frobenius秩不等式取等號的一個新的充要條件(已改無錯字)
2022-10-01 18:22:07 本頁面
【正文】 f A g A h A g A? ? ? （ 22） 證明 由 ( ), ( )) 1f x h x ?( ，故存在 ( ), ( ) ( )u x v x P x? 使得 ( ) ( ) ( ) ( ) 1u x f x v x h x??則有 ( ) ( ) ( ) ( )u A f A v A h A E?? 等式兩邊同乘以 ()gA， 得： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u A f A g A g A h A v A g A?? 由定理 1 可得 r a nk ( ( ) ( ) ( ) ) r a nk ( ( ) ( ) ) r a nk ( ( ) ( ) ) r a nk ( ( ) )f A g A h A f A g A g A h A g A? ? ? 由此得（ 22）式成立，命題得證 . 推論 2[3] 設(shè) ( ), ( ) [ ]f x g x P x? ，而 ( ), ( )d x m x 分別是 ( ) ( )f x g x與 的最大公因式和最小公倍式 .則 r a nk ( ( ) ) r a nk ( ( ) ) r a nk ( ( ) ) r a nk ( ( ) )f A g A m A d A? ? ? （ 23） 證明 設(shè) ( ( ), ( )) ( )f x g x d x? ，則存在 11( ), ( )f x g x ，使 11( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( )f x f x d x g x g x d x?? 此處 11( ), ( ) 1f x g x ?（ ） .因為 211( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m x d x f x g x f x g x d x??，所以有 11( ) ( ) ( ) ( )m x f x g x d x? 又 11( ), ( ) 1f x g x ?（ ） ，則存在 ( ), ( ) [ ]u x v x P x? ， 使 11( ) ( ) ( ) ( ) 1u x f x v x g x??， 即 11( ) ( ) ( ) ( )u A f A v A g A E?? 6 等式兩邊同乘以 ()dA， 得 11( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u A f A d A d A g A v A d A?? 由定理 1 得 1 1 1 1r a nk ( ( ) ( ) ( ) ) r a nk ( ( ) ( ) ) r a nk ( ( ) ( ) ) r a nk ( ( ) )f A d A g A f A d A d A g A d A? ? ? 即 得 r a nk ( ( ) ) r a nk ( ( ) ) r a nk ( ( ) ) r a nk ( ( ) )f A g A m A d A? ? ? （ 24） 推論 2 得證 . 推論 3[5] 設(shè) ( ) , ( ) [ ] , nnf x g x P x A P ???， 且 ( ), ( )) 1f x h x ?( ， 則 r a nk ( ( ) ( ) ) r a nk ( ( ) ) r a nk ( ( ) )f A g A f A g A n? ? ? （ 25） 證明 由 推論 1 即得 推論 3 成立 . 推論 4[6,7] 設(shè) ( ) [ ]if x P x? ， 1,2, ,it? ， 12( ), ( ), , ( )tf x f x f x兩兩互素 ， nnAP??
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