構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)證明不等式-閱讀頁
2024-10-26 21:14本頁面
【正文】 )=0，x 故F(x)在(0,a)上為減函數(shù)，在(a,+165。)上的最小值是F(a)=f(a)g(a)=0，故當(dāng)x0時(shí)，有f(x)g(x)179。g(x)提示：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1,+165。(x)=11x =1+x(1+x)2(1+x)2∴當(dāng)1x0時(shí)，f162。(1,0)上為減函數(shù)當(dāng)x0時(shí)，f162。(0,+165。1 1+x1+xa1bab=1 于是ln179。1a于是f(x)179。 f(x)f(x)xf39。(x)=，故在（0，+∞）上是減函數(shù)，由ab 163。222。一般對(duì)與一元二次函數(shù)有關(guān)或能通過等價(jià)轉(zhuǎn)化為一元二次方程的，都可考慮使用判別式，但使用時(shí)要注意根的取值范圍和題目本身?xiàng)l件的限制。0成立，并指出等號(hào)何時(shí)成立。0，∴a2+ac+c2+3b(a+b+c)179。當(dāng)⊿＝0時(shí)，b+c=0，此時(shí)，f(a)=a2+ac+c2+3ab=(ac)2=0，∴a=b=c時(shí)，不等式取等號(hào)。R且a+b+c=2,a2+b2+c2=2，求證： a,b,c206。0,3a+b+c=222解析：237。a+b+c=2∴⊿＝(b2)24(b22b+1)=3b2+4b179。b163。4249。234。235。4。0，得⊿≤0，就可以使一些用一般方法處理較繁瑣的問題，獲得簡(jiǎn)捷明快的證明。R+且a+b+c+d=1，求證：4a+1+4b+1+4c+1+4d+1﹤6。0，得⊿≤0，即⊿＝4(4a+1+4b+1+4c+1+4d+1)2128163。42﹤,b,c,d206。abc2bxb)2+(3cxc)21492++)x12x+1,(Qa+b+c=1)abc111由f(x)179。若采用函數(shù)思想，構(gòu)造出與所證不等式密切相關(guān)的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性來比較函數(shù)值而證之，思路則更為清新。若考慮構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性證明，問題將迎刃而解。利用函數(shù)的值域例若x為任意實(shí)數(shù)，求證：—x11≤≤ 221+x2[分析]本題可以直接使用分析法或比較法證明，但過程較繁。1+x222x2證明：設(shè) y=，則yxx+y=0 21+x ∵x為任意實(shí)數(shù) ∴上式中Δ≥0，即（1）4y≥0 1 411得：—≤y≤22x11 ∴—≤≤21+x22 ∴y≤2[說明]應(yīng)用判別式說明不等式，應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域。例求證：必存在常數(shù)a，使得Lg（xy）≤ +lg2y對(duì)大于1的任意x與y恒成立。若s≥f(t)恒成立，則s的最小值為f(t)的最大值；若 s≤f(t)恒成立，則s的最大值為f(t)的最小值。故必存在常數(shù)a，使原不等式對(duì)大于1的任意x、y恒成立。一般對(duì)與一元二次函數(shù)有關(guān)或能通過等價(jià)轉(zhuǎn)化為一元二次方程的，都可考慮使用判別式，但使用時(shí)要注意根的取值范圍和題目本身?xiàng)l件的限制。0成立，并指出等號(hào)何時(shí)成立。0，∴a2+ac+c2+3b(a+b+c)179。當(dāng)⊿＝0時(shí)，b+c=0，此時(shí)，f(a)=a2+ac+c2+3ab=(ac)2=0，∴a=b=c時(shí)，不等式取等號(hào)。R且a+b+c=2,a2+b2+c2=2，求證： a,b,c206。0,3a+b+c=222解析：237。a+b+c=2∴⊿＝(b2)24(b22b+1)=3b2+4b179。b163。4249。234。 235。4。0，得⊿≤0，就可以使一些用一般方法處理較繁瑣的問題，獲得簡(jiǎn)捷明快的證明。R+且a+b+c+d=1，求證：a+1+4b+1+4c+1+4d+1﹤6。0，得⊿≤0，即⊿＝4(4a+1+4b+1+4c+1+4d+1)2128163。42﹤,b,c,d206。abc2xb)2+(3cx)2 1492++)x12x+1,(Qa+b+c=1)abc111由f(x)179。若采用函數(shù)思想，構(gòu)造出與所證不等式密切相關(guān)的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性來比較函數(shù)值而證之，思路則更為清新。若考慮構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性證明，問題將迎刃而解。利用函數(shù)的值域例若x為任意實(shí)數(shù)，求證：—1x1≤≤ 221+x2[分析]本題可以直接使用分析法或比較法證明，但過程較繁。1+x222x2證明：設(shè) y=，則yxx+y=0 21+x∵x為任意實(shí)數(shù)22∴上式中Δ≥0，即（1）4y≥0411得：—≤y≤ 221x1∴—≤≤ 21+x22∴y≤2[說明]應(yīng)用判別式說明不等式，應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域。例求證：必存在常數(shù)a，使得Lg（xy）≤ +lg2y對(duì)大于1的任意x與y恒成立。若s≥f(t)恒成立，則s的最小值為f(t)的最大值；若 s≤f(t)恒成立，則s的最大值為f(t)的最小值。故必存在常數(shù)a，使原不等式對(duì)大于1的任意x、y恒成立。但利用偶函數(shù)的軸對(duì)稱性和奇函數(shù)的中心對(duì)稱性，常能使所求解的問題避免復(fù)雜的討論
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