【正文】 是一個(gè)迭代方法，迭代的終止規(guī)則是看剩余系數(shù)的能量是否接近于噪聲能量，所以噪聲方差的估計(jì)在 這一方法中顯得非常重要。 本章小結(jié) 本章討論了小波變換的噪聲濾除問(wèn)題。并用軟件編程具體實(shí)現(xiàn)了對(duì)噪聲圖像的處理。對(duì)小波變換后小波系數(shù)進(jìn)行適當(dāng)運(yùn)算，可實(shí)現(xiàn)圖像的邊緣增強(qiáng)或模糊處理。同時(shí)， Grpscmann 和 在諧波分析領(lǐng)域獨(dú)立地研究了這一方法 ，并將它成功地應(yīng)用在地震信號(hào)分析中。后來(lái)， 完美地構(gòu)造了一系列平滑、緊支撐和正交的小波基。至此，小波分析又重新引起數(shù)學(xué)家和工程人員的高度重視。另一方面，在工程領(lǐng)域利用小波分析方法也迅速建立起時(shí)頻分析理論。 小波變換是一種信號(hào)的時(shí)間 尺度 (時(shí)間 頻率 )分析方法，它具有多分辨率分析(Multiresolution Analysis)[12]的特點(diǎn)，而且時(shí)頻兩域都具有表征信號(hào)局部特征的能力，是一種窗口大小固定不變但形狀可改變，時(shí)間窗和頻率窗都可以改變的時(shí)頻局部化分析方法。當(dāng)()??滿足以下允許條件： 2() dRC??? ??? ? ??? ()時(shí)，我們稱(chēng) ??ft為一個(gè)基本小波或母小波 (Mother Wavelet)縮和平移后，就可以得到一個(gè)小波序列。 對(duì)于任意的函數(shù) ??ft ELZ(R)的連續(xù)小波變換 (Continuous Wavcaet Transform)為： 12,( , ) , ( ) ( ) ( ) df a b R tbW a b f t a f t ta??? ??? ? () 其逆變換為： 211( ) ( , ) ( ) d dfRR tbf t W a b a bC a a? ?? ?? ?? () 12 離散小波變換 在實(shí)際運(yùn)用時(shí)，需將連續(xù)小波變換離散化處理一是信號(hào) (時(shí)間序列 )本身是離散情況，如 ? ?( ) 1, 2 , ,f k t k N?? ，則式 ()的離散形式為： 121( , ) ( ) ( )Nkk t bW f a b a t f k t a? ????? ? ?? ()另一種情況是將尺度參數(shù) a 和平移參數(shù) b 離散化，即取 0 0 0,mma a b nb a?? ，其中001,a b R??，則 ??ft的離散小波變換為： 20 0 0( , ) ( ) ( ) dm mW f m n a f t a t n b t? ??? ?????? ()當(dāng) 002, 1ab??時(shí)，上式變?yōu)槎M(jìn)小波變換： ( , ) 2 ( ) ( 2 ) dmmW f m n f t t n t? ????????? () 二進(jìn)小波變換 為了使 小波變換具有可變換的時(shí)間和頻率分辨率，適應(yīng)待分析信號(hào)的非平穩(wěn)性，我們很自然地需要改變 a 和 b 的大小，以使小波變換具有 “ 變焦距 ” 的功能。最常用的是二進(jìn)制的動(dòng)態(tài)采樣網(wǎng)格，即002, 1ab??，每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)對(duì)應(yīng)的尺度為 2j ，而平移為 2jk 。 二進(jìn)小波對(duì)信號(hào)的分析具有變焦距的作用。如果想進(jìn)一步觀看信號(hào)更小的細(xì)節(jié)，就需要增加放大倍數(shù)即減小 j ；反之，若想了解信號(hào)更粗的內(nèi)容，則可以減小放大倍數(shù)，即加大 j 值。 