【正文】 稱作是經(jīng)典濾波器，它們每一種又有模擬濾波器和數(shù)字濾波器兩種形式。 數(shù)字濾波器是數(shù)字信號(hào)處理的基礎(chǔ) ,可以對(duì)信號(hào)進(jìn)行過(guò)濾、參數(shù)估計(jì)和檢測(cè)等處理，在 圖像、通信、雷達(dá)、語(yǔ)音等許多領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。 特別是在數(shù)據(jù)壓縮和圖像處理等方面取得了非常大的成就。所以數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)顯得非常重要。 Matlab 的出現(xiàn) 為數(shù)字濾波的研究和應(yīng)用提供了一個(gè)很好的平臺(tái)。它在以矩陣運(yùn)算的基礎(chǔ)上，把程序設(shè)計(jì)、計(jì)算和可視化融合到了一個(gè)交叉式的環(huán)境中。數(shù)字濾波器 用來(lái)對(duì)信號(hào)進(jìn)行過(guò)濾、檢測(cè)與參數(shù)估計(jì)等處理 ,在通信、圖像、語(yǔ)音、雷達(dá)等許多領(lǐng)域都有著十分廣泛的應(yīng)用。尤其在圖像處理、數(shù)據(jù)壓縮等方面取得)(jaΩHΩΩΩΩ低通帶通 帶阻高通)(jaΩH)(jaΩH)(jaΩH0 00c 16 非常大的成就。這 使各個(gè)領(lǐng)域的研究人員可以直觀方便地進(jìn)行科學(xué)研究與工程應(yīng)用。當(dāng)然設(shè)計(jì)一數(shù)字濾波器首先要清楚其原理。 FIR 線性相位濾波器的原理如下 : 設(shè) )10)(( ??? mnnh 是長(zhǎng)度為 m 的線性相位濾波器的脈沖響應(yīng)，它的系統(tǒng)函數(shù)為： ? ??? ?? ????? ?? 10 10 1)1( )()()( mn mn nmmn znhzznhzH 它的頻率響應(yīng)函數(shù)為： ????? ???? ??? ?? ，10 )()( mn jj enheH 它具有一個(gè)線性相位約束： ??????? ?????? ? ，)( jeH 其中， ??? ，或 2/0 ?? 為一個(gè)常數(shù)。則 ()hn 有以下面的特性： 10,0),1()( ??????? mnnmhnh ? 稱之為對(duì)稱脈沖響應(yīng)；或者 10,2/),1()( ????????? mnnmhnh ?? 稱之為 反對(duì)稱脈沖響應(yīng)。 于是 ,根據(jù)β值的不同 以及 m的奇偶性 ,就 分別 產(chǎn)生了四種類型的線性 FIR相位濾波器 .它們是 : 1型線性相位 FIR 濾波器 : 0,m?? 為奇數(shù) , )(nh 以中心點(diǎn) ( 1)/2m? 對(duì)稱 。 2型線性相位 FIR 濾波器 : 0,m?? 為偶數(shù) , )(nh 以點(diǎn) ( /2) 1m ? 與點(diǎn) ( /2)m 之間的中心對(duì)稱 。 3型線性相位 FIR 濾波器 : / 2,m???? 為奇數(shù) , )(nh 以點(diǎn) ( 1)m? 為中心反對(duì)稱 。 4型線性相位 FIR 濾波器 : / 2,m???? 為偶數(shù) , )(nh 以點(diǎn) ( /2) 1m ? 與點(diǎn) ( /2)m 之間的中心反對(duì)稱 。 根據(jù)這四類 FIR 濾波器 ,可得到 其 響應(yīng)的頻率響應(yīng)的特 征 : )()()( ???? ? ?? jrj eHeH 其中 )(?rH 為振幅響應(yīng) ,與之區(qū)別的是 它與幅值特性 )( ?jeH 不同 ,前者 的取值 可正可負(fù) ,而后者只能為非負(fù)值。 