數(shù)學(xué)課件：2-3-2、3平面向量的正交分解及坐標表示平面向量的坐標運算(已改無錯字)
2023-07-20 16:22:44 本頁面
【正文】 ) ，則有 ??????? m2＋ n2＝ 1 ，p2＋ q2＝ 1 ，m ＋ p ＝ 1 ，n ＋ q ＝ 0 ，解得????? m ＝ p ＝12，q ＝－ n ＝－32，或????? m ＝ p ＝12，q ＝－ n ＝32. 故所求向量為 a ＝ (12，32) ， b ＝ (12，－32) ，或 a ＝ (12，－32) ，b ＝ (12，32) ． [ 分析 2] 利用三角換元法求解． [ 解法 2] 設(shè) a ＝ ( c os α ， sin α ) ， b ＝ ( c os β ， sin β ) ，則有 ????? c os α ＋ c os β ＝ 1 ， ①sin α ＋ sin β ＝ 0. ② 由 ①② 得 (1 － c os β )2＋ sin2β ＝ 1 ，即 c os β ＝12. 將 c os β ＝12代入 ① 得????? c os α ＝12sin α ＝－32和????? c os β ＝12sin β ＝32. 故所求向量為 a ＝ (12，32) ， b ＝ (12，－32) ，或 a ＝ (12，－32) ，b ＝ (12，32) ． 規(guī)律總結(jié)： 以上三種解法各具特色，解法 1 利用模的概念和向量的坐標運算，通過解方程組來求解，思路自然、嚴謹；解法 2 利用 “ 三角換元法 ” ，將 “ 長度 ” 分解，借助三角變換簡化了運算． 已知 A ( － 2,4) ， B (3 ，－ 1) ， C ( － 3 ，－ 4) ，且 CM→＝ 3 CA→， CN→＝ 2 CB→，求 M 、 N 的坐標和 MN→的坐標． [ 解析 ] 因為 A ( － 2,4) ， B (3 ，－ 1) ， C ( － 3 ，－ 4) ，所以 CA→＝ (1,8) ， CB→＝ (6,3) ．設(shè) M ( x ， y ) ，則 CM→＝ ( x ＋ 3 ， y ＋ 4) ． 由 CM→＝ 3 CA→得 ( x ＋ 3 ， y ＋ 4) ＝ 3( 1,8) ， 即????? x ＋ 3 ＝ 3y ＋ 4 ＝ 24，解得????? x ＝ 0y ＝ 20，即 M (0,20 ) ． 同理可得 N (9,2) ．所以 MN→＝ (9 ，－ 18). 建模應(yīng)用引路 已知點 A ( 2,3) 、 B ( 5,4 ) 、 C ( 7,10) 若 AP→＝ AB→＋ λ AC→( λ∈ R ) ，試求 λ 取何值時，點 P 在第三象限內(nèi)？ [ 分析 ] 要判斷點 P 所在的象限，須知 P 點坐標，為此需求OP→＝ OA→＋ AP→的坐標．或由 AP→＝ AB→＋ λ AC→找出坐標的關(guān)系，求出P 點坐標． [ 解析 ] 解法一：設(shè)點 P 的坐標為 ( x ， y ) ． 則 AP→＝ ( x ， y ) － ( 2,3) ＝ ( x － 2 ， y － 3) ． AB→＋ λ AC→＝ ( 5,4) － ( 2,3) ＋ λ [ ( 7,10) － ( 2,3) ] ＝ ( 3,1) ＋ λ ( 5,7) ＝ ( 3,1) ＋ (5 λ ， 7 λ ) ＝ (3 ＋ 5 λ ，
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