二進(jìn)小波不同于連續(xù)小波的離散形式，它只是對(duì)尺度參數(shù)進(jìn)行了離散化，而對(duì)時(shí)間域上的平移參量保持連續(xù)變化，因此二進(jìn)小波不破壞信號(hào)在時(shí)間域上的平移不變量，這也正是它同正交小波基相比所具有的獨(dú)特優(yōu)點(diǎn)。 1988 年 S. Mallat 在構(gòu)造正交小波基時(shí)提出了多分辨分析 (MultiResolution Analysis)[13]的概念，從空間的概念上形象地說(shuō)明了小波的多分辨特性，將此之前的所有正交小波基的構(gòu)造方法統(tǒng)一起來(lái)，給出了正交小波的構(gòu)造方法以及正交小波的快速算法，即 Mallat 算法。 13 Mallat 算法 設(shè)有多分辨率分 析 ? ?,jV j Z?，尺度函數(shù) ? ?, jk??為jV的正交基礎(chǔ)， ? 為正交小波。該式表明， 1djAf? 可以由分量 1djAf? 通過(guò)沖激響應(yīng)為 2 ( )hn 的濾波器濾波后在抽樣而得到的。該式表明，分量 djDf可以有分量 djAf通過(guò)沖激響應(yīng)為 2 ( )gn 的濾波器濾波后在抽樣而得到的。 圖 Mallat 算法分解示意圖 , 1 , 1 ,( ) , 2 ( 2 ) ( ) , 2 ( 2 ) ( ) ,dj j k j k j kk Z k ZA f t h n k f t g g k f t? ? ?????? ? ? ? ??? 12 ( 2 ) 2 ( 2 )ddjjk Z k Zh n k A f g n k D f???? ? ? ??? () 該式表明，分辨率為 j 的離散信號(hào)近似表示 djAf可由低一級(jí)分辨率的分 量 1djAf? 和1djDf? 來(lái)重構(gòu)。， 。另外，還存在一種對(duì)濾波后的圖像不進(jìn)行采樣的小波變換，即不包含采樣率變化的冗余小波變換，其實(shí)現(xiàn)算法是 atrous 算法 [14]。 圖 Mallat 算法重構(gòu)示意圖 它也是針對(duì) Mallat 算法存在的一定的缺陷被提出的。產(chǎn)生原因主要是 由變換中固有的抽取和插值操作引起的，抽取使得頻率時(shí)間域的不確定性，即當(dāng)對(duì)信號(hào)的頻率成分很確定時(shí)，對(duì)信號(hào)發(fā)生的時(shí)間就不確定了，從而導(dǎo)致小波系數(shù)高度依賴于他們?cè)谧硬蓸泳W(wǎng)格中的位置，一旦輸入波形發(fā)生小的位移，就會(huì)引起小波系數(shù)較大的變化，在不同分辨率層的能量分布也會(huì)發(fā)生較大變化，使重構(gòu)波形發(fā)生變形。 2. 由于在每個(gè)分解層數(shù)據(jù)量都減少，不可能逐層跟蹤圖像中重要的特征，所以按單個(gè)像素進(jìn)行分析是不可能的。 圖像的小波變換 圖像是二維信號(hào)，二維多分辨分析與一維情況類(lèi)似，但是空間 2()LR變成了2()L R R? ，一維中引入的尺度函數(shù) ()x? 變成了 ( , )xy? 。 上式說(shuō)明了二維尺度函數(shù)的可分離性。因?yàn)?( ), ( )xy??都是低通的尺度函數(shù)，所以 ? ?2j jZV ?是平滑的低通空間。因以上的三個(gè)正交基中都至少包含一個(gè)帶通的()x? 或 ()y? ，所以他們都是帶能的。具體說(shuō)來(lái) ，函數(shù)系 ? ? ? ?, ( , ) 2 ( 2 , 2 )jjjj n m x y x n y m????? ? ? 0, 1, 2,3j ??? () 是 2()L R R? 的正交歸一基，其中 , , , ,j l nm? 均為整數(shù)， 1,2,3?? 分別對(duì)應(yīng)水平、垂直和對(duì)角三個(gè)方向。下圖為二維圖像的多分辨率小波分解示意圖 (以 2 層分解為例 )。 圖 兩層圖像小波分解圖 按照 Mallat 快速算法 ，圖像的小波分解算法如圖 所示，圖像小波分解的重構(gòu)算法如 圖 所示： 圖 圖像的小波分解算法 圖中示意了圖像的一層小波分解過(guò)程，可以看到：二維圖像的小波分解可以對(duì)圖像依次按行、按列與一維一低通 (H)和高通 (G)濾波器做卷積來(lái)實(shí)現(xiàn)，在卷積之后進(jìn)行相應(yīng)的降 2 采樣。二維圖像的這種行、列可分離性簡(jiǎn)化了圖像的小波分解。在對(duì)圖像進(jìn)行小波變換的時(shí)候，可以用正交濾波器組， Daubechies 小波濾波器組等。 在子帶濾波器中，若分解和重構(gòu)濾波器使用相同的 FIR 濾波器，那么對(duì)稱(chēng)和精確重構(gòu)是不可能同時(shí)滿足的 (Harr 小波除外 )Daubechies 也證明，如果 ,??是一個(gè)多尺度分析的 尺度函數(shù)和正交小波函數(shù)， ,??是實(shí)的和緊支的，且 ? 有一個(gè)對(duì)稱(chēng)或反對(duì)稱(chēng)軸，則 ? 一定是一個(gè) Harr 小波。也就是說(shuō)，除了 Harr 小波外，緊支集正交的小波不可能具有任何對(duì)稱(chēng)性，此時(shí)與其對(duì)應(yīng)的 FIR 濾波器 H 和 G 不可能具有線性相位，這樣就會(huì)產(chǎn)生相位失真。而圖像的邊緣是圖像的一個(gè)重要特征。 在雙正交小波的情形下，采用兩個(gè)不同的小波基 ??和 ， ? 用來(lái)分解， ? 用來(lái)重構(gòu)。同時(shí)，也采用兩個(gè)尺度函數(shù) ??和 ，二者相互對(duì)偶且正交，一個(gè)用來(lái)分解，另一個(gè)用來(lái)重構(gòu)。 與正交小波變換不同的時(shí)，雙正交小波變換的重構(gòu)濾波器與分解濾波器不相同。雙正交小波變換與正交小波變換相比，小波形狀能有更寬的選擇范圍，因而給設(shè)計(jì)帶來(lái)更大的靈活性。目前，雙正交小波變換在圖像壓縮、圖像邊緣檢測(cè)方面均已得到廣泛應(yīng)用。它可以將被逼近信號(hào)在不同尺度上分解達(dá)到良好的逼近效果，滿足圖像在不同方向和不同頻率域上的圖像去噪。本節(jié)基于多尺度分析，介紹了小波變換的基本理論，連續(xù)小波變換，離散小波變換，多尺度分析， mallat 算法，由此給出了基于多分辨率分析理論在小波去噪具體應(yīng)用中的方法和步驟。 Ridgelet 的前身 Wavelet 由于同時(shí)具有時(shí)、頻局域性 ，適于表示瞬變信號(hào)，和傅立葉分析相比前進(jìn)了一大步，因而在信號(hào)處理中得到了廣泛的應(yīng)用。 Ridgelet 變換不僅能用一系列脊函數(shù)的疊加來(lái)表示相當(dāng)廣泛的函數(shù)類(lèi)，而且也具有基于離散變換的 “ 近于正交 ” 的脊波函數(shù)的框架，可利用各種特殊的高維空間的不均勻性來(lái)模擬現(xiàn)實(shí)的信號(hào)，以更精確地表示圖像的特征，進(jìn)而獲得更好的圖像處理結(jié)果。上圖顯示了一個(gè) Ridgelet 函數(shù)。 定義 2：當(dāng)令 12( c os , si n ) , ( , )u x x x????時(shí)， Ridgelet 函數(shù)為： 1 122, , 1 2c o s s in( ) ( ) , 0 , , , , , [ 0 , )ab x x bx a a a b x x Ra? ??? ? ? ?? ??? ? ? ? () 稱(chēng)變換： 2 ,( , , ) ( ) ( ) df a bRR F T a b x f x x???? ? () 為 ()fx在 2R 上的連續(xù)的連續(xù) Ridgelet 變換。 20 定義 4：設(shè) 22( ) ( )f x L R? ，稱(chēng)變換 2 ,( , ) ( ) ( ) df a bRW a b x f x x?? ? () 為 ()fx在 2R 上的連續(xù) Wavelet 變換。 ( )ab xbx a xa? ? ?? ??是一維小波函數(shù)。因此小波變換可以刻畫(huà) 點(diǎn) (零維 )的奇異性，但是無(wú)法刻畫(huà)圖像中線、 面 (一維或更高維 )的奇 異性，這一性質(zhì)直接影響小波變換在表示圖像邊緣等幾何機(jī)構(gòu)方面的有效性。正是這樣的幾何結(jié)構(gòu)使得脊波變換可以有效的處理圖像中直線狀和超平面狀的奇異性 [18]。 由上面式以及 Radon 變換可知，利用 FFT 算法、 Radon 變換算法以及小波變換算法就 可以實(shí)現(xiàn) Ridgelet 變換算法。 離散脊波變換 Ridgelet 變換的快速實(shí)現(xiàn)可以在 Fourier 域中實(shí)現(xiàn)，在 空 (時(shí) )域中 f 的 Radon 變換[21]可以通過(guò) f 的二維 FFT 在徑向上做逆的一維 FFT 得到，對(duì)于這個(gè)結(jié)果再進(jìn)行一次非正交的一維小波變換即可得到 Ridgelet 的快速離散化實(shí)現(xiàn)。 脊波變換的實(shí)現(xiàn) 脊波變換的本質(zhì)是首先對(duì)二維圖像進(jìn)行 Radon 變換 [20]，將圖像中不同方向線的奇異性映射為點(diǎn)的奇異性：然后再在 Radon 變換域內(nèi)進(jìn)行一維小波變換，來(lái)刻畫(huà)點(diǎn)的奇異性。事實(shí) 21 上， Radon 變換在科學(xué)計(jì)算和工程問(wèn)題中的應(yīng)用非常普遍， 在 過(guò)去幾十年內(nèi)對(duì) Radon變換己有了相當(dāng)充分的認(rèn)識(shí)。在每個(gè)徑線方向都有 N 個(gè)節(jié)點(diǎn)值后，再對(duì)這 N 個(gè)節(jié)點(diǎn)列作一維逆 FFT，從而得到對(duì)應(yīng)于圖像域的 22NN? 個(gè)點(diǎn)列。 我們 設(shè)數(shù)字 圖像( , ) (1 , 1 )f n m m p n p? ? ? ?， Radon 變換的實(shí)現(xiàn)步驟為： 1. 對(duì)整個(gè)圖像作二維 DFT。以 ( , )f kl 得中心為原點(diǎn)，把矩陣陣列變換到徑向陣列，共 9 個(gè)方向角度，每個(gè)角度對(duì)應(yīng)一個(gè)徑向數(shù)組，每個(gè)徑向數(shù)組 包含 p 個(gè)點(diǎn)，, 2 ,3 ,q p p p? ，這里取 q 為 p 的整數(shù)倍數(shù)為了計(jì)算的精確性： 3. 在每個(gè)極坐標(biāo)方 向 (徑向 )作 一維快速傅立葉逆變換，得到圖像的 Radon 變換。 分析上面 3 步，關(guān)鍵是第 2 步：矩陣陣列變換到徑向陣列，變換的準(zhǔn)確性直接影響重構(gòu)圖像質(zhì)量。采用的是近鄰域插值方法 [21]，該方法是被公認(rèn)的最簡(jiǎn)單的插值方法，但是它卻達(dá)到了出奇好的效果；當(dāng)然也可采用其他的插值方法，例如：雙線性插值、三角函數(shù)插值等本論文中，采用這種近鄰域插值方法?？梢?jiàn)通過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換可將一個(gè) NN? 變換成 22NN? 的數(shù)據(jù)矩陣。 在二維空間中，點(diǎn)與線通過(guò) Radon 變換相聯(lián)系，而適用于點(diǎn)狀特征的 Wavelet 變換與適用于直線狀特征的 Ridgelet 變換也可以通過(guò) Radon 變換相關(guān)聯(lián)起來(lái)， Ridgelet其實(shí)是等價(jià)于在 Radon 變換的切片上應(yīng)用的小