抽象代數(shù)復(fù)習(xí)題及答案(已改無(wú)錯(cuò)字)
2023-07-23 16:46:27 本頁(yè)面
【正文】 子集的任何兩個(gè)元素在G的運(yùn)算之下，仍在該非空子集之中。（ √ ）3. 設(shè)G是非零實(shí)數(shù)在數(shù)的乘法運(yùn)算之下構(gòu)成的群。 f: G→G是一個(gè)映射，且f(x) =7, xG. 則f是G到G的同態(tài)映射。（ ）4. 一個(gè)環(huán)如果有單位元，則它的子環(huán)也一定有單位元。（ ）5. 設(shè)G是群，則群G的任意兩個(gè)正規(guī)子群的交仍是群G的正規(guī)子群。（ √ ）6. 設(shè)G是n階有限循環(huán)群，則G同構(gòu)于模n剩余類(lèi)加群 。 （ √ ）7. 設(shè)是群同態(tài)，則將G的單位元不一定映射為的單位元。（ ）8. 設(shè)R是環(huán)，A，B是R的任意兩個(gè)理想，則也是環(huán)R的理想。（ √ ） 9. 域的特征可以為任何自然數(shù). （ ）10. 群的任何兩個(gè)正規(guī)子群的乘積仍然是正規(guī)子群. （√ ）11. 4次交錯(cuò)群在4次對(duì)稱(chēng)群中的指數(shù)為4. （ ）12. 復(fù)數(shù)域是實(shí)數(shù)域的單代數(shù)擴(kuò)張。 （ √ ）13. 除環(huán)一定是域. （ ）. （ √ ）15. 整數(shù)環(huán)的商域是有理數(shù)域. （ √ ）16. 無(wú)限循環(huán)群和整數(shù)加群同構(gòu). （ √ ）17. 多項(xiàng)式 在有理數(shù)域上可約。 （ ）18. 在特征為的域中始終有 （ √ ）19. 高斯整數(shù)環(huán)是唯一分解環(huán). （ √ ）20．有限集合到有限集合的單射不一定是滿(mǎn)射。 （ ）21. 有限群的任何子群的階一定整除這個(gè)群的階。 （ √ ）22. 設(shè)是群的同態(tài)， 則同態(tài)核是的正規(guī)子群. （ √ ）。 （ ），為素?cái)?shù)， 則是的極大理想。 （ √ ）四、證明題1. 設(shè)為有理數(shù)域，設(shè)， 則按數(shù)的乘法和加法構(gòu)成一個(gè)域.（6分）證明： 非空，且T是實(shí)數(shù)域的一個(gè)子集。T關(guān)于數(shù)的加法、乘法封閉是顯然的，而且這樣我們就得關(guān)于加法、乘法構(gòu)成實(shí)數(shù)域的一個(gè)子域.，因此按數(shù)的乘法和加法構(gòu)成一個(gè)域.。2. 設(shè)E是的擴(kuò)域，且（E：F）=1，則E=F. （6分）證明：用反證法：若， 則存在， 這樣， 矛盾！3. 證明：交換群的商群是交換群.（8分）證明：設(shè)G為交換群， 且，則 G關(guān)于正規(guī)子群H的商群，且對(duì)任意有, 故是交換群.4. 設(shè)，“”是數(shù)的乘法，證明：（A，）～（B，）。（這里“～”表示（A，）與（B，）是滿(mǎn)同態(tài)）（8分） 證明：構(gòu)造映射：，則容易驗(yàn)證f 是映射.5. 證明：設(shè)G=， 則關(guān)于矩陣乘法構(gòu)成（）的子半群.（6分）證明：對(duì)任意的， 故由子半群的判定知，關(guān)于矩陣乘法構(gòu)成（）的子半群，得證.6. 設(shè)a是群G的任一元素，若的階|a|=2，求證： .（6分）證明：由題設(shè)我們知道： 對(duì)這個(gè)式子的兩邊同時(shí)乘以得利用群G中逆元和單位元的性質(zhì)，即得，.7. 設(shè)ε=，即=1，G=，證明：有如下的群同構(gòu)：（，）≌（G，），這里σ（[0]）=1，σ（[1]）=ε，σ（[2]）=。（8分）證明：容易驗(yàn)證下述映射 ：是雙射，且保持運(yùn)算， 即：.由同構(gòu)映射的定義，即得（，）≌（G，）. 8. 設(shè)G是R22中所有可逆矩陣組成的集合，（i）. 證明G關(guān)于矩陣的乘法成群。（6分）(ii). 的階是多少？（4分）(iii).
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