【正文】 ??6005400216005403213121rrA)()( ji rr ?)( kri ?)( ji krr ?等價矩陣 (i)反身性， A→ A； (ii)對稱性，若 A→ B則 B→ A； (iii)傳遞性，若 A→ B， B→ C則 A→ C. 定義 如果矩陣 A經有限次初等變換變成矩陣 B， 稱 矩陣 A、 B等價 . 注 （ 1）等價作為一種關系滿足以上三個性質 . （ 2）等價也可以應用于線性方程組或向量組，例如線性方程組與其同解方程等價等等 . 矩陣等價關系滿足以下性質： 行階梯形矩陣與行最簡形矩陣 ）（ 400000310000111041211B????????????????)(000003100030110401015B????????????????)(00000001000001000001F?????????????nmrOOOEF????????經列初等變換 一般地 繼續(xù)行初等變換 稱為行階梯形矩陣 特點： 橫線下方全是 0； 每階只有一行，階數即非零行行數； 豎線后面第一個元素為非零元 . 也稱為行最簡形矩陣 特點： 各階第一個非零元都是 1，所在列其余元素均為 0. 稱為標準形矩陣 特點： 左上角是一個單位矩陣，其余元素均為 0. 一般標準形矩陣 矩陣 A經過初等變換總可以化為這種標準形； 該標準形由 m、 n、 r 完全確定 . 用例說明： rrrE??????????????100010001???????矩陣的高斯消元法 任何一個 m n矩陣 A都可以經過行初等變換化為行階梯形 .對行階梯形繼續(xù)行初等變換可以化為行最簡形 .化簡時使用以下矩陣的 高斯消元法 . 矩陣高斯消元法的步驟： （ 3） 對除去第一行以外的行重復以上作法 ， 則將矩陣化為行階梯形； （ 4） 將最后一個非零行中的首個非零元 ， 通過乘以某常數化為 1， 并將其所在列該非零元上面的元素都消為零 ，依此 ， 由下向上遞推 ， 最后將 A化為行最簡形 . （ 1） 取矩陣中元素 a11?0為主元 ， 如果 a11=0為零 ， 通過行交換將第一列上元素不為零的某行換到第一行； （ 2） 用主元 a11將第一列中 a11以下的其他元素消為零； ??????????????????????????? ???5500334241219621412133422132rrrrA解.為最簡形利用初等變換化矩陣???????????????962141213342A??????????????????????????????????0000110030211100550041215151)1(51)2(21223312rrrrrrrr.的最簡形最后一個矩陣為 A例 1 ..???????????343431312252321 AA其中形化為行階梯形和行最簡利用高斯消元法將矩陣施以初等行變換：對 A解 ????????????????????????????????1226209152052321343431312252321231323rrrrA???????????????????31915210052032123 rr例 2 .的行階梯形最后一個矩陣為 A繼續(xù)行初等變換， ?????????????????????31914110052020121 rr?????????????????316423100020001313225rrrr?????????????????3132231000100012123)()(rr.的行最簡形最后一個矩陣為 A? ? .為行最簡形化?????????????34312232133ijaA.100010001100020001100520201100520321620520321????????????????????????????????????????????????????????????????????A.最簡形也是標準形由最后化成的矩陣是行標準形 例 3 此題建議學生完成 . 解 第 n階方陣 ? ? (方陣 ) ? ? – 方陣的其他運算 ? 返回 定義 由 n2個數排成的 n n矩陣 稱為 n階方陣 .記作 A= 定義 由方陣左上角元素到右下角元素表示的位置稱為方陣的主對角線 ， 主對角線元素的和即稱為方陣的跡 ， 記作 : nnija ?)(i， j=1， 2， … ， n nnA ?或簡記作?)( Atr nnaaa ??? ?2211所有 n2個元素全為零的矩陣稱為 n階零陣，記作 ?????????????000000000???????O(1)零陣 (方陣 ) 在方陣運算中起數字“ 0”作用， 零陣的 跡等于0. AAO ???????????????????????432143210000OAO ???????????????????????000043210000例如 (1)對角矩陣 定義 所有非主對角線元素全等于零的 n階矩陣稱為 對角矩陣 . ?????????????3000050000900001是一個四階對角矩陣 . (方陣 ) 當對角線元素都相等時有： 定義 如果 n階對角矩陣所有主對角線元素都相等， 則稱此矩陣為 n階數量矩陣 ,或標量矩陣 . 當 a=1時 , 對角元全為 1， 其他元素都是零 的 對角陣稱為單位矩陣 . (2)數量矩陣 視作數乘單位陣 .000000aEaaa????????????????????記作.100010001????????????????????nE記作定義 如果 n階矩陣主對角線下方的元素都等于零， 則稱此矩陣為 上三角矩陣 . 如果 n階矩陣主對角線上方的元素都等于零， 則稱此矩陣為 下三角矩陣 . A為 n階上三角矩陣； B為 n階下三角矩陣 . (3)三角形矩陣 ??????????????????????????nnnnnnnnbbbbbbBaaaaaaA??????????????2122211122211211000000在下列矩陣中 ,指出三角陣、對角陣、數量陣、單位陣： .,????????????????????????????????????????????????????1000100013000300035000100011400320014025EDCBA練習 定義 如果 n階矩陣 A滿足 A=AT， 則稱矩陣 A為 對稱矩陣 . ?????????????nnnnnnaaaaaaaaaA???????212221211211形如對稱矩陣 A=（ aI j） 中的元素滿足 aij=aji， i， j=1， 2， …n 即 A中元素關于主對角線為對稱 . 性質 （ 1） 對稱矩陣 A與 B的和也是對稱矩陣 （ 2）數乘對稱矩陣仍為對稱矩陣 . ???????????????6542533143202101B例：(4)對稱矩陣 定義 如果 n階矩陣 A滿足 AAT＝ ATA＝ E ， 則稱矩陣 A為 正交矩陣 . 。???????????????????????????????1001100110011001AAAAATT例如性質 （ 1）若 A為正交矩陣 ,則 AT也是正交矩陣 。 （ 2）正交矩陣 A與 B的乘積也是正交矩陣 . ???????????????????? ????????? ??1001ttttttttBBBBttttBTTc o ss i ns i nc o sc o ss i ns i nc o sc o ss i ns i nc o s例如(5)正交矩陣 構成矩陣系數 ija 稱此矩陣為線性變換的 系數矩陣 . 線性變換與矩陣存在著一一對應關系 . ? ? .212222111211???????????????mnmmnnnmijaaaaaaaaaaA???????例如 .c o ss i ns i nc o s???????????tytxytytxxt 角的旋轉變換為：以原點為中心旋轉 .coss i n s i ncos ?????? ?tttt的矩陣為：那么這個線性變換對應稱此矩陣為上述線性變換的 系數矩陣 . 顯然該矩陣即為前面提及 正交矩陣 . 其它三種常見的線性變換 ① 恒等變換 ??????????nnxyxyxy?,2211 單位陣 ② 線性變換 ??????????nnnxyxyxy????,222111 對角矩陣 ?????????????100010001???????nE??????