【正文】 擬濾波器轉(zhuǎn)化成數(shù)字濾波器。數(shù)字濾波器的主要技術(shù)指標(biāo)為： (1) 特征頻率參數(shù) 濾波器的頻率參數(shù)主要有： ①通帶截止頻率 /2ppf ??? ：為通帶與過渡帶的邊界點(diǎn)，在該點(diǎn)信號(hào)增益到規(guī)定的下限。②阻帶截頻 /2rrf ??? ：為阻帶于過渡帶的邊界點(diǎn)，在該點(diǎn)信號(hào)衰減到規(guī)定的下限。③轉(zhuǎn)折頻率 /2ccf ??? ：為 信號(hào)功率衰減到 1/2 (約為3dB )時(shí)的頻率，但在多數(shù)情況下也常以 cf 作為通帶或阻帶截頻。④當(dāng)電 路沒有損耗時(shí)，固有頻率 /2f ??? ，就是其諧振頻率。 (2) 增益和衰減 濾波器在通帶內(nèi)的增益并不是常數(shù)。①對(duì)低通濾波器來說，通帶增益 pK 一般指 0?? 時(shí)的增益；對(duì)于高通而言，通帶增益 pK 指 ??? 時(shí)的增益；對(duì)于帶通而言，通帶增益 pK 則指中 心頻率處的增益。②對(duì)帶阻濾波器而言，應(yīng)給出阻帶衰減，衰減定義為增益的倒數(shù)。③通帶增益變化 pK? 指通帶內(nèi)各點(diǎn)增益的最大變化量，如果 pK? 以 dB 為單位，則指增益 dB 值的變化量。 (3) 阻尼系數(shù)與品質(zhì)因數(shù) 阻尼系數(shù) ? 是表征濾波器對(duì)角頻率為 ? 信號(hào)的阻尼作用，同時(shí)是濾波器中表示能量衰減的一項(xiàng)重要指標(biāo)，也是與傳遞函數(shù)的極點(diǎn)實(shí)部大小相關(guān)的一項(xiàng)系數(shù)。阻尼系數(shù)的倒數(shù) 1/? 稱為品質(zhì)因數(shù) Q，是評(píng)價(jià)帶通和帶阻濾波器頻率選擇特性的一個(gè)重要指標(biāo)，它可以表示為 Q ??? 。其中 ? 為帶通或帶阻的 3dB帶寬， ? 為中心頻率，在多 數(shù)情況下中心頻率等于固有頻率。 (4) 靈敏度 濾波器的濾波電路是由很多元件構(gòu)成的，每個(gè)元件的參數(shù)值變化都會(huì)影響它的性能。當(dāng)濾波器的某一個(gè)性能指標(biāo) y 對(duì)另一個(gè)性能指標(biāo) x 變化的靈敏度記為 yxs ，定義為： yx dy ys dx x? (41) 靈敏度是濾波電路設(shè) 計(jì)中的一個(gè)重要參數(shù)，但該靈敏度與測(cè)量?jī)x器或電路系統(tǒng)靈敏度概念不同，該靈敏度越小，標(biāo)志著電路容錯(cuò)能力越大，穩(wěn)定性也就越高。 (5) 群延時(shí)函數(shù) 當(dāng)濾波器幅頻特性滿足設(shè)計(jì)要求時(shí)，為保證輸出信號(hào)失真不超過允許范圍，對(duì)其相頻特性 ()??也相應(yīng)提出了一定要求。在濾波器設(shè)計(jì)中，常用群延時(shí)函數(shù) ( ) ( )dd? ? ? ? ?? 評(píng)價(jià)信號(hào)經(jīng)濾波后相位失真程度， ()??越接近常數(shù)，信號(hào)相位失真越小。 IIR 數(shù)字濾 波器的設(shè)計(jì)過程 IIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)一般有兩種方法：一個(gè)是借助模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法進(jìn)行。其設(shè)計(jì)步驟是，先設(shè)計(jì)模擬濾波器，再按照某種方法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。這種方法比較容易一些，因?yàn)槟M濾波器的設(shè)計(jì)方法已經(jīng)非常成熟，不僅有完整的設(shè)計(jì)公式，還有完善的圖表供查閱；另外一種直接在頻率或者時(shí)域內(nèi)進(jìn)行，由于需要解聯(lián)立方程，設(shè)計(jì)時(shí)需要計(jì)算機(jī)做輔助設(shè)計(jì)。其設(shè)計(jì)步驟是：先設(shè)計(jì)過渡模擬濾波器得到系統(tǒng)函數(shù) )(sHa ，然后將 )(sHa 按某種方法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器 的系統(tǒng)函數(shù) )(zH 。另外，還有一些典型的優(yōu)良濾波器類型可供我們使用。 為了保證轉(zhuǎn)換后的 )(zH 穩(wěn)定且滿足技術(shù)指標(biāo)要求，對(duì)轉(zhuǎn)換關(guān)系提出兩點(diǎn)要求 : （ 1）因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的。 （ 2）數(shù)字濾波器的頻率相應(yīng)模仿模擬濾波器的頻響特性， s 平面的虛軸映射為 z平面的單位圓，相應(yīng)的頻率之間呈線性關(guān)系。 利用模擬濾波器成熟的理論設(shè)計(jì) IIR 數(shù)字濾波器的過程是： (1)確定數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：通帶邊界頻率 p? 