【正文】 41）使用尺度函數(shù)，在下得出的公式，式42： （42）由于小波變換空間存在于相鄰較高分辨率尺度函數(shù)空間中，因此小波變換函數(shù)可以寫成雙倍分辨率的尺度函數(shù)加權(quán)求和得出，其表達式為式43： （43）式中為小波系數(shù)函數(shù)，也可以稱作為小波向量函數(shù)。上文介紹的是基于一維小波變換系數(shù)，在二維變換情況下，可以把各個系數(shù)分別擴展到二維函數(shù)即可，二維小波變換是根據(jù)二維小波函數(shù)和尺度函數(shù)定義，其中表示垂直方向的變化函數(shù)，表示水平方向的變化函數(shù)，表示對角線方向的變化函數(shù)。請看式44和45，便是尺度函數(shù)的公式： （44） (45)式中的值代表二維小波函數(shù)上標值、和。從而可以通過離散小波變換得出變換后的公式，對于一個二維圖像函數(shù)，經(jīng)過變換可以得到式46和47公式。 (46) (47)其中表示任意開始的尺度值，函數(shù)值在尺度為位置離散小波變換后的值。其中二維小波變化三級分解可以用下圖41表示：原始圖像（1）原始圖像 （2）一級分解（3）二級分解 （4）三級分解圖41小波變換過程圖經(jīng)過小波三級分解后，圖像被分成多個頻帶圖塊，其中各個圖塊相互獨立，且對于不同層有不同的頻率和分辨率，每一層都有水平，垂直和對角線這三個頻帶圖塊。同一圖層左上角的那個圖像塊具有低尺度特性，集中了原始載體圖像絕大部分能量信息。其他三個圖塊一般只包括各個圖塊邊緣細節(jié)信息。 圖像小波分解對原始圖像，首先通過小波變換對圖像進行層分解，在第層就有四個圖像塊，分別是,其中是的圖像的低頻子帶，其他分別是垂直方向的高頻子帶，水平方向的高頻子帶，對角線上得高頻子帶。實驗使用512512的經(jīng)典Lena作為處理圖像對其進行三級小波分解，得到結(jié)果如下圖所示： （1）LL1 (2)LH1 (3)HL1 (4)HH1圖42小波一級分解子圖 （1）LL2 (2)LH2 (3)HL2 (4)HH2圖43小波二級分解子圖 （1）LL3 (2)LH3 (3)HL3 (4)HH3圖44小波三級分解子圖分別對每個低頻子圖進行直方圖，比較四個圖像塊分別頻率和能量變化，如下分析：（1）對LL3進行畫直方圖操作，可以看到該圖像塊攜帶有圖像大部分內(nèi)容，集中在低頻部分，內(nèi)含圖像信息及能量更多。（2）對余下三個子圖進行畫直方圖操作，可以明顯發(fā)現(xiàn)子塊攜帶信息不是很多，全部集中在一起，水平方向和垂直方向的細節(jié)子圖和對角線方向的細節(jié)子圖比較，顯然前者比后者系數(shù)及能量更大。詳見下圖:（1）第三層低頻細節(jié)子圖 （2）第三層高頻水平方向細節(jié)子圖（3）第三層高頻垂直方向細節(jié)子圖 （4）第三層高頻對角線方向細節(jié)子圖圖45第三層子圖的直方圖操作表41三層小波分解系數(shù)統(tǒng)計圖塊最大值最小值平均值LL3+03+03LH3HL3HH3LH2HL2HH2LH1HL1HH11．00根據(jù)表41可以看出第一層子帶絕大部分的小波系數(shù)絕對值相對較小，所以所攜帶的能量也相對較少。第二、三層小波系數(shù)的絕對值逐層增加，第三層的小波系數(shù)的變化范圍更大說明隨著小波分解不斷的進行分辨率越小的圖像得到的系數(shù)越發(fā)的重要，分辨率最低時，小波系數(shù)絕對值達到最大，波動范圍最廣。 離散小波變換算法實現(xiàn)的基本步驟DWT也就是小波變換，基本思路就是先對加載水印信息進行置亂處理，本章使用Arnold置亂算法進行置亂操作，對置亂后的水印圖像進行一層小波分解，提取四個系數(shù)。