高二數(shù)學測試題1`-閱讀頁
2024-08-26 15:42本頁面
【正文】 ＞ 1}， 當 n=2 時，21( ) ln ( 1 ) ,(1 )f x a xx? ? ?? 所以 232 (1 )( ) .(1 )axfx x??? ? （ 1）當 a＞ 0 時，由 f(x)=0 得 1 21x a??＞ 1，2 21x a??＜ 1， 此時 3 21 )1( ))(()( x xxxxaxf ? ?????. 當 x∈（ 1， x1）時， f′（ x）＜ 0,f(x)單調(diào)遞減； 當 x∈（ x1+∞）時， f′（ x）＞ 0, f(x)單調(diào)遞增 . （ 2）當 a≤ 0 時， f′（ x）＜ 0 恒成立，所以 f(x)無極值 . 綜上所述， n=2 時， 當 a＞ 0 時， f(x)在 21xa??處取得極小值，極小值為 22(1 ) (1 ln ).2af aa? ? ? 當 a≤ 0 時， f(x)無極值 . 9 （Ⅱ）證法一：因為 a=1,所以 1( ) ln ( 1 ) .(1 ) nf x xx? ? ?? 當 n 為偶數(shù)時，令 1( ) 1 l n ( 1 ) ,(1 ) ng x x xx? ? ? ? ?? 則 )(xg? =1+1112( 1 ) 1 1 ( 1 )nnn x nx x x x???? ? ?? ? ? ?＞ 0（ x≥ 2） . 所以當 x∈ [2,+∞ ]時， g(x)單調(diào)遞增， 又 g(2)=0 因此 1( ) 1 l n ( 1 )( 1 ) ng x x xx? ? ? ? ??≥ g(2)=0 恒成立， 所以 f(x)≤ x1 成立 . 當 n 為奇數(shù)時， 要證 ()fx≤ x1,由于 1(1 )nx?＜ 0，所以只需證 ln(x1) ≤ x1, 令 )1ln (1)( ???? xxxh 則 20121 11)( ?????????? xxxxxh 所以 當 x∈ [2， +∞ ]時， ( ) 1 ln( 1)h x x x? ? ? ?單調(diào)遞增，又 h(2)=1＞ 0， 所以當 x≥ 2 時，恒有 h(x) ＞ 0,即 ln（ x1）＜ x1 命題成立 . 綜上所述，結(jié)論成立 . 證法二：當 a=1 時， 1( ) ln ( 1 ) .(1 ) nf x xx? ? ?? 當 x≤ 2，時，對任意的正整數(shù) n，恒有 1(1 )nx?≤ 1， 故只需證明 1+ln(x1) ≤ x1. 令 ? ?( ) 1 ( 1 l n( 1 ) ) 2 l n( 1 ) , 2 ,h x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 則 12( ) 1 ,11xhx xx?? ? ? ??? 當 x≥ 2 時， ()hx? ≥ 0，故 h(x)在 ? ?2,?? 上單調(diào)遞增， 因此 當 x≥ 2 時， h(x)≥ h(2)=0，即 1+ln(x1) ≤ x1 成立 . 故 當 x≥ 2 時，有 1 ln( 1)(1 )n xx ???≤ f（ x）≤ x1.
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