17 IIR數(shù)字濾波器具有以下特點(diǎn)： (1) IIR 數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可以寫(xiě)成封閉函數(shù)的形式。 (2) IIR 數(shù)字濾波器采用遞歸型結(jié)構(gòu) — 結(jié)構(gòu)上帶有反饋環(huán)路。 IIR 濾波器運(yùn) 算結(jié)構(gòu) 一般 通常由相加、延時(shí) 和 乘以系數(shù)等基本運(yùn)算組成， 即 可以 構(gòu) 成級(jí)聯(lián)型、直接型、并聯(lián)型、正準(zhǔn)型四種結(jié)構(gòu)形式， 它們 都 是 具有反饋回路 這一結(jié)構(gòu) 。 由于在運(yùn)算中會(huì)出現(xiàn)舍入處理，會(huì)造成誤差不斷累積，偶爾會(huì)產(chǎn)生微弱的 寄生振蕩 。 (3) IIR 數(shù)字濾波器在設(shè)計(jì)上可以 借鑒 成熟的模擬濾波器成果，如橢圓濾波器 、 巴特沃斯 和 契比雪夫等 ，所以在設(shè)計(jì)模擬器的時(shí)候可以查看它們的設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)以及圖表，這樣我們的設(shè)計(jì)工作量相對(duì)而言就少了許多，其次，對(duì)計(jì)算工具的要求也不高。通過(guò)根據(jù)指標(biāo)寫(xiě)出模擬濾波器的公式以及通過(guò)一定變換，可以將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字 濾波器的公式。 (4) IIR 數(shù)字濾波器 是非線性的，所以其 相位特性不好控制， 當(dāng) 對(duì)相位要求較高時(shí)， 則 需 要添 加相位校準(zhǔn)網(wǎng)絡(luò)。 IIR 數(shù)字濾波器可用一個(gè) n 階差分方程表示： ( ) ( ) ( )rky n b x n r a y n k? ? ? ??? （ ） 或用它的 Z域系統(tǒng)函數(shù) : () 1rrkkbzHZ az???? ?? （ ） 對(duì)照模擬濾波器的傳遞函數(shù) : 1101()mmmmnnnnb S b S bHS a S a S a????? ? ?? ? ? ? （ ） 可以看出 ,設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的思路與模擬濾波器相仿 ,設(shè)計(jì)實(shí)質(zhì)都是尋找一組系數(shù) {b,a},去逼近所求的頻率響應(yīng) ,以便在性能上滿足預(yù)定的技術(shù)要求；不同的是數(shù)字濾波器是在 Z 平面尋找合適的 H(Z), 模擬濾波器則是在 S 平面用數(shù)學(xué)逼近法尋找近似的所需特性 H(S)。由于模擬濾波器的設(shè)計(jì)在理論上已十分成熟 ,因此數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的關(guān)鍵是將 H(S)變換至 H(Z),即利用復(fù)值映射將模擬濾波器離散化。 用窗函數(shù)法設(shè)計(jì) FIR 數(shù)字濾波器 窗 函數(shù)設(shè)計(jì)法是一種通過(guò)截短和計(jì)權(quán)的方法使無(wú)限長(zhǎng)非因果序列成為有限長(zhǎng)脈沖應(yīng)響應(yīng)序列的設(shè)計(jì)方法。一般在設(shè)計(jì)濾波器之前，濾波器的技術(shù)指標(biāo)是要根據(jù)具體的工程應(yīng)用確定的。通常在運(yùn)用中，因?yàn)閿?shù)字濾波器往往被用來(lái)實(shí)現(xiàn)選頻操作，所以指標(biāo)形式通常為在頻域中以分貝值給出的相應(yīng)響應(yīng)和幅度響應(yīng)。