20xx高中數(shù)學(xué)323指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系同步檢測(cè)新人教b版必修1-閱讀頁(yè)
2024-12-18 00:25本頁(yè)面
【正文】 意，得 g(－ 1)＝－ 1＋ 2＝ 1， g[g(－ 1)]＝ g(1)＝ f－ 1(1)． 設(shè) f－ 1(1)＝ t，則有 f(t)＝ 1， 即 e2(t－ 1)＝ 1， ∴ t＝ 1， ∴ g[g(－ 1)]＝ 1. 三、解答題 7．已知函數(shù) f(x)＝ loga(2－ x)(a1)． (1)求函數(shù) f(x)的定義域、值域； (2)求函數(shù) f(x)的反函數(shù) f－ 1(x)； (3)判斷 f－ 1(x)的單調(diào)性． [解析 ] (1)要使函數(shù) f(x)有意義，需滿足 2－ x0，即 x2， 故原函數(shù)的定義域?yàn)?