【正文】 ，過點P作PE∥y軸交線段CD于點E，設點P的橫坐標為t，線段PE長為d，寫出d與t的關系式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接BD，在BD上有一動點Q，且DQ=CE，連接EQ，當∠BQE+∠DEQ=90176。？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．第15頁（共107頁）33．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+2x+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C，點D是該拋物線的頂點．（1）求拋物線的解析式和直線AC的解析式；（2）請在y軸上找一點M，使△BDM的周長最小，求出點M的坐標；（3）試探究：在拋物線上是否存在點P，使以點A，P，C為頂點，AC為直角邊的三角形是直角三角形？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．34．已知拋物線y=a（x﹣1）2過點（3，1），D為拋物線的頂點．（1）求拋物線的解析式；（2）若點B、C均在拋物線上，其中點B（0，），且∠BDC=90176。； ②求△PDQ面積的最小值．第16頁（共107頁）35．拋物線y=﹣x2+x﹣1與x軸交于點A，B（點A在點B的左側），與y軸交于點C，其頂點為D．將拋物線位于直線l：y=t（t＜）上方的部分沿直線l向下翻折，拋物線剩余部分與翻折后所得圖形組成一個“M”形的新圖象．（1）點A，B，D的坐標分別為，；（2）如圖①，拋物線翻折后，點D落在點E處．當點E在△ABC內（含邊界）時，求t的取值范圍；（3）如圖②，當t=0時，若Q是“M”形新圖象上一動點，是否存在以CQ為直徑的圓與x軸相切于點P？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．36．如圖，拋物線y=ax2+4x+c（a≠0）經(jīng)過點A（﹣1，0），點E（4，5），與y軸交于點B，連接AB．（1）求該拋物線的解析式；（2）將△ABO繞點O旋轉，點B的對應點為點F．①當點F落在直線AE上時，求點F的坐標和△ABF的面積； ②當點F到直線AE的距離為請直接寫出交點的坐標．第17頁（共107頁）時，過點F作直線AE的平行線與拋物線相交，37．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=（x﹣a）（x﹣3）（0＜a＜3）的圖象與x軸交于點A、B（點A在點B的左側），與y軸交于點D，過其頂點C作直線CP⊥x軸，垂足為點P，連接AD、BC．（1）求點A、B、D的坐標；（2）若△AOD與△BPC相似，求a的值；（3）點D、O、C、B能否在同一個圓上？若能，求出a的值；若不能，請說明理由．38．如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于原點及點A，且經(jīng)過點B（4，8），對稱軸為直線x=﹣2．（1）求拋物線的解析式；（2）設直線y=kx+4與拋物線兩交點的橫坐標分別為x1，x（，當2x1＜x2）時，求k的值；（3）連接OB，點P為x軸下方拋物線上一動點，過點P作OB的平行線交直線AB于點Q，當S△POQ：S△BOQ=1：2時，求出點P的坐標．（坐標平面內兩點M（x1，y1），N（x2，y2）之間的距離MN=）第18頁（共107頁）39．如圖，在平面直角坐標系中，∠ACB=90176。得到△M′OK′，點F為直線l′上的動點．當△M39?！唷鰽MN為等腰直角三角形（如圖1）． 當∠ANM=90176。時，有t﹣3=﹣t，解得：t=．綜上所述：當t為1秒或秒時，△AMN為直角三角形．（3）設NH與x軸交于點E，如圖2所示．當運動時間為t秒時，點M的坐標為（﹣t，0），點N的坐標為（t﹣3，t），∴點E的坐標為（t﹣3，0），點H的坐標為（t﹣3，t2﹣2t）． ∵MH∥AB，∴∠EMH=45176?！唷鰽OD為等腰直角三角形，∵OA⊥AC，∴OD=OA=2，∴D（0，2），易得直線AD的解析式為y=﹣x+2，解方程組∴S△AOC=S△COD﹣S△AOD =25﹣21 =4；（3）存在．如圖2，作MH⊥x軸于H，AC=設M（x，﹣x2+x）（x＞0），∵∠OHM=∠OAC，∴當=時，△OHM∽△OAC，即=，（舍去），此時M點坐標為（，﹣54）；=4，OA=，得或，則C（5，﹣3），解方程﹣x2+x=4x得x1=0（舍去），x2=﹣解方程﹣x2+x=﹣4x得x1=0（舍去），x2=當=時，△OHM∽△CAO，即=，此時M點的坐標為（，），解方程﹣x2+x=x得x1=0（舍去），x2=第32頁（共107頁）解方程﹣x2+x=﹣x得x1=0（舍去），x2=﹣∵MN⊥OM，∴∠OMN=90176?！郉H∥AO，∵OA=OB=6，∴∠BDH=∠BAO=45176。若△PDE為等腰直角三角形，則PD=PE，設點P的橫坐標為a，∴PD=﹣a2+2a+6﹣（﹣a+6）=﹣a2+3a，PE=2|2﹣a|，∴﹣a2+3a=2|2﹣a|，解得：a=4或a=5﹣，3﹣5）． 所以P（4，6）或P（5﹣11．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=x2﹣x﹣4與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C．（1）求點A，B，C的坐標；（2）點P從A點出發(fā)，在線段AB上以每秒2個單位長度的速度向B點運動，同時，點Q從B點出發(fā)，在線段BC上以每秒1個單位長度的速度向C點運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也停止運動．設運動時間為t秒，求運動時間t為多少秒時，△PBQ的面積S最大，并求出其最大面積；第39頁（共107頁）（3）在（2）的條件下，當△PBQ面積最大時，在BC下方的拋物線上是否存在點M，使△BMC的面積是△？若存在，求點M的坐標；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）當x=0時，y=x2﹣x﹣4=﹣4，∴點C的坐標為（0，﹣4）； 當y=0時，有x2﹣x﹣4=0，解得：x1=﹣2，x2=3，∴點A的坐標為（﹣2，0），點B的坐標為（3，0）．（2）設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），將B（3，0）、C（0，﹣4）代入y=kx+b，解得：，∴直線BC的解析式為y=x﹣4．過點Q作QE∥y軸，交x軸于點E，如圖1所示，當運動時間為t秒時，點P的坐標為（2t﹣2，0），點Q的坐標為（3﹣t，﹣t），∴PB=3﹣（2t﹣2）=5﹣2t，QE=t，∴S△PBQ=PB?QE=﹣t2+2t=﹣（t﹣）2+． ∵﹣＜0，∴當t=時，△PBQ的面積取最大值，最大值為．第40頁（共107頁）（3）當△PBQ面積最大時，t=，此時點P的坐標為（，0），點Q的坐標為（，﹣1）．假設存在，設點M的坐標為（m，m2﹣m﹣4），則點F的坐標為（m，m﹣4），∴MF=m﹣4﹣（m2﹣m﹣4）=﹣m2+2m，∴S△BMC=MF?OB=﹣m2+3m．∵△BMC的面積是△，∴﹣m2+3m=，即m2﹣3m+2=0，解得：m1=1，m2=2． ∵0＜m＜3，∴在BC下方的拋物線上存在點M，使△BMC的面積是△，點M的坐標為（1，﹣4）或（2，﹣）．第41頁（共107頁）12．綜合與探究 如圖，拋物線y=x﹣4與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，連接AC，BC．點P是第四象限內拋物線上的一個動點，點P的橫坐標為m，過點P作PM⊥x軸，垂足為點M，PM交BC于點Q，過點P作PE∥AC交x軸于點E，交BC于點F．（1）求A，B，C三點的坐標；（2）試探究在點P運動的過程中，是否存在這樣的點Q，使得以A，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請直接寫出此時點Q的坐標；若不存在，請說明理由；（3）請用含m的代數(shù)式表示線段QF的長，并求出m為何值時QF有最大值．【解答】解：（1）當y=0，∴A（﹣3，0），B（4，0），當x=0，y=∴C（0，﹣4）；（2）AC==5，x﹣4=﹣4，x﹣4=0，解得x1=﹣3，x2=4，易得直線BC的解析式為y=x﹣4，設Q（m，m﹣4）（0＜m＜4），當CQ=CA時，m2+（m﹣4+4）2=52，解得m1=點坐標為（，﹣4）；，m2=﹣（舍去），此時Q當AQ=AC時，（m+3）2+（m﹣4）2=52，解得m1=1，m2=0（舍去），此時Q點坐標為（1，﹣3）；第42頁（共107頁）當QA=QC時，（m+3）2+（m﹣4）2=52，解得m=綜上所述，滿足條件的Q點坐標為（，（舍去），﹣4）或（1，﹣3）；（3）解：過點F作FG⊥PQ于點G，如圖，則FG∥x軸．由B（4，0），C（0，﹣4）得△OBC為等腰直角三角形∴∠OBC=∠QFG=45∴△FQG為等腰直角三角形，∴FG=QG=FQ，∵PE∥AC，PG∥CO，∴∠FPG=∠ACO，∵∠FGP=∠AOC=90176。．①求拋物線的解析式；②若點P與點O關于點A對稱，且O，M，N三點共線，求證：PA平分∠MPN． 【解答】解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c過點A（0，2），∴c=2． 又∵點（﹣∴a（﹣∴2a﹣，0）也在該拋物線上，）+c=0，）2+b（﹣b+2=0（a≠0）．（2）①∵當x1＜x2＜0時，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，∴x1﹣x2＜0，y1﹣y2＜0，∴當x＜0時，y隨x的增大而增大； 同理：當x＞0時，y隨x的增大而減小，∴拋物線的對稱軸為y軸，開口向下，∴b=0．