窗 18 函數(shù)法設(shè)計(jì) FIR 濾波器的步驟如下： (1) 根據(jù)阻帶衰減及過(guò)度帶寬，選擇窗函數(shù)的類型并估計(jì)其窗口長(zhǎng)度 N（或階數(shù) M=N1）。窗函數(shù)的類型可以根據(jù)最小阻帶衰減 As 獨(dú)立選擇，原因是因?yàn)榇翱陂L(zhǎng)度 N的大小對(duì)最小阻帶衰減 As 幾乎 沒(méi)有影響。一旦窗函數(shù) 類型確定以后，可以根據(jù)過(guò)度帶寬小于給定指標(biāo)確定所擬用的窗函數(shù)的窗口長(zhǎng)度 N， 假設(shè)待設(shè)計(jì)的濾波器的過(guò)渡帶寬為 Δω，它與 窗口長(zhǎng)度 N的大小近似成反比，所以只要窗函數(shù)類型確定后，那么它的計(jì)算公式也就確定了。但是這些公式都是近似的，得出的窗口長(zhǎng)度 N 還需要在計(jì)算中不斷修正以達(dá)到最好的要求。原則是：在保證阻帶衰減滿足其規(guī)定要求的情況下，選擇比較小的 N， 在 N和窗函數(shù)類型確定后，就可以調(diào)用 MATLAB 軟件 中的窗函數(shù)求出窗函數(shù) W（ n） 。 (2) 根據(jù)待求濾波器的理想頻率響應(yīng)求出理想單位脈沖響應(yīng) hd（ n） ，如果給出基于窗 函數(shù)法的 FIR 數(shù)字低通濾波器設(shè)計(jì)。在一般情況下， hd（ n） 是不能用封閉公式表示的，需要采用數(shù)值方法表示；從 w=0 到 w=2π 采樣 N 點(diǎn)，采用離散傅里葉反變換 （ IDFT） 即可求出。 (3) 計(jì)算濾波器的單位脈沖響應(yīng) h（ n） ，它是理想單位脈沖響應(yīng)和窗函數(shù)的乘積。 (4) 計(jì)算技術(shù)指標(biāo)是否滿足要求，為了計(jì)算數(shù)字濾波器在頻域中的特性，可調(diào)用 MATLAB 中的 freqz 函數(shù) ，如果不滿足要求的情況下，可根據(jù)具體情況適當(dāng)調(diào)整窗函數(shù)長(zhǎng)度或類型，直到滿足要求為止。 通常上述的幾點(diǎn)難以同時(shí)滿足。實(shí)際中設(shè)計(jì) FIR 數(shù)字濾波器往往要求是線性相位的，因此要求 )(nw 滿足線性相位的條件，即要求 w(n)滿足： w(n)=w(N1n) （ 2） 所以，窗函數(shù)不僅有截短的作用，而且能夠起到平滑的作用，在很多領(lǐng)域得到了應(yīng)用。 以下為利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)低通、高通和帶通濾波器。 低通濾波器設(shè)計(jì)程序： [x1,Fs,bits]=wavread(39。C:\代碼 \39。)。 wp1=2*pi*3800/Fs。 ws1=2*pi*4000/Fs。 wc1=(wp1+ws1)/2/pi。 Bt=ws1wp1。 N1=ceil(*pi/Bt)。 Window=boxcar(N1+1)。 %長(zhǎng)度為 N1 的矩形窗 Window b1=fir1(N1,wc1,Window)。 19 figure(1)。 freqz(b1,1,512)。 title(39。低通濾波器的頻率響應(yīng) 39。)。 如 圖所示 圖 低通濾波器頻率響應(yīng) 高通濾波器設(shè)計(jì)程序： [x1,Fs,bits]=wavread(39。C:\代碼 \39。)。 wp1=2*pi*3800/Fs。 ws1=2*pi*4000/Fs。 wc1=(wp1+ws1)/2/pi。 Bt=ws1wp1。 N1=ceil(*pi/Bt)。 N2=N1+mod(N1+1,2)。 Window=boxcar(N2)。 %長(zhǎng)度為 N1的矩形窗 Window b1=fir1(N21,wc1,39。