、通帶最大衰減p? 、阻帶截止頻率 s? 、阻帶最小衰減 s? 。 (2)將數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。 (3)按照模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)過渡模擬低通濾波器。 (4)用所選的轉(zhuǎn)換方法，將模擬濾波器 )(sHa 轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù) )(zH 。 IIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)流程圖如下： 圖 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟流程圖 成熟的數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法主要有脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法。 用脈沖相應(yīng)不變法設(shè)計(jì) IIR數(shù)字濾波器 脈沖響應(yīng)不變法的設(shè)計(jì)過程如下： （ 1）已知一模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)： (設(shè) MN) 010 1()()()MMiiiiia NNii ii isqasH s Abs sp??? ???????? ? (42) （ 2）為方便求出其時(shí)域單位脈沖響應(yīng)， 將上式化為部分分式之和的形式： 1() N ia i iAHs sp?? ?? (43) （ 3）由拉氏反變換得模擬濾波器在時(shí)域的單位脈沖響應(yīng)： 1 1( ) [ ( ) ] ( )iN pta a iih t L H s A e u t? ??? ? (44) （ 4） 由時(shí)域的數(shù)字 仿真的條件（即脈沖響應(yīng)不變準(zhǔn)則）可得相應(yīng)的數(shù)字濾波器的)(ZfS? 數(shù)字濾波器 技術(shù)指標(biāo) 模擬濾波器 技術(shù)指標(biāo) 數(shù)字濾波器 )(ZH 模擬濾波器 )(SHa 模擬濾波器 設(shè)計(jì)方法 變換 )(?g?? 變換 脈沖響應(yīng)： (45) (5)再對(duì)兩邊進(jìn)行 Z變換，即可得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)： 1111 0 11( ) ( ) ( )() 1: | | 1 | | | |iiiiiNp nTnnin n iNNpT n ii pTi n ip T p TH z h n z T A e u nT zAT A e z TezR O C e z z e????? ? ? ? ? ? ????? ? ??? ? ??? ?? ? ?? ? ?? ? ? (46) 脈沖響應(yīng)不變法是從濾波器的脈沖響應(yīng)出發(fā)，使數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列 h(n)模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng) ha(t)，即將 ha(t)進(jìn)行等間隔采樣，使h(n)正好等于 ha(t)的采樣值，滿足 h(n)=ha(nT)，式中 T 是采樣周期。 如果令 Ha(s)是 ha(t)的拉普拉斯變換， H(z)為 h(n)的 Z 變換，利用采樣序列的 Z 變換與模擬信號(hào)的拉普拉斯變換的關(guān)系得 ?? ????????? ?????? ????? k ak sagz kTjsXTjksXTzX xT ?21)(1|)( (47) 則可看出，脈沖響 應(yīng)不變法將模擬濾波器的 S 平面變換成數(shù)字濾波器的 Z平面，這個(gè)從 s 到 z 的變換 z=esT 是從 S 平面變換到 Z 平面的標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系式。 j?3 ?? / T?? / T－ 3?? / T－ ?? / To o? － 1 1jI m [ z ]R e [ z ]Z 平面S 平面 圖 脈沖響應(yīng)不變法的映射關(guān)系 1( ) ( ) ( )iN p n Tiih n T h n T T A e u n T?? ? ? ?? 由（ 42）式，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)和模擬濾波器的頻率響應(yīng)間的關(guān)系為 ????? ?????? ??k aj T kjHTeH ??? 21)( (48) 這就是說，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓。正如采樣定理所討論的，只有當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)是限帶的，且?guī)抻谡郫B 0)( ??jHa 2sT ???? ? (49) 才能使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應(yīng)，而不產(chǎn)生混疊失真，即 ??????? TjHTeH ae j ?? 1)( ??? (410) 但是，任何一個(gè)實(shí)際的模擬濾波器頻率響應(yīng)都不是嚴(yán)格 限帶的，變換后就會(huì)產(chǎn)生周期延拓分量的頻譜交疊，即產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真。這時(shí)數(shù)字濾波器的頻響就不同于原模擬濾波器的頻響，而帶有一定的失真。當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以上處衰減越大、越快時(shí)，變換后頻率響應(yīng)混疊失真就越小。這時(shí)，采用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器才能得到良好的效果。 － 3? － 2?… …)j(aΩH?oo－ ? 2 ? 3 ?? ? ＝ ? ? T)(ej ?HTπ2TπTπTπ2－ 圖 對(duì)某一模擬濾波器的單位沖激響應(yīng) ha(t)進(jìn)行采樣，采樣頻率為 fs，若使fs 增加，即令采樣時(shí)間間隔（ T=1/fs）減小，則系統(tǒng)頻率響應(yīng)各周期延拓分量之間相距更遠(yuǎn)，因而可減小頻率響應(yīng)的 混疊效應(yīng)。 從以上討論可以看出，脈沖響應(yīng)不變法使得數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)，也就是時(shí)域逼近良好，而且模擬頻率Ω和數(shù)字頻率ω之間呈線性關(guān)系ω =Ω T。因而，一個(gè)線性相位的模擬濾波器（例如貝塞爾濾波器）通過脈沖響應(yīng)不變法得到的仍然是一個(gè)線性相位的數(shù)字濾波器。 脈沖響應(yīng)不變法的最大缺點(diǎn)是有頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng)。所以，脈沖響應(yīng)不變法只適用于限帶的模擬濾波器 (例如，衰減特性很好的低通或帶通濾波器 )，而且高頻衰減越快，混疊效應(yīng)越小。至于高通和帶阻濾波器，由于它們?cè)诟哳l部分不衰減，因此將完全混 淆在低頻響應(yīng)中。如果要對(duì)高通和帶阻濾波器采用脈沖響應(yīng)不變法，就必須先對(duì)高通和帶阻濾波器加一保護(hù)濾波器，濾掉高于折疊頻率以上的頻率，然后再使用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。當(dāng)然這樣會(huì)進(jìn)一步增加設(shè)計(jì)復(fù)雜性和濾波器的階數(shù)。 雙線性變換法設(shè)計(jì) IIR 數(shù)字濾波器 脈沖響應(yīng)不變法的主要缺點(diǎn)是產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真。這是因?yàn)閺?S 平面到Ｚ平面是多值的映射關(guān)系所造成的。為了克服這一缺點(diǎn)，可以采用非線性頻率壓縮方法，將整個(gè)頻率軸上的頻率范圍壓縮到 π /T～π /T 之間，再用z=esT 轉(zhuǎn)換到 Z 平面上。也就是說，第一步先將 整個(gè) S 平面壓縮映射到 S1 平面的 π /T～π /T 一條橫帶里；第二步再通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系 z=es1T 將此橫帶變換到整個(gè) Z 平面上去。這樣就使 S 平面與 Z 平面建立了一一對(duì)應(yīng)的單值關(guān)系，消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象，映射關(guān)系如圖 所示。 o－ 1 1Z 平面jI m [ z ]R e [ z ]?? / Tj?1?1－ ?? / TS1平面S 平面j?? o o 圖 為了將 S 平面的整個(gè)虛軸 jΩ壓縮到 S1 平面 jΩ 1 軸上的 π /T 到π /T 段上，可以通過以下的正切變換實(shí)現(xiàn) ????????? 2tan2 1TT (411) 式 中 ,T仍是采樣間隔。 當(dāng)Ω 1 由 π /T 經(jīng)過 0 變化到π /T 時(shí)，Ω由 ∞經(jīng)過 0 變化到 +∞，也即映射了整個(gè) jΩ軸。 2/2/2/2/11TjTjTjTjeeeeTj ????????? (412) 將此關(guān)系解析延拓到整個(gè) S 平面和 S1 平面，令 jΩ =s， jΩ 1=s1，則得 TsTsTsTsTsTsiiiiieeTTsTee eeTs ????????????????? a 112/2/2/2/ (413) 再將 S1平面通過以下標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到 Z平面 Tsez 1? (414) 從而得到 S平面和 Z平面的單值映射關(guān)系為： 11112????? zzTs (415) sTsTsTsTz??