然后將載體圖像也進行小波三層分解分別提取出四個系數(shù)，此時載體圖像與水印圖像的子帶矩陣同樣像素大小，此時將水印根據(jù)HVS的關(guān)系進行嵌入操作，然后對修改后的四個小波子帶系數(shù)進行小波逆變換從而對圖像進行重構(gòu)。提取時將含有水印的圖像與原載體圖像相比較從而提取出水印圖像來。水印信息載體圖像Arnold置亂水印嵌入水印重構(gòu)圖47 DWT變換算法的基本步驟 Arnold置亂加密本算法依舊選擇6464的寫有河北工業(yè)四個字的一位深度的圖像作為水印圖像，因此根據(jù)表21中的數(shù)據(jù)得知該水印的Arnold置亂周期是48，所以只要輸入的密鑰不超過48，就可以成功的將水印置亂并復原回來。 （1）水印圖像 （2）置亂后的水印圖48置亂前后的水印圖像 小波基的選取小波變換的定義是將原始圖像與基函數(shù)以及尺度函數(shù)進行內(nèi)積運算，小波變換的目就是希望經(jīng)分解后得到的細節(jié)分量具有高度的局部相關(guān)性，而整體能最大限度的消除相關(guān)性。因此對于同一幅圖像選擇不同的小波基進行分解所得到子帶圖像是不一樣的。主要的小波濾波器包括Haar小波，Daubechies4小波，Daubechies6小波以及9/7雙正交小波。研究表明正交小波基的正則性，消失矩階數(shù)，支撐長度以及小波能量在低頻帶集中程度對水印的穩(wěn)健性影響極小，而Haar小波比較適合圖像水印，因此本算法我選擇使用Haar小波基進行小波分解[32]。圖49Haar小波圖像 嵌入算法本算法采用NN像素大小的灰度圖像作為載體圖像I，將MM大小的二值圖像作為水印圖像。第一步，對預處理后的水印圖像進行一級小波分解，得到像素大小的4個子圖塊系數(shù)。第二步，對載體圖像進行3層小波分解，同樣得到像素大小的4個子圖塊系數(shù)。第三步，將得到的小波系數(shù)用48公式進行新替換： (48)其中重組系數(shù)，為載體圖像的子帶系數(shù)矩陣，為水印信息。第四步，根據(jù)不同子帶以式49為準則帶入相關(guān)系數(shù)嵌入水印。 （49）其中表示低頻子帶，表示高頻子帶。，.第五步，將替換后的含水印的圖像系數(shù)進行小波逆變換，從而重構(gòu)圖像。 提取算法第一步，對經(jīng)過小波變換算法水印系統(tǒng)提取出來的水印圖像進行三級小波分解，對原始載體圖像同樣進行三級小波分解。如此分別可以得到三層小波四個系數(shù)。第二步，將得到的系數(shù)分別按照公式410進行運算，提取水印信息： （410）其中含水印圖像子帶系數(shù)矩陣，為原載體圖像的子帶系數(shù)矩陣，為提取的水印信息。第三步，將提取出來的水印信息進行小波逆變換，重構(gòu)圖像后，進行Arnold復原運算，得到初始水印信息。1）添加椒鹽噪聲,用以檢測水印的抗噪聲性能。2）高斯低通濾波向圖像中加入水印可以看成向圖像中添加噪聲, 因此濾波操作會對水印造成很大威脅,實驗采用8，對經(jīng)過小波變換算法的水印系統(tǒng)進行濾波處理測試。3）JPEG壓縮圖像壓縮算法是的目的就是把圖像中多余的數(shù)據(jù)或者說是不重要的數(shù)據(jù)進行剔除,一般來說經(jīng)過壓縮后的圖像,圖像中的高頻分量作為多余信息舍棄,實驗中我采用JPEG壓縮方式，壓縮率為80%來檢驗經(jīng)過小波變換算法的水印系統(tǒng)的抗有損壓縮的能力。4）圖像裁剪本實驗裁剪掉了圖像左下方四分之一大小的區(qū)域，來檢測經(jīng)過小波變換算法的水印系統(tǒng)對裁剪的抵抗性能。5）旋轉(zhuǎn)對圖像進行旋轉(zhuǎn)后從數(shù)學角度來看圖像內(nèi)部點的位置信息發(fā)生大規(guī)模改變，水印的提取有著極大的威脅性。本實驗采用imrotate函數(shù)對圖像進行30176。的旋轉(zhuǎn)，對經(jīng)過小波變換算法的水印系統(tǒng)進行測試。 