【正文】 xy??????，2120221204????????220222202288334xx???????22022x??.∴ AOB?的大小為 9?.【解法 2】 （Ⅰ）同解法 1.（Ⅱ）點 ??00,Pxy?在圓 2xy??上，圓在點 0,處的切線方程為 ??0x?，化簡得 02xy??.由201yx??????及 20y??得??2202248?? ①xyx? ②∵切線 l與雙曲線 C 交于不同的兩點 A、B ，且 20x?，∴ 2034x??，設(shè) A、B 兩點的坐標(biāo)分別為 ??12,y，則220222188,34xy???，∴ 12OABx????，∴ AOB?的大小為 90?.（∵ 20xy??且 0x?，∴ 2200,xy??，從而當(dāng) 2034x??時，方程①和方程②的判別式均大于零）.7.（2022 江蘇卷） （本題滿分 10 分）在平面直角坐標(biāo)系 o中，拋物線 C 的頂點在原點，經(jīng)過點 A（2，2） ，其焦點 F 在 軸上。（1 ）求拋物線 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2 ）求過點 F，且與直線 OA 垂直的直線的方程；（3 ）設(shè)過點 (,0)Mm?的直線交拋物線 C 于 D、E 兩點，ME=2DM ，記 D 和 E 兩點間的距離為 ()fm，求()f關(guān)于 的表達(dá)式。【解析】 [必做題 ]本小題主要考查直線、拋物線及兩點間的距離公式等基本知識，考查運(yùn)算求解能力。滿分 10 分。 8.(2022 山東卷理)（本小題滿分 14 分）設(shè)橢圓 E: 21xyab??（a,b0）過 M（2 ， ） ，N( 6,1)兩點，O 為坐標(biāo)原點，（I）求橢圓 E 的方程；（II）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓 E 恒有兩個交點 A,B,且 OAB???？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說明理由。解: （ 1）因為橢圓 E: 21xyab??（a,b0 ）過 M（2， ） ，N( 6,1)兩點,所以2461ab??????解得2814????所以2a????橢圓 E 的方程為2184xy??（2 ）假設(shè)存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓 E 恒有兩個交點 A,B,且 OAB???,設(shè)該圓的切線方程為 ykxm??解方程組 2184xykm??????得 22()8xk??,即 22(1)480kxm????, 則△= 222164())()0k???,即 20??1228kxm??????, 22221212112(8)48())()11kmkmkykxkxmx??????????要使OAB???,需使 120y,即2280k?,所以 230,所以230?又2840km???,所以 23????,所以 23,即 6?或 6m??,因為直線 ykxm??為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為 21mrk??,22831rk??, 23r,所求的圓為283xy??,此時圓的切線 yx都滿足 6?或 26??,而當(dāng)切線的斜率不存在時切線為6?與橢圓214x??的兩個交點為 2(,)3?或 (,)3?滿足 OAB???,綜上, 存在圓心在原點的圓 283y，使得該圓的任意一條切線與橢圓 E 恒有兩個交點 A,B,且 .因為1228kmx???????,所以2222211148(4)()()()11kmkmxx???????????,?? 22222111()|()())AByxk4224353[]kk?????, ①當(dāng) 0k?時 231|[]4ABk??因為 2148k??所以 2022k??,所以 23[]4k??,所以 6|33AB?當(dāng)且僅當(dāng) 2k??時取”=”. ② 當(dāng) 0k?時, 4|.③ 當(dāng) AB 的斜率不存在時, 兩個交點為 26(,)3?或 26(,)3??,所以此時 46|3AB?,綜上, |AB |的取值范圍為 46|3AB?即: 4|[,]?【命題立意】:本題屬于探究是否存在的問題,主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的確定,直線與橢圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系和待定系數(shù)法求方程的方法,能夠運(yùn)用解方程組法研究有關(guān)參數(shù)問題以及方程的根與系數(shù)關(guān)系.9. (2022 山東卷文)（本小題滿分 14 分）設(shè) mR?,在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量 (,1)amxy???,向量 (,1)bxy???,ab??,動點 (,)Mxy的軌跡為 E.