high39。,Window)。 figure(3)。 freqz(b1,1,512)。 title(39。高通濾波器的頻率響應(yīng) 39。) 如圖 所示 20 圖 高通濾波器頻率響應(yīng) 帶通濾 波器程序： clear clc fs=44100。 wp1=2*pi*3205/fs。wp2=2*pi*4410/fs。 %帶通濾波器的通帶范圍 ws1=2*pi*3000/fs。ws2=2*pi*4600/fs。 Bt=wp1ws1。 wc=[(wp1+ws1)/2/pi,(wp2+ws2)/2/pi]。 N3=ceil(*pi/Bt)。 Window=boxcar(N3)。 %長(zhǎng)度為 N1的矩形窗 Window b1=fir1(N31,wc,Window)。 figure(9)。 Freqz(b1,1,512)。 %數(shù)字濾波器頻率響應(yīng) title(39。帶通濾波器的頻率響應(yīng) 39。)。 如 圖所示 21 圖 帶通濾波器頻率響應(yīng) 用雙線性法設(shè)計(jì) IIR 數(shù)字濾波器 采用非線性頻率壓縮方法，將整個(gè)頻率軸上的頻率范圍壓縮到 π/T～ π/T 之間，再用 z=esT轉(zhuǎn)換到 Z 平面上。也就是說(shuō)，第一步先將整個(gè) S平面壓縮映射到S1 平面的 π/T～ π/T 一條橫帶里 ； 第二步再通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系 z=es1T將橫帶 轉(zhuǎn) 換到 Z 平面上去。這樣就使 Z 平面與 S 平面對(duì)應(yīng)的 建立了 單 值關(guān)系， 也就是說(shuō)，消除了多值變換性就 代表著 消除了頻譜混疊現(xiàn)象，映射關(guān)系如圖 所示。 o－ 1 1Z 平面jI m [ z ]R e [ z ]?? / Tj?1?1－ ?? / TS1平面S 平面j?? o o 圖 雙線性變換的映射關(guān)系 為了將 S平面的整個(gè)虛軸 jΩ 壓縮到 S1平面 jΩ 1軸上的 π /T到π /T段上，可以通過(guò)以下的正切變換實(shí)現(xiàn) ????????? 2tan2 1TT () 式中 ,T仍是采樣間隔。 當(dāng) Ω 1 由 π /T 經(jīng)過(guò) 0 變化到 π /T 時(shí)， Ω 由 ∞經(jīng)過(guò) 0 變化到 +∞，也即映射了整個(gè) jΩ 軸。將式（ 26）寫(xiě)成 2/2/2/2/11TjTjTjTjeeeeTj ????????? () 將此關(guān)系解析延拓到整個(gè) S 平面和 S1 平面，令 jΩ =s， jΩ 1=s1，則得 TsTsTsTsTsTsiiiiieeTTsTee eeTs ????????????????? a 112/2/2/2/ () 22 再將 S1平面通過(guò)以下標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到 Z平面 Tsez 1? () 從而得到 S平面和 Z平面的單值映射關(guān)系為： 11112????? zzTs () sTsTsTsTz?????? 222121 () 式（ ）與式（ ）是 S平面與 Z平面之間的單值映射關(guān)系，這種變換都是兩個(gè)線性函數(shù)之比，因此稱為雙線性變換 式（ ）與式（ 的雙線性變換符合映射變換應(yīng)滿足的兩點(diǎn)要求。 首先 ,把 z=ejω， 可得 ???????????? ?? jTjeeTs jj 2t a n2112 ??? （ ） 即 S 平面的虛軸映射到 Z平面的單位圓。 其次，將 s=σ+jΩ代入式（ 212），得 ???????jTjTz??22 （ ） 因此 222222???????? ????????? ????TTz