屬性全部干掉。命題的兩種形式，命題經(jīng)常用一個連接詞“是”，A是B，這叫做系詞結構；還有一個是關系命題：如果是怎樣，那么怎樣；若怎樣則怎樣。數(shù)學命題基本上就這兩種形式，要不然是性質命題，要不然是關系命題。兩種形式推理，這句話是有邏輯的，叫演繹推理?！胺踩硕加兴溃K格拉底是人，所以蘇格拉底有死”，這句話是對的，這是從一般到特殊的，這是正常人思維?！疤K格拉底是人，蘇格拉底有死；柏拉圖是人，柏拉圖有死，所以凡人都有死”，這句話是對的，叫做歸納推理。我們過去很少教這樣的推理，我們教那樣的推理，歸納推理有個毛病，結論不一定對。你看蘇格拉底不到80歲就死了，柏拉圖不到80歲就死了，所以凡人不到80歲死去，這句話就不對了，是不是？所以歸納推理不一定對。我這回修課標的時候忘了代數(shù)也有基本事實了，就是光記得幾何也有基本事實了。幾何這個基本事實很重要，“兩點間直線最短”，這個基本事實是最重要的一個基本事實，幾乎證明不了的，但是代數(shù)有基本事實，以后修改課標可能就會把這兩個基本事實加進去了，一個叫做傳遞性：a=b，b=c，那么a=c；a＞b，b＞c，那么a＞c；第二個，等號的兩邊加、減、乘、除（除不能是0）同一個數(shù)，等號不變，不等號也不變，用這個可以證明什么事情呢？可以證明這件事情：加上一個正數(shù)比原來的數(shù)大。這個孩子們應該感悟出來，你們知道初中關于有理數(shù)的加法是怎么定義的？兩個數(shù)相加，如果符號相同，用這個符號，和等于絕對值得和，符號不同，用絕對值較大的數(shù)的符號，和等于這兩個絕對值的差。它說最本質的應該是這么幾件事，就是加上一個正數(shù)比原來大，你們回去嘗試一下，你們在教研室的時候嘗試一下什么叫對一個概念懂了還是沒懂，就是能不能夠舉例說明，凡是能夠舉出例子就是懂了，舉不出例子就是不懂。好比這一句話，加上一個正數(shù)比原來的數(shù)大，這句話你能不能用符號表示出來呢？我覺得小學老師都能表示出來。這句話用數(shù)學的語言怎么表達呢？證明是很好證明，什么叫加上一個數(shù)比原來的數(shù)大呢？就是對任意的數(shù)a和正數(shù)b，a+b＞a，為什么這樣呢？第一個，b＞0，是正數(shù)，兩面都加上a，剛才我說的命題2，這些結果都是可以證明出來的。減去一個正數(shù)等于加上這個正數(shù)的相反數(shù)，所以減去一個正數(shù)比原來的數(shù)小，都用我剛才說的兩個命題都可以做；減去一個負數(shù)等于加上這個負數(shù)的相反數(shù)，減去一個負數(shù)等于加上一個正數(shù)，減去一個負數(shù)比原來的數(shù)大，這就是演繹推理。演繹推理有個毛病，已知a，求證b，a和b都是確定性命題，這樣的話不能用于發(fā)現(xiàn)真理，發(fā)現(xiàn)真理是用一種歸納的方法來做的。培養(yǎng)創(chuàng)意性人才，比如這件事情，我們要一開始知道計算的道理，我們一開始講課不能只講程式，就是如何去算，一開始就通分，一開始要知道這個分數(shù)的加法如何變成同樣的單位，然后才能進行運算。在運算過程中你可以省去幾個單位，但是，教課的時候一開始必須講道理，這個就是從歸納的方法得到程式。我在北師大，有一個老先生問我為什么先乘除后加減，比如這個問題：3+26=3+12=18，我剛才說了對一個問題最好的理解就是舉例說明，根據(jù)這個問題舉一個例子，之后你看看這個計算的緣由。