（1 ）求軌跡 E 的方程,并說明該方程所表示曲線的形狀。 （2 ）已知 41?,證明:存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡 E 恒有兩個交點 A,B,且 OAB?(O為坐標(biāo)原點),并求出該圓的方程。(3)已知 m,設(shè)直線 l與圓 C: 22xyR??(1R2)相切于 A1,且 l與軌跡 E 只有一個公共點 B1,當(dāng) R 為何值時,|A 1B1|取得最大值? 并求最大值 .解: （ 1）因為 ab??, (,1)?, (,)b??,所以 20xy???, 即 21mxy??. 當(dāng) m=0 時,方程表示兩直線,方程為 ?。當(dāng) 1m?時, 方程表示的是圓當(dāng) 0?且 ?時,方程表示的是橢圓。 當(dāng) ?時,方程表示的是雙曲線.(2).當(dāng) 4時, 軌跡 E 的方程為214xy??,設(shè)圓心在原點的圓的一條切線為 ykxt??,解方程組 214ykxt??????得22()xkt??,即 22(1)80kt?,要使切線與軌跡 E 恒有兩個交點 A,B, 則使△= 222641(4)16(41)0ktktkt??????,即 20t?,即 2t?, 且12284ktx???????22221212112()84()()141ktkttkykxtkxtxt ????????,要使 OAB???, 需使 120y,即2250t,所以 2540tk??, 即 254tk?且 241tk?, 即 2245k??恒成立.所以又因為直線 yx為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為 21trk??,22(1)45ktr??, 所求的圓為 245xy??.當(dāng)切線的斜率不存在時,切線為 5?x,與24xy交于點 ),5(?或 )52,(??也滿足OAB?.綜上, 存在圓心在原點的圓 2y??，使得該圓的任意一條切線與橢圓 E 恒有兩個交點 A,B,且 OAB???.(3)當(dāng) 41?m時 ,軌跡 E 的方程為 214x,設(shè)直線 l的方程為 ykxt??,因為直線 l與圓 C: 22xyR??(1R2)相切于 A1, 由（2）知 21tRk?, 即 22()tRk?? ①,因為 l與軌跡 E 只有一個公共點 B1,由（2）知 24yxt?????得 224()kxt?,即 22(1)80kxt???有唯一解則△= 26(1)16(4)0ktkt???, 即 2410kt???, ②由①②得222341Rtk??????, 此時 A,B 重合為 B1(x1,y1)點, 由12284ktx??????? 中 21x?,所以,2214163tRk???, B1(x1,y1)點在橢圓上 ,所以2221143yxR?,所以 221124| 5OBxyR???,在直角三角形 OA1B1 中, 2222111 24||||5()AOBA???因為 24??當(dāng)且僅當(dāng)2(,)R??時取等號,所以 ||?,即當(dāng) 時|A 1B1|取得最大值,最大值為 1.【命題立意】:本題主要考查了直線與圓的方程和位置關(guān)系,以及直線與橢圓的位置關(guān)系,可以通過解方程組法研究有沒有交點問題,有幾個交點的問題.10.（ 2022 江蘇卷） （本小題滿分 16 分） 在平面直角坐標(biāo)系 xoy中，已知圓 221:(3)14Cxy???和圓 222:(4)54Cxy???.（1 ）若直線 l過點 (4,0)A，且被圓 截得的弦長為 ，求直線 l的方程；（2 ）設(shè) P 為平面上的點，滿足：存在過點 P 的無窮多對互相垂直的直線 1和 2l，它們分別與圓 1C和圓 2相交，且直線 被圓 1截得的弦長與直線 2l被圓 截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點 P 的坐標(biāo)?！窘馕觥?本小題主要考查直線與圓的方程、點到直線的距離公式，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力、綜合分析問題的能力。滿分 16 分。(1)設(shè)直線 l的方程為： (4)ykx??，即 40ky??由垂徑定理，得：圓心 1C到直線 l的距離 223()1d，結(jié)合點到直線距離公式，得： 2|3|1,k? 