兩個單調函數(shù)乘積的單調性畢業(yè)論文(已改無錯字)
2023-07-24 03:39:41 本頁面
【正文】 就可以根據(jù)定理得到證明函數(shù)不等式的系列結論【8】：（1） 設在定義區(qū)間內可導，當且時，有；反之當且時，有. 證：根據(jù)引理可知，當時，有在內單調增加，所以，即，進一步可知. 同理可證且時，有. （2） 設在定義區(qū)間內可導，當且時，有；反之當且時，有. 證：根據(jù)引理可知，當時，有在內單調增加，所以，即，進一步可知. 同理可證，且時，有. （3） 設在定義區(qū)間內可導，則有；反之當，且時，有. 證：由可知是在區(qū)間上的單調增函數(shù)，所以，即為上的單調增函數(shù). 由增函數(shù)性質可知，即，所以. 同理可證，且時，有. （4） 設在定義區(qū)間內可導，則有；反之當，且時，有. 證：由可知是在區(qū)間上的單調增函數(shù)，所以，即為上的單調減函數(shù). 由增函數(shù)性質可知，即，所以. 同理可證，且時，有. 例1：當時，證明證：令函數(shù)，則. 因為時，得，所以函數(shù)在內為嚴格單調減函數(shù)，即，而， ，所以，得證. 例2：若，證明【4】.證：記，則是關于的一次函數(shù)，又因為，所以，.故由一次函數(shù)的單調性可知，恒有，即，于是.4. 3 證明方程根的存在性以及判斷根的個數(shù)零點定理[1]：如果函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，且有（即與符號不同），那么函數(shù)在開區(qū)間上至少存在一個點，使得. 由零點定理可知，若函數(shù)滿足上述條件，且在嚴格單調，則可知方程在定義域內有且僅有一個實根. 例：證明方程有一個實根，且這個實根是其唯一的實數(shù)根. 證：令，因為，且，得，所以在內至少有一個零點.由，且，，得，即在上單調增加，所以方程有且僅有一個實根5 探討兩個單調函數(shù)的乘積的單調情況經過對以上問題的研究討論之后，我們已經了解到了函數(shù)單調性的重要意義，接下來，我們將對單調函數(shù)進行推廣，開始探討單調函數(shù)之間經過簡單運算之后得到的新函數(shù)的單調性問題. 在論文前部分2. 2的性質中已經提到了兩個單調函數(shù)經過簡單的加、乘、倒數(shù)、反函數(shù)以及復合函數(shù)等運算之后的單調性的變化情況，下面我們將著重討論兩個單調函數(shù)的乘積的單調性. 5. 1 影響兩個單調函數(shù)的乘積的單調性的可能因素要想知道兩個單調函數(shù)的乘積的單調性，必須先明白影響兩個單調函數(shù)的乘積的單調性的可能因素. 毫無疑問，這必然跟原函數(shù)的單調性密切相關，所以在探討兩個單調函數(shù)的乘積的單調情況之前，我們必須先知道原函數(shù)的單調情況. 此外，由單調增函數(shù)（或者減函數(shù)）乘以一個負數(shù)，其單調性變?yōu)闇p（或者增），而單調增函數(shù)（或者減函數(shù)）乘以一個正數(shù)，其單調性仍為增（或者減）. 可以清楚的知道兩個單調函數(shù)相乘之后的單調性還跟原函數(shù)函數(shù)值的正負性有關. 下面，我們將通過一個例題來引入這個問題. 例：已知，，判斷函數(shù)的單調性[2]. 解：令，求導得：，.令，即，求得函數(shù)值為零的點是：或者；令，即，求得駐點是：；令，即，求得拐點是：. 所以，在上單調增加，在上單調減少. 總結上述情況，我們可以將函數(shù)在定義域上分為六個區(qū)間，并把各個區(qū)間的單調情況用圖表表示出來，（我們約定“”表示“函數(shù)值為正值，且函數(shù)為增函數(shù)”，“”表示“函數(shù)值為負值，且函數(shù)為增函數(shù)”，“”表示“函數(shù)值為正值，且函數(shù)為減函數(shù)”，“”表示“函數(shù)值為負值，且函數(shù)為減函數(shù)”）. 單調情況如下表所示：（）上述例題已經在一定程度上反應了兩個單調函數(shù)的乘積的單調性與原函數(shù)的單調性和原函數(shù)函數(shù)值的正負性密切相關. 那么兩個單調函數(shù)相乘是不是總能得到具有單調性的函數(shù)呢？事實并非如此，最容易想到的一個事例就是當，時，我們知道是整個上的單調增加函數(shù)，在是單調減函數(shù). 它們的乘積，是常數(shù)函數(shù)，不具有單調性. 所以說，并不是所有的由單調函數(shù)相乘得到的新函數(shù)都具有單調性. 5. 2 利用導數(shù)證明兩個單調函數(shù)的乘積的單調情況5. 2. 1 乘積函數(shù)求導法則在5. 1中，只是從一個簡單例題的特殊角度觀察出了影響兩個單調函數(shù)的乘積的單調性的兩個因素，并沒有在理論上證明. 接下來，我們將借助導數(shù)理論，. 首先，我們需要知道乘積函數(shù)的求導法則：定理[1]：若函數(shù)與在可導，則函數(shù)在也可導，且 （）證：設，有 ，則. 又因為函數(shù)與在可導， 所以與由可導連續(xù)可知，在連續(xù)，所以，所以
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