【正文】 學模型 性的橡膠懸置支撐在剛性的、質(zhì)量為無限大的車架上。 本文所研究的對象使用的是三點懸置，其動力學模型如圖 26 所示。 在圖中： O 點為動力總成的質(zhì)心處， OXYZ 為固結于車架上的定坐標系 ，X 軸指向發(fā)動機右方（橫向）， Y 軸為平行曲軸中心線指向發(fā)動機前端面（縱向）， Z 軸為豎直向上（豎向）， 為固結于發(fā)動機剛體上的動坐標系，在動力總成處于平衡狀態(tài)時 , 這兩個坐標系重合在一起。 動力總成懸置系統(tǒng) 自由振動 微分方程的建立 建立振動微分方程常見的方法有兩種，一種是用牛頓第二定律，另一種是拉格朗日動力方程。拉格朗日動力方程是從系統(tǒng)的能量和功的角度出重慶理工大學畢業(yè)論文 發(fā)動機動力總成懸置振動分析及懸置參數(shù)優(yōu)化設計 20 發(fā)，只考慮三個標量：動能、勢能以及虛功。這種方法考慮的是廣義坐標和廣義力，對于復雜的系統(tǒng)，用這種方法可以十分方便、準確的建立系統(tǒng)方程。本文中，是根據(jù)牛頓第二運動定律來建立系統(tǒng)的振動微分方程。 本文中所研究的 系統(tǒng)具有 6 個自由度，系統(tǒng)的廣義坐標 選取 為 ： 相對 X、Y、 Z 軸的平動坐標 x、 y、 z 和相對 X、 Y、 Z 軸的轉(zhuǎn)動坐標 、 y、 ，寫成廣義坐標向量 即 為 [ q ]=[ x,y,z,θx, θ , θz] 本文所研究的是動力總成懸置振動的解耦及懸置系統(tǒng)參數(shù)的 優(yōu)化 ，目的是合理布置系統(tǒng)固有頻率并使各振動模態(tài)間盡量解耦 ，不涉及到動態(tài)響應的計算，故不考慮系統(tǒng)的阻尼 。則在無激勵力作用條件下，系統(tǒng)的自由運動微分方程可寫成如下形式： mx?=F +F my?=F +F mz?=F +F I θx? +I θy? +I θz? =M +M I θx? +I θy? +I θz? =M +M I θx? +I θy? +I θz? =M +M （ ） 重慶理工大學畢業(yè)論文 發(fā)動機動力總成懸置振動分析及懸置參數(shù)優(yōu)化設計 21 其中， 是發(fā)動機剛體的平移運動引起橡膠墊在 X 方向上的 彈性 反力之和， 是發(fā)動機剛體旋轉(zhuǎn)運動引起的在 X 方向上的 彈性 反力之和； M 是發(fā)動機剛體平移運動引起橡膠墊在 X 方向上的 彈性 反力矩之和， M 是發(fā)動機剛體旋轉(zhuǎn)運動引起的在 X 方向上 彈性 反力矩之和 ，示意圖 27。其他的 以此類推。 圖 27 系統(tǒng) 受橡膠墊 彈性反力、反力矩示意圖 由以上的系統(tǒng)運動微分方程可以推導出矩陣形式的 系統(tǒng) 無阻尼 自由振動微分方程 [M] [q? ] + [K] [q] = 0 （ ） 其中 ： [M]=[ m mmI I I I I I I I I ] [q? ] = [x?, ?,z?,θx? ,θy? ,θz? ] 重慶理工大學畢業(yè)論文 發(fā)動機動力總成懸置振動分析及懸置參數(shù)優(yōu)化設計 22 而對于剛度矩陣 [K]= ， 由于其計算過程涉及大量 繁瑣而又復雜的矩陣運算，這里就不一一贅述， 其大致推導過程如下 ： 首先，由以上 、 式可以推導出 [K][q]=[F] = [ M M M M M M ] 下面，推導 [F]中各項： 對于第 i 個橡膠墊，簡化模型 及其剛度主軸與定坐標系 OXYZ 間的夾角關系 為如圖 28 形式 圖 28 第 i 個橡膠墊 簡化模型及其剛度主軸與定坐標系 OXYZ 間的夾角關系 引入轉(zhuǎn)換矩陣 [C] [C]=[ ] 其中， = ， = ， = ，其他的以此類推。 （ 1） 發(fā)動機剛體平移運動引起的 橡膠墊 彈性反力和彈性反力矩 重慶理工大學畢業(yè)論文 發(fā)動機動力總成懸置振動分析及懸置參數(shù)優(yōu)化設計 23 發(fā)動機剛體平移運動引起的第 i 個橡膠墊的變形 [ ]= [x z] 橡膠墊彈性反力 、 、 [ ]= [ ]= [ ] [x z] 第 i 個橡膠墊產(chǎn)生的彈性反力 轉(zhuǎn)換到 X、 Y、 Z 方向 為 [ ]=[ ] [ ]= [ ][ ] [x z] [ ][x z] 所有橡膠墊 由此 產(chǎn)生的彈性反力求和，即可得到 、 、 。同時每個橡膠墊 轉(zhuǎn)換到 OXYZ 坐標系中的 等效剛度矩陣可以表示為 [ ]=[C] [ ][C] 以 表示橡膠墊在 OXYZ 中的 位置 坐標 ，可以得到 發(fā)動機剛體平移運動引起的第 i 個橡膠墊產(chǎn)生的彈性反力矩 M = M = M = 所有橡膠墊 由此 產(chǎn)生的彈性反力矩求和，即可得到 M 、 M 、 M 。 （ 2） 發(fā)動機剛體旋轉(zhuǎn)運動引起的 彈性 反力和 彈性 反力矩 旋轉(zhuǎn)運動引起的第 i 個橡膠墊變形分量 = = 重慶理工大學畢業(yè)論文 發(fā)動機動力總成懸置振動分析及懸置參數(shù)優(yōu)化設計 24 = 橡膠墊由此 產(chǎn)生的彈性反力 [ ]= [ ][ ] 所有的橡膠墊 由此 產(chǎn)生的 彈性 反力求和即可得 、 、 。 發(fā)動機剛體旋轉(zhuǎn)運動引起的第 i 個橡膠墊產(chǎn)生的 彈性 反力矩 M = M = M = 所有橡膠墊 由此 產(chǎn)生的 彈性 反力矩求和，即可得到 M 、 M 、 M 。 然后，將所得到的 [F]中各項，代入 [K][q]=[F]，即可由此得到 中各項元素 K =Σ K =K =Σ K =K =Σ K =K =Σ ) K =K =Σ ) K =K =Σ ) K =Σ K =K =Σ 重慶理工大學畢業(yè)論文 發(fā)動機動力總成懸置振動分析及懸置參數(shù)優(yōu)化設計 25 K =K =Σ ) K =K =Σ ) = =Σ ) =Σ = =Σ ) = =Σ ) = =Σ ) =Σ + 2 ) = =Σ + ) = =Σ + ) =Σ + 2 ) = =Σ + ) =Σ + 2 ) （ ） 這樣一來，只要知道： 各個橡膠墊各向主軸剛度 、 、 各個橡膠墊各向剛度主軸 u、 v、 w 與慣性坐標系 OXYZ 對應 各軸的夾角 、 、 。 重慶理工大學畢業(yè)論文 發(fā)動機動力總成懸置振動分析及懸置參數(shù)優(yōu)化設計 26 各個橡膠墊在慣性坐標系中的坐標 。 把這些量代入以上 式 ，就可以得到剛度矩陣 [K]的每個元素的值， 然后組裝成剛度矩陣 [K]。 自然頻率和振型的解法 系統(tǒng)無阻尼自由 振動微分方程 的解的形式為 [q]=[A] [A]為振幅列陣，代入方程，可將其轉(zhuǎn)化為一特征值問題： [K] [q] = [M] [q] [q]有非零解的條件為 |[K] ?? [M]|=0 從而可以解得 1~6 階固有頻率的平方 、 … ，及其對應的振型向量 。 發(fā)動機懸置系統(tǒng)解耦理論 通常發(fā)動機懸置系統(tǒng)的六個固有振型在多個自由度方向上是耦合的，在某個自由度方向進行激振就會產(chǎn)生耦合振動，這樣使得共振頻率的范圍大大加寬，增大了共振的機會。這時要想達到比較好的隔振效果，需要使用更軟的懸置元件，這將導致發(fā)動機動力總成與周圍零部件之間有較大的相對位移，造成與周圍零部件相碰撞，破壞整車的平順性，同時懸置元件的大位移，會使懸置元件的應變增大而影響其使用壽命。因此，現(xiàn)代汽車發(fā)動機懸置的設計都是朝著完全解耦或部分解耦的方向發(fā)展的。由于完全解耦難度較大，因此通常的做法是使幾個振動模態(tài)獲得解耦，下面介紹常用的 部分解耦的方法。 常用的解耦方法有彈性中心法、剛度矩陣解耦法、能量解耦法等 [10]。 重慶理工大學畢業(yè)論文 發(fā)動機動力總成懸置振動分析及懸置參數(shù)優(yōu)化設計 27 彈性中心法 該方法是靠巧妙的布置懸置來實現(xiàn)的。其基本途徑是：以發(fā)動機懸置系統(tǒng)的主慣性軸為坐標軸系來布置懸置，消除系統(tǒng)的慣性耦合；使懸置的彈性中心位于發(fā)動機懸置系統(tǒng)的質(zhì)心處，消除彈性耦合。這樣的話，發(fā)動機的六個剛體模態(tài)完全解耦。 作用于被支承物體上的一個任意方向的外力，如果通過彈性支承的彈性中心，則被支承物體只會發(fā)生平移運動，而不會產(chǎn)生轉(zhuǎn)動。反之，被支承物體在產(chǎn)生平移運動的同時，還會產(chǎn)生轉(zhuǎn)動，即兩個自由度上產(chǎn)生運 動耦合。同樣，如果一個外力矩繞彈性中心主軸線作用于被支承物體上，該物體只會產(chǎn)生轉(zhuǎn)動而不會產(chǎn)生平移運動。反之，物體在產(chǎn)生轉(zhuǎn)動的同時，還會產(chǎn)生平移運動，同樣出現(xiàn)兩自由度上的運動耦合。 彈性中心是由彈性元件的剛度和幾何布置決定的，與被支承物體的質(zhì)量無關。它對彈性系統(tǒng)而言，就像剛體的質(zhì)心，如果剛體質(zhì)心與支承系統(tǒng)的彈性中心重合，則振動將大為簡化。 理論上，如果使發(fā)動機懸置系統(tǒng)的彈性中心同發(fā)動機動力總成的質(zhì)心重合，就可獲得所有六個自由度上的振動解耦。實際上完全解耦在懸置設計中是很難實現(xiàn)的，因為發(fā)動機的主要激振力只有垂直 和扭轉(zhuǎn)兩種，而懸置設計中存在較多的約束，因此只要在幾個主要方向上獲得近似解耦就行了。 剛度矩陣解耦法 發(fā)動機懸置系統(tǒng)的剛體模態(tài)只與發(fā)動機懸置系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣 M 和剛度矩陣 K 有關。在發(fā)動機主慣性軸坐標系中，發(fā)動機的質(zhì)量矩陣 M 是解耦的，若系統(tǒng)的剛度矩陣 K 也為對角矩陣，那么懸置系統(tǒng)在主慣性軸坐標系中六個剛體模態(tài)振動解耦。系統(tǒng)的剛度矩陣是由懸置的安裝位置、安裝角度和剛度決定的，因此可以通過優(yōu)化設計，合理選擇懸置的安裝位置，安裝角度和剛度來使發(fā)動機懸置系統(tǒng)振動解耦。 該方法完全從振動學的角度來分析發(fā)動機懸置系統(tǒng)的振動解耦問題，有很強的針對性。 重慶理工大學畢業(yè)論文 發(fā)動機動力總成懸置振動分析及懸置參數(shù)優(yōu)化設計 28 在工程實踐中，使發(fā)動機懸置系統(tǒng)的六個剛體模態(tài)解耦沒有必要，一般只要求與發(fā)動機主要激勵有關的少數(shù)幾階主要振型能有較高程度的解耦。 能量法解耦 目前能量解耦法應用較多，它有兩個優(yōu)點 [11~15]： 1）可以在原坐標系上對系統(tǒng)解耦； 2）僅需對系統(tǒng)進行自由振動分析求得剛體模態(tài)參數(shù)，具有普遍的實用性。 從能量角度來看，耦合就是沿著某個廣義坐標方向的力（力矩）所做的功，轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)沿多個廣義坐標的動能和勢能。系統(tǒng)沿某個廣義坐標振動 的動能和勢能可以互相轉(zhuǎn)換，但其總和不變。故系統(tǒng)沿某一個廣義坐標的總能量可用最大動能（或勢能）表示。 發(fā)動機剛體 懸置 振動模態(tài)的耦合程度可以用振動的動能來 定量地 描述： 當系統(tǒng) 以 i 階模態(tài)振動時 總動能為 T= [q ][M][q] 將上式展開，可以得到各個振動方向上的動能分量： =