化簡得： 2 7470,4kor????求直線 l的方程為： y或 ()x，即 0y?或 72480xy???(2) 設(shè)點 P 坐標(biāo)為 (,)mn，直線 1l、 2的方程分別為： ()ynkxk????，即： 1,knmnmkk?因為直線 1l被圓 C截得的弦長與直線 2l被圓 C截得的弦長相等，兩圓半徑相等。由垂徑定理，得：：圓心 1C到直線 與 2直線 的距離相等。 故有： 2241|5||3nknmk????，化簡得： ()3,(8)5kmn????或關(guān)于 k的方程有無窮多解，有： 0,n??????+=或 解之得：點 P 坐標(biāo)為 1(,)2或 5(,。11.（ 2022 全國卷Ⅱ文） （本小題滿分 12 分）已知橢圓 C: 的離心率為 ，過右焦點 F 的直線 l 與 C 相交于 A、B 兩點，當(dāng) l 的斜率為1 時，坐標(biāo)原點 O 到 l 的距離為（Ⅰ）求 a,b 的值；（Ⅱ）C 上是否存在點 P，使得當(dāng) l 繞 F 轉(zhuǎn)到某一位置時，有 成立？若存在，求出所有的 P 的坐標(biāo)與 l 的方程；若不存在，說明理由。解析：本題考查解析幾何與平面向量知識綜合運(yùn)用能力，第一問直接運(yùn)用點到直線的距離公式以及橢圓有關(guān)關(guān)系式計算，第二問利用向量坐標(biāo)關(guān)系及方程的思想，借助根與系數(shù)關(guān)系解決問題，注意特殊情況的處理。解：（Ⅰ）設(shè) ??,0cF 當(dāng) l的斜率為 1 時，其方程為 Ocyx,0??到 l的距離為 2?? 故 c， 1c 由 3?ae 得 ， 2cb?=（Ⅱ）C 上存在點 P，使得當(dāng) l繞 F轉(zhuǎn)到某一位置時，有 OBAP??成立。由 （Ⅰ）知 C 的方程為 2x+ 3y=6. 設(shè) ).,(),(21yxBA (ⅰ) ??kll的 方 程 為軸 時 ， 設(shè)不 垂 直當(dāng)　C OP?使上 的 點 成立的充要條件是 ）點 的 坐 標(biāo) 為 （ 2121,yxP?， 且6)(3)(22121?yx整理得 643212122 ?yxx3,1??yCBA上 ， 即在、又故 02211?x ①將 并 化 簡 得代 入 ,6)(2??yxky36322??kx 于是 221?, 1x= 2k??, 22121 34)(ky??)0(12???bayx32???BAP 代入①解得， 2?k，此時 231??x 于是 )(121??xy= k， 即 ),(kP? 因此， 當(dāng) ?k時， 2,3(P， 02??yxl的 方 程 為 ； 當(dāng) 2時， ),(?， ?l的 方 程 為 。（ⅱ）當(dāng) l垂直于 x軸時，由 )0,2(??OBA知，C 上不存在點 P 使 OBA??成立。綜上，C 上存在點 )2,3(?P使 成立，此時 l的方程為02???yx.12.（ 2022 廣 東 卷 理 ） （本小題滿分 14 分）已知曲線 2:x與直線 :20ly???交于兩點 (,)Axy和 (,)Bxy，且 ABx?．記曲線 C在點 A和點 B之間那一段 L與線段 AB所圍成的平面區(qū)域（含邊界）為 D．設(shè)點 Pst是 L上的任一點，且點 P與點 和點 均不重合．（1 ）若點 Q是線段 的中點，試求線段 PQ的中點 M的軌跡方程； （2 ）若曲線 22251:40Gxaya???與 有公共點，試求 a的最小值．解：（1）聯(lián)立 2xy與 ??得 2,1??BAx，則 A中點 )25,1(Q，設(shè)線段 PQ的中點 M坐標(biāo)為 ),(y，則5,tys?，即25,12??ytxs，又點 P在曲線 C上，∴ )(y化簡可得 812???xy，又點 P是 L上的任一點，且不與點 A和點 B重合，則 21??x，即 4?x，∴中點 的軌跡方程為 812???xy（451??x）.（2 ）曲線 2225:40Gaxya???，即圓 E： 9)()(，其圓心坐標(biāo)為 )2,(aE，半徑 57?r由圖可知，當(dāng) 20?時，曲線 221:40Gxy??與點 D有公共點；當(dāng) ?a時，要使曲線 25:xay與點 有公共點，只需圓心 E到直線oxA xBD:20lxy???的距離 572||| ????aad，得 02???a，則 的最小值為 527?.13.（ 2022 安徽卷理） （本小題滿分 13 分） 點 0(,)Pxy在橢圓21(0)xyab?上， 00cos,in,.2xyb????直線 2l與直線12:lab??垂直，O 為坐標(biāo)原點，直線 OP 的傾斜角為 ?，直線 2l的傾斜角為 ?.（I）證明: