【正文】 U就是廣義的力：電壓， I 是廣義的流：電流， R是電阻。一般電阻R是常數(shù)，所以廣義流與廣義力之間存在著線性的關(guān)系，這就是非平衡態(tài)物理線性區(qū)域的意思。一般的，某一個廣義流不僅僅依賴于與它直接共軛的廣義力，而且還依賴于其他的力。比如電路中電流也會產(chǎn)生熱效應(yīng)，所以這些流和力之間是有交叉效應(yīng)的。所以 ,i=1,… ,K其中 Lik 是一個 K*K 的系數(shù)矩陣，這個矩陣有一個重要的性質(zhì)，這就是：也就是說，交叉效應(yīng)是互補對稱的。如果單位的電勢差能夠產(chǎn)生一定量的熱量流，那么單位的溫度梯度 就能產(chǎn)生等量的電流。所以，矩陣 L是對稱陣，這被稱為昂薩格 (Onsager)對易關(guān)系。同樣，由于流和力的對稱性，力也能寫成流的線性組合形式，而且也有 Onsager 關(guān)系存在。這樣熵產(chǎn)生 (12)式就可以變成一個關(guān)于力或者流的二次型：看到這些公式你有沒有想到它們與上一篇文中導(dǎo)出的λ與 f之間的相似性呢 ?回憶：這里面的第二項就出現(xiàn)了λ與 f的乘積求和的形式。這跟熵產(chǎn)生的表達式 (12)很像。這種啟發(fā)對于數(shù)學(xué)家來說有很大的用處，后面我們就會看到這種相似的作用。三、最大熵產(chǎn)生原理 在《 Maximum entropy production principle in physics,chemistry and biology》這篇文章中，作者主要討論了最大熵產(chǎn)生原理的數(shù)學(xué)表述。這個原理最早是由 Ziegler 提出來的 (作為一種普遍的假設(shè) )，因此也叫做 Ziegler 原理，它的數(shù)學(xué)表述為： 。之所以要把σ的具體表達式寫成約束的形式，是考慮到可以應(yīng)用各種數(shù)學(xué)技巧找出抽象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)出來。假如系統(tǒng)中的各種廣義力固定了，即 Xi都不變了，那么可變的各種流 Ji將會導(dǎo)致最大化σ。這樣把約束用拉格朗日乘 子的寫法放到優(yōu)化函數(shù)中并對 J求偏導(dǎo)， Ziegler 原理就有了下面的描述方法：在這里，σ可以看作為各種流 J的唯一函數(shù)。μ是引入的拉格朗日乘子。這個時候，可以把熵產(chǎn)生看作是 J的一個未知函數(shù)，于是得到： (12)和：這個 (12)式叫做正交條件。這是一個很有意義的數(shù)學(xué)條件，它具有一定的幾何意義，我們后面還會用到，具體請看下圖：這張圖表示了當(dāng)僅有兩個流的時候σ (J1,J2)的極值問題。假如σ (J1,J2)就是一個抽象的曲面，那么σ (J)=Σ JX=J1X1+J2X2 就表示了一個過原點的平面 (X1 和 X2是常數(shù) )。這個平面會 與曲面σ (J)生成一條相交的曲線 (圖中的 OM 曲線 )。我們的問題是，讓 J1,J2 發(fā)生變化，并且保證 J1 和J2能在這條曲線上，然后尋找一點，使得σ (J)能夠取極大值。根據(jù)該圖，這個極大值就對應(yīng)了 M點。那么這個 M點有什么性質(zhì)呢 ?我們把平面σ (J1,J2)=σmax(σ max是常數(shù) )的這個截面和該截面與約束平面的交線投影下來，放到 J1OJ2 這個平面上。這個時候，σ (J1,J2)=σ max就成為了一個曲線 (如圖中底部的圓 )。而平面就成為了一條直線：σ max=J1X1+J2X2。這條直線應(yīng)該與曲線相切，這就是 M點是 極值點的充要條件。 根據(jù)高等數(shù)學(xué)，我們知道這條直線σ max=J1X1+J2X2 與σ (J1,J2)=σ max 相切的充要條件是曲線在該點的法向量應(yīng)該平行于直線的法向量，也就是說直線應(yīng)該在該點垂直于曲線，這就叫做正交條件。曲線σ (J1,J2)=σ max的法向量是：而直線的法向量是 {X1,X2}。所以 (12)給出的條件剛好就是這兩個方向量平行的條件。反過來，如果我們能得到一個函數(shù)σ (J1,J2)與σ (J)=ΣJX=J1X1+J2X2 滿足正交條件 ({X1,X2}垂直于曲線σ (J1,J2)=const)，那么 J1和 J2 這對變量就在最大化σ (J1,J2)。后面我們還會利用這個正交條件。提兩句文中的另一個結(jié)論 在一類特殊的σ (J)情況下討論問題比較有意思，這就是加入σ (J)是 J 的二次式，即：其中 Rik是一個常數(shù)矩陣。那么，從 Ziegler 原理，我們能夠得出：這是一個新的變分原理，又叫做 Onsager 原理。從這個原理出發(fā)能導(dǎo)出Onsager 對易關(guān)系和 Prigogine 的最小熵產(chǎn)生原理。也就是說，從最大化熵產(chǎn)生出發(fā)能夠?qū)С?，在特殊的條件下 (線性的、穩(wěn)態(tài)的條件 )，熵產(chǎn)生還會被最小化。四、微觀解釋 Ziegler 的最大熵產(chǎn)生原理是作為一種假設(shè)引進來的，雖然它已經(jīng)在很多實際問題中發(fā)揮了作用，不過人們對這一假設(shè)為什么正確并不理解。這就導(dǎo)致了有一批人開始為這一原理尋找微觀的解釋。目前，對這一原理的微觀解釋主要分成三種途徑，這三種途徑也基本上代表了當(dāng)今非平衡態(tài)統(tǒng)計物理的三種不同的學(xué)派。第一個學(xué)派是氣體動力學(xué)派，這個學(xué)派將當(dāng)年 Boltzmann 研究氣體動力學(xué)的方法繼承下來。它能給出最大熵產(chǎn)生原理一個最嚴格、徹底的證明。只不過這套方法也需要引入新的假設(shè)，另外，它的適用范圍比較小。第二個學(xué)派是隨機過程學(xué)派，這套方法 也需要引入新的假設(shè)。第三個學(xué)派是最可能路徑理論，它主要把第一篇文章介紹的 Jaynes 的統(tǒng)計物理擴充到了有關(guān)微觀路徑的統(tǒng)計中來。相比較來說，最可能路徑理論是目前最有突破希望的一個理論了。我們將在下一篇重點介紹這個方法。第三篇： Dewar 的《 Maximum entropy production and the fluctuation theorem》 +《 Information theory explanation of the fluctuation theorem,maximum entropy production and selfanized criticality in nonequilibrium stationary states》 一、最可能路徑 正如開篇所說，統(tǒng)計物理這套方法之所以能夠奏效主要歸因于它提出了一整套全新的看待世界的視角。傳統(tǒng)的理論認為，客觀世界決定了一切，所以，你從最微觀的物理原理出發(fā)，必然能夠一點一點構(gòu)建起來整個世界的圖景。統(tǒng)計物理的新視角是，我并不否認客觀世界的說法，但是在處理大數(shù)目的復(fù)雜系統(tǒng)的時候，這種完全從微觀物理出發(fā)推導(dǎo)出整個宏觀物理系統(tǒng)行為的方法沒有錯， 但并不是最聰明的方法。因為，當(dāng)我們觀察者僅僅在乎系統(tǒng)宏觀的統(tǒng)計行為或者規(guī)律的時候，系統(tǒng)的微觀細節(jié)如何并不是我們關(guān)心的。這樣，科學(xué)家們正是忽略了大量的微觀信息才能發(fā)現(xiàn)氣體的運動規(guī)律，也才有了統(tǒng)計物理。而這套哲學(xué)的根源可以歸宿到最大熵原理。面對一個系統(tǒng)，我們對它的了解最無知，所以我們就會去最大化這種無知度的度量：熵。