高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)26指數(shù)與指數(shù)函數(shù)(已改無(wú)錯(cuò)字)
2023-02-08 13:57:41 本頁(yè)面
【正文】 a 0 且 a ≠ 1 ， 函數(shù) y ＝ a2 x＋ 2 ax－ 1 在 [－ 1,1] 上的最大值是 14 ，求 a 的值．換元令 t ＝ a x ，利用二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)建方程獲解． 解 令 t ＝ a x ( a 0 且 a ≠ 1) ， 則原函數(shù)化為 y ＝ ( t ＋ 1) 2 － 2 ( t 0) ． ① 當(dāng) 0 a 1 時(shí)， x ∈ [ － 1,1 ] ， t ＝ ax ∈??????a ，1a ， 此時(shí) f ( t ) 在??????a ，1a 上為增函數(shù)． 考點(diǎn) 4 指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 例 4 所以 f ( t ) ma x ＝ f??????1a＝??????1a＋ 12－ 2 ＝ 14. 所以??????1a＋ 12＝ 16 ， 所以 a ＝－15或 a ＝13. 又因?yàn)?a 0 ，所以 a ＝13. ② 當(dāng) a 1 時(shí)， x ∈ [ － 1,1 ] ， t ＝ ax∈??????1a， a ， 此時(shí) f ( t ) 在??????1a， a 上是增函數(shù)． 所以 f ( t ) m a x ＝ f ( a ) ＝ ( a ＋ 1)2－ 2 ＝ 14 ， 解得 a ＝ 3( a ＝－ 5 舍去 ) ． 綜上得 a ＝13或 3. 指數(shù)函數(shù)問(wèn)題一般要與其它函數(shù)復(fù)合．本題可利用換元法將原函數(shù)化為一元二次函數(shù)．結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出原函數(shù)的單調(diào)性，從而獲解． 由于指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性取決于底數(shù)的大小，所以要注意對(duì)底數(shù)的分類(lèi)討論，避免漏解． 探究提高考點(diǎn) 5 指數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用 指數(shù)函數(shù) y＝ ax(a0， a≠ 1)是單調(diào)函數(shù) ， 復(fù)合函數(shù) y＝ au(其中 u是關(guān)于 x的函數(shù) u(x))的單調(diào)性是由 y＝ au和 u＝ u(x)的單調(diào)性綜合確定 (遵循同增異減的規(guī)律 )． 利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性 ， 可以處理有關(guān)指數(shù)式的比較大小問(wèn)題 ， 以及某些最簡(jiǎn)指數(shù)方程 (不等式 )的求解 ． 已知 f ( x ) ＝aa2－ 1( ax－ a－ x)( a 0 且 a ≠ 1) ． ( 1 ) 判斷 f ( x ) 的奇偶性； ( 2 ) 討論 f ( x ) 的單調(diào)性； ( 3 ) 當(dāng) x ∈ [ － 1 , 1 ] 時(shí)， f ( x ) ≥ b 恒成立，求 b 的取值范圍． 【 思路分析 】 (1)首先看函數(shù)的定義域而后用奇偶性定義判斷； (2)單調(diào)性利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性易于判斷，還可用導(dǎo)數(shù)解決； (3)恒成立問(wèn)題關(guān)鍵是探求 f(x)的最小值． 例 5 【解】 ( 1 ) 函數(shù)定義域?yàn)?R ，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)． 又 ∵ f ( － x ) ＝
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