專題01-計數(shù)原理(知識梳理)(人教a版20xx選擇性必修第三冊)(解析版)-資料下載頁
2025-04-03 03:41本頁面
【正文】 為；(2)各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)，即與的指數(shù)的和為；(3)字母按降冪排列，從第一項開始，次數(shù)由逐項減直到零；字母按升冪排列，從第一項起，次數(shù)由零逐項增直到；(4)二項式的系數(shù)從、…一直到、。二項式系數(shù)的性質(zhì)(1)對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即；(2)增減性與最大值：二項式系數(shù)：①當時，二項式系數(shù)是遞增的，當時，二項式系數(shù)是遞減的；②當是偶數(shù)時，中間的一項取得最大值，當是奇數(shù)時，中間兩項和相等，且同時取得最大值。(3)各二項式系數(shù)的和：①的展開式的各個二項式系數(shù)的和等于，即。②二項展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即： 。楊輝三角形：對于是較小的正整數(shù)時，可以直接寫出各項系數(shù)而不去套用二項式定理，二項式系數(shù)也可以直接用下表計算： ………………… ……………… …………… ………… ……… …… ……表中有如下規(guī)律：“左、右兩邊斜行各數(shù)都是，其余各數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)字的和。”類似這樣的表，早在我國宋朝數(shù)學家楊輝年所著出《詳解九章算法》一書里就已出現(xiàn)，如圖叫楊輝三角，由“楊輝三角”可直觀地看出二項式系數(shù)的性質(zhì)，同時當二項式乘方次數(shù)不大時，可借助于它直接寫出各項的二項式系數(shù)。例41．已知的展開式中的系數(shù)為，則的值為( )。A、或B、或C、D、【答案】A【解析】，由得，∴，故選A。例42．的展開式中的常數(shù)項為( )。A、B、C、D、【答案】A【解析】的通項公式為，常數(shù)項為或(舍)或，當時，當時，因此常數(shù)項為，故選A。例43．設(shè)，則( )。A、B、C、D、【答案】A【解析】令，右邊為，左邊把代入，∴，故選A。例43．已知，求：(1)；(2)；(3)；(4)。【解析】令則①；令則②；令則③；(1)②①得：；(2)(②③)得：；(3)(②+③)得：；(4)方法一：∵；方法二：等于展開式中各項的系數(shù)和，令，則。例44．若的展開式二項式系數(shù)和比的展開式二項式系數(shù)和大。則在的展開式中：(1)二項式系數(shù)最大的項；(2)系數(shù)的絕對值最大的項?！窘馕觥坑深}意知，即，則。(1)的展開式中第項的二項式系數(shù)最大，即，∴二項式系數(shù)最大的項為；(2)設(shè)第項的系數(shù)的絕對值最大，則，則得即，解得，∵，∴，故系數(shù)的絕對值最大的項是第項。
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