正是這樣， Jaynes 提出了一套框架可以處理這一類無知與測量的問題。正如我們一再強調(diào)的，數(shù)學(xué)框架的優(yōu)點在于它可以提供一種抽象的結(jié)構(gòu)，在這個框架下，你放進去什么東西它并不管，但是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)可以保證你放進 去的東西必然存在著一些聯(lián)系和性質(zhì)，這是最重要的。按照第一篇讀書筆記的的第三節(jié)所討論的框架還是把系統(tǒng)看作是可以在不同的狀態(tài)下取值的靜態(tài)研究。當(dāng)我們把眼光放到動態(tài)系統(tǒng)的時候，我們關(guān)注的不再是靜止的狀態(tài)，而是變化本身！在系統(tǒng)中，這種變化就體現(xiàn)為一條演化的路徑。這樣，我們的統(tǒng)計對象不再針對具體的系統(tǒng)狀態(tài)進行，而是針對系統(tǒng)的演化路徑進行，這就是我們稱作最可能路徑理論的原因。為了說明最可能路徑理論，讓我們考慮這樣一幅圖景：系統(tǒng)從初始狀態(tài)出發(fā)演化到終止?fàn)顟B(tài)。在各種條件允許的情況下，系統(tǒng)的演化路徑可能有很多很多，我把它們稱 作微觀路徑。設(shè)一個微觀路徑為Γ，則這些路徑的全體集合就是 {Γ }。觀察者對于微觀路徑的觀察缺陷就像對于微觀狀態(tài)的觀察缺陷一樣，所以我們只能用概率的語言來描述這些路徑。因而我們?yōu)槊恳粋€路徑都分配一個主觀概率： pΓ。這樣，我們就可以把對于狀態(tài)適用的那一套語言全部翻譯到路徑上面了。 最大熵方法適合于描述平衡態(tài)的系統(tǒng)，也就是各個變量都不再變化了，系統(tǒng)也就停留在了最大熵給出的狀態(tài)上。對于非平衡系統(tǒng)來說，有一個與平衡系統(tǒng)的平衡態(tài)非常相似的概念，這就是穩(wěn)態(tài)。所謂的穩(wěn)態(tài)，就是指雖然系統(tǒng)的每一個部分都在不停的運動變化過程中，但 是構(gòu)成系統(tǒng)運動變化的流都不變了。因此，從流的角度看，觀察者看到了一個穩(wěn)定的狀態(tài)。這就叫穩(wěn)態(tài) (steady state 或 stationary state)。舉個例子，比如你觀察小溪，如果小溪流水穩(wěn)定了。那么你看到那些水波紋就停在那里不動了，這時候，雖然你再往下看，水波紋變成了一顆顆運動的水滴，系統(tǒng)應(yīng)該是處于變化過程中的。所以，這種在變化系統(tǒng)之上高一層次看到的不變狀態(tài)這就叫穩(wěn)態(tài)，或者叫動態(tài)平衡態(tài)。在演化的系統(tǒng)中，這種穩(wěn)態(tài)就對應(yīng)了路徑信息熵最大的狀態(tài)。因為流不動了，所以分配到每條路徑上的概率也就給定了。所以我們最 大化路徑的信息熵就得到了穩(wěn)態(tài)的分布，即：當(dāng)然，在最大化路徑信息熵的時候我們還要考慮到一些實際的約束。這在下面給出。 Dewar 的思路是，通過最大化路徑信息熵，我們就能自動導(dǎo)出一個新的函數(shù)的最大化的問題，而這個函數(shù)剛好就是熵產(chǎn)生函數(shù)。二、Jaynes 框架中蘊含的變分原理 下面，讓我們先暫時把最可能路徑的方法放一放，再次考慮 Jaynes 的框架。實際上，盡管不考慮路徑的信息熵，我們都可以從 Jaynes 的框架中直接得到一個最優(yōu)化函數(shù)，但是它的代價是需要我們做出線性近似的，在給定 f 的時候，當(dāng) pi 優(yōu)化信息熵 S 的同時，那些 參數(shù)λ就去優(yōu)化這個最優(yōu)函數(shù)。依然采用第一篇的第 3節(jié)給出的數(shù)學(xué)框架。我們回憶得到的概率分布是：我們還有 S對測量