專題01-計(jì)數(shù)原理(知識(shí)梳理)(人教a版20xx選擇性必修第三冊)(解析版)(已改無錯(cuò)字)
2025-04-03 03 本頁面
【正文】 個(gè)元素并成一組，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)組合。組合數(shù)的概念：從個(gè)不同元素中取出()個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的組合數(shù)。用符號(hào)表示。組合數(shù)的性質(zhì)(1)一般地，從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素后，剩下個(gè)元素?！邚膫€(gè)不同元素中取出個(gè)元素的每一個(gè)組合，與剩下的個(gè)元素的每一個(gè)組合一一對(duì)應(yīng)，∴從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的組合數(shù)，等于從這個(gè)元素中取出個(gè)元素的組合數(shù)，即：。在這里，主要體現(xiàn)：“取法”與“剩法”是“一一對(duì)應(yīng)”的思想?；蛘邚膫€(gè)編號(hào)不同的小球中，個(gè)白球一個(gè)紅球，任取個(gè)不同小球其不同選法，分二類：一類是含紅球選法有；一類是不含紅球的選法有。(2)一般地，從、…、這個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的組合數(shù)是，這些組合可以分為兩類：一類含有元素，一類不含有。含有的組合是從、…、這個(gè)元素中取出個(gè)元素與組成的，共有個(gè)；不含有的組合是從、…、這個(gè)元素中取出個(gè)元素組成的，共有個(gè)。根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，可以得到組合數(shù)的另一個(gè)性質(zhì)。在這里，主要體現(xiàn)從特殊到一般的歸納思想，“含與不含其元素”的分類思想。例31．一位教練的足球隊(duì)共有名初級(jí)學(xué)員，他們中以前沒有一人參加過比賽。按照足球比賽規(guī)則，比賽時(shí)一個(gè)足球隊(duì)的上場隊(duì)員是人。問：(l)這位教練從這名學(xué)員中可以形成多少種學(xué)員上場方案？(2)如果在選出名上場隊(duì)員時(shí)，還要確定其中的守門員，那么教練員有多少種方式做這件事情？【解析】(1)由于上場學(xué)員沒有角色差異，∴可以形成的學(xué)員上場方案有(種)；(2)教練員可以分兩步完成這件事情：第一步，從名學(xué)員中選出人組成上場小組，共有種選法，第二步，從選出的人中選出名守門員，共有種選法，∴教練員做這件事情的方法數(shù)有(種)。例32．(1)平面內(nèi)有個(gè)點(diǎn)，以其中每個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有多少條？(2)平面內(nèi)有個(gè)點(diǎn)，以其中每個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段共有多少條？【解析】(1)以平面內(nèi)個(gè)點(diǎn)中每個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的條數(shù)，就是從個(gè)不同的元素中取出個(gè)元素的組合數(shù)，即線段共有(條)；(2)由于有向線段的兩個(gè)端點(diǎn)中一個(gè)是起點(diǎn)、另一個(gè)是終點(diǎn)，以平面內(nèi)個(gè)點(diǎn)中每個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段的條數(shù)，就是從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的排列數(shù)，即有向線段共有(條)。例33．(1)本不同的書分給甲、乙、丙同學(xué)，每人各得本，有多少種不同的分法？(2)從個(gè)男生和個(gè)女生中選出名學(xué)生參加一次會(huì)議，要求至少有名男生和名女生參加，有多少種選法？【解析】(1)；(2)問題可以分成兩類：第一類名男生和名女生參加，有中選法，第二類名男生和名女生參加，有中選法，依據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，共有種選法。四、二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理：()。這個(gè)公式表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，它的右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開式，其中的系數(shù)(、…、)叫做二項(xiàng)式系數(shù)，式中的叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用表示，即通項(xiàng)為展開式的第項(xiàng)：。二項(xiàng)展開式形式上的特點(diǎn)(1)項(xiàng)數(shù)
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