這句話是很重要的：現(xiàn)在的同學數(shù)=原來的同學數(shù)+后來的同學數(shù)。從頭開始想問題，你就發(fā)現(xiàn)了混合運算時在講兩個或者兩個以上的故事，因此先乘除后加減是一個故事一個故事地講完這種運算，這都是歸納推理，探究成因。題是多少種類型，13種類型是不是。我說怎么這么多類型呢，他同我講，他發(fā)現(xiàn)就兩種類型，一種是加法一種是乘法。所以現(xiàn)在課標里就寫兩種，一種是加法模型一種是乘法模型，加法模型為了應用起見，寫了總量模型，一種是路程模型，數(shù)學模型是講現(xiàn)實世界中的故事，是用數(shù)學的語言講述現(xiàn)實世界的故事，因此在講述數(shù)學模型的時候一定要講述現(xiàn)實世界的故事，因此模型也是一個基本的素養(yǎng)。有兩種模型，模型是很重要的，就是與時間有關的，現(xiàn)在=過去+變化，將來=現(xiàn)在+變化，這個是預測模型，這個模型我認為是很有意義的?，F(xiàn)在我講最后一個問題，如何在評價中考查數(shù)學核心素養(yǎng)，這件事是最大的事。這件最大的事第一個是教育質量檢測。教育質量檢測是小學四年級和初中八年級要進行教育質量檢測，這個設置在北師大，北師大讓我當數(shù)學教育質量檢測的專家，我很認真參加了三年多。我發(fā)現(xiàn)一個問題就是小學要求計算速度，是沒有道理的，所以這次把計算速度取消了。我聽一個校長說，他對他們的老師要求是一看就會，一做就對。我說這不是數(shù)學了，這是培養(yǎng)熟練工種了，數(shù)學是需要思考的，所以一定不要去練速度，所以這次教育質量檢測題量減少或者是時間拉長。部里讓我關注浙江、上海的高考改革，我建議在不增加題的情況下，從兩個小時增加到三個小時，第一個就是教育質量檢測把時間延長到很長了。第二個，過去你們出題，大概是這么出的，就是考知識點該不該考。現(xiàn)在你們出題稍微改一下，我認為這么加四個就行，一個對于概念的理解，第二個邏輯推理怎么樣，第三個運算能力怎么樣，第四個想象力怎么樣。就是出題的時候再換個角度，關于概念占多少，計算占多少，空間想象占多少，這么交叉地出題，這是第二個。關于推理，我這題是在北京試的，試完之后我發(fā)現(xiàn)，能考出孩子的生活經(jīng)驗是很重要的一件事。例：五年一班和二班舉行跳繩比賽，每個班派10人參加比賽，已經(jīng)賽完9人，將派最后1名出場，五年一班可以在甲、乙兩名同學中選出，兩名同學最近的成績是這樣：平均數(shù)是一樣，甲的學生跳躍比較大，乙學生比較穩(wěn)定，這個題的答案很有意思，好學生或者城里的學生都選的是乙，為什么？理由是比較穩(wěn)定。結果有一些郊區(qū)的學生就同生活經(jīng)驗有關了，那就得看第九次的成績，如果五年一班贏的話，派乙，五年一班輸?shù)脑捙杉?，沖一沖么，我倒是建議考它的思維，而且在這樣的時候發(fā)現(xiàn)，思維是同生活閱歷有關的。還有第三件事情就是你們嘗試著出一道開放題，開放題叫做加分原則，教育質量檢測一開始的開放題都是我出的。小學老師這點厲害，整完之后都比我好，但是一開始我告訴你們大概應該怎么處理，我給小學四年級出這么一道題，“兩個居民點中間有一條路連接起來，我想建個超市，建在哪里？為什么？”大部分孩子答了應該建在中間，因為大家走的一樣遠，答得有道理，滿分；有一個孩子說看看居民點人的多少，居民點人多的近一點，答得更好了，