∵OA為半徑的圓與拋物線的另兩個交點為B、C，∴△ABC為等腰三角形，又∵△ABC有一個內角為60176。又∵OB=OC=OA=2，∴CD=OC?cos30176。=1．，﹣1）． 不妨設點C在y軸右側，則點C的坐標為（∵點C在拋物線上，且c=2，b=0，∴3a+2=﹣1，∴a=﹣1，∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2．②證明：由①可知，點M的坐標為（x1，﹣直線OM的解析式為y=k1x（k1≠0）． ∵O、M、N三點共線，∴x1≠0，x2≠0，且∴﹣x1+=﹣x2+，﹣+2）． =，+2），點N的坐標為（x2，﹣+2）．∴x1﹣x2=﹣∴x1x2=﹣2，即x2=﹣∴點N的坐標為（﹣設點N關于y軸的對稱點為點N′，則點N′的坐標為（∵點P是點O關于點A的對稱點，∴OP=2OA=4，∴點P的坐標為（0，4）． 設直線PM的解析式為y=k2x+4，∵點M的坐標為（x1，﹣∴﹣，﹣+2）．+2），+2=k2x1+4，第45頁（共107頁）∴k2=﹣，∴直線PM的解析式為y=﹣x+4．∵﹣?+4==﹣+2，∴點N′在直線PM上，∴PA平分∠MPN．14．如圖，已知拋物線y=ax2+bx與x軸分別交于原點O和點F（10，0），與對稱軸l交于點E（5，5）．矩形ABCD的邊AB在x軸正半軸上，且AB=1，邊AD，BC與拋物線分別交于點M，N．當矩形ABCD沿x軸正方向平移，點M，N位于對稱軸l的同側時，連接MN，此時，四邊形ABNM的面積記為S；點M，N位于對稱軸l的兩側時，連接EM，EN，此時五邊形ABNEM的面積記為S．將點A與點O重合的位置作為矩形ABCD平移的起點，設矩形ABCD平移的長度為t（0≤t≤5）．第46頁（共107頁）（1）求出這條拋物線的表達式；（2）當t=0時，求S△OBN的值；（3）當矩形ABCD沿著x軸的正方向平移時，求S關于t（0＜t≤5）的函數(shù)表達式，并求出t為何值時，S有最大值，最大值是多少？【解答】解：（1）將E（5，5）、F（10，0）代入y=ax2+bx，解得：，∴拋物線的表達式為y=﹣x2+2x．（2）當t=0時，點B的坐標為（1，0），點N的坐標為（1，），∴BN=，OB=1，∴S△OBN=BN?OB=．（3）①當0＜t≤4時（圖1），點A的坐標為（t，0），點B的坐標為（t+1，0），∴點M的坐標為（t，﹣t2+2t），點N的坐標為（t+1，﹣（t+1）2+2（t+1）），∴AM=﹣t2+2t，BN=﹣（t+1）2+2（t+1），∴S=（AM+BN）?AB=1[﹣t2+2t﹣（t+1）2+2（t+1）]，=﹣t2+t+，=﹣（t﹣）2+∵﹣＜0，∴當t=4時，S取最大值，最大值為；②當4＜t≤5時（圖2），點A的坐標為（t，0），點B的坐標為（t+1，0），第47頁（共107頁）∴點M的坐標為（t，﹣t2+2t），點N的坐標為（t+1，﹣（t+1）2+2（t+1）），∴AM=﹣t2+2t，BN=﹣（t+1）2+2（t+1），∴S=（5﹣t）（﹣t2+2t+5）+（t﹣4）[5﹣（t+1）2+2（t+1）]，=（t3﹣3t2+5t+25）+（﹣t3+=﹣=﹣∵﹣t2+t﹣，t2+t﹣），（t﹣）2+＜0，∴當t=時，S取最大值，最大值為∵=＜，．∴當t=時，S有最大值，最大值是．15．如圖，已知拋物線經(jīng)過點A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三點，點D與點C關于x軸對稱，點P是x軸上的一個動點，設點P的坐標為（m，0），過點P做x軸的垂線l交拋物線于點Q，交直線BD于點M．（1）求該拋物線所表示的二次函數(shù)的表達式；第48頁（共107頁）（2）已知點F（0，），當點P在x軸上運動時，試求m為何值時，四邊形DMQF是平行四邊形？（3）點P在線段AB運動過程中，是否存在點Q，使得以點B、Q、M為頂點的三角形與△BOD相似？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）由拋物線過點A（﹣1，0）、B（4，0）可設解析式為y=a（x+1）（x﹣4），將點C（0，2）代入，得：﹣4a=2，解得：a=﹣，則拋物線解析式為y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣x2+x+2；（2）由題意知點D坐標為（0，﹣2），設直線BD解析式為y=kx+b，將B（4，0）、D（0，﹣2）代入，得：解得：，∴直線BD解析式為y=x﹣2，∵QM⊥x軸，P（m，0），∴Q（m，﹣m2+m+2）、M（m，m﹣2），則QM=﹣m2+m+2﹣（m﹣2）=﹣m2+m+4，第49頁（共107頁）∵F（0，）、D（0，﹣2），∴DF=，∵QM∥DF，∴當﹣m2+m+4=時，四邊形DMQF是平行四邊形，解得：m=﹣1（舍）或m=3，即m=3時，四邊形DMQF是平行四邊形；（3）如圖所示：∵QM∥DF，∴∠ODB=∠QMB，分以下兩種情況：①當∠DOB=∠MBQ=90176?！唷螹BP+∠PBQ=90176。∴∠MBP+∠BMP=90