算法結(jié)果與分析對水印進行魯棒性測試可以很好的檢測水印系統(tǒng)是否可靠，性能如何。因此以下對本算法結(jié)果進行分析并進行魯棒性測試。（1）水印的嵌入（1）原始載體圖像 （2）加有水印的圖像圖410水印嵌入結(jié)果結(jié)果分析如下：根據(jù)實驗結(jié)果做出分析經(jīng)過小波變換算法的水印系統(tǒng)處理后的圖像與原圖比較沒有明顯的失真與可明顯看見的改變說明此算法嵌入具有很好的保真性和隱蔽性。（2）水印的提取 （1）原水印圖像 （2）提取的水印圖像圖411水印的提取結(jié)果結(jié)果分析如下：根據(jù)實驗結(jié)果做出分析經(jīng)過小波變換算法的水印系統(tǒng)提取的水印質(zhì)量良好，清晰可見幾乎與原水印一模一樣，說明嵌入很成功，提取的很完整。（3）加入椒鹽噪聲（1）椒鹽噪聲 （2）提取的水印 （3）原水印比較圖412加入椒鹽噪聲的結(jié)果結(jié)果分析如下：，經(jīng)過小波變換算法的水印系統(tǒng)提取出來的水印總體可以辨認，雖然布滿斑點。（4）通過高斯低通濾波器（1）低通濾波 （2）提取的水印 （3）原水印比較圖413通過高斯低通濾波器結(jié)果分析如下：根據(jù)實驗結(jié)果做出分析經(jīng)過濾波操作以后原圖分辨率有所降低，經(jīng)過小波變換算法的水印系統(tǒng)提取的水印變得難以辨認，但是依稀可以辨認出來水印信息。說明該系統(tǒng)對濾波操作抵抗性能一般。（5）經(jīng)過JPEG壓縮操作（1）壓縮 （2）提取的水印 （3）原水印比較圖414經(jīng)過JPEG壓縮操作結(jié)果分析如下：根據(jù)實驗結(jié)果做出分析經(jīng)過80%的壓縮過后原圖圖像質(zhì)量明顯下降，經(jīng)過小波變換算法的水印系統(tǒng)提取的水印卻很清晰，可見該算法面對壓縮有較好的魯棒性。（6）經(jīng)過剪切操作（1）剪切 （2）提取的水印 （3）原水印比較圖415經(jīng)過剪切操作結(jié)果分析如下：根據(jù)實驗結(jié)果做出分析嵌入的圖像的左下四分之一被全部被裁剪而去之后，可見裁剪掉了部分水印信息，經(jīng)過小波變換算法的水印系統(tǒng)提取的水印，水印信息提取不完整，但仍可以辨認水印的內(nèi)容。（7）對圖像進行旋轉(zhuǎn)操作（1）旋轉(zhuǎn) （2）提取的水印 （3）原水印比較結(jié)果分析如下：根據(jù)實驗結(jié)果做出分析圖像經(jīng)過30176。旋轉(zhuǎn)之后，圖像像素位置發(fā)生變化，經(jīng)過小波變換算法水印系統(tǒng)提取的水印出現(xiàn)了部分失真信息無法辨認需要的水印信息，可見對于旋轉(zhuǎn)操作，本算法魯棒性不佳。通過對離散小波變換和對離散余弦變換的比較研究可以發(fā)現(xiàn)，基于變換域下的數(shù)字水印系統(tǒng)在不同的算法下面對不同的攻擊有不同的表現(xiàn)。面對椒鹽噪聲時通過對椒鹽噪聲系數(shù)的修改，通過對表51和圖51觀察我們可以發(fā)現(xiàn)，當噪聲強度不斷加強時水印系統(tǒng)功能都直線下降然而可以發(fā)現(xiàn)離散余弦變換會比離散小波變換算法更加耐噪聲攻擊。在噪聲強度不高時，離散余弦算法提取出來的水印更加清晰，噪聲對小波變換算法的影響還是挺大的。椒鹽噪聲系數(shù)DWT變換PSNRNCDCT變換PSNRNC表51椒鹽噪聲攻擊水印本身就可以看成是一種噪聲，因此濾波操作對水印的破壞還是很直接的，通過不斷改變?yōu)V波函數(shù)的參數(shù)，通過表52和圖52可以看出離散余弦變換比小波變換更加適應濾波操作。高斯低通濾波DWT變換PSNRNCDCT變換PSNRNC表52高斯低通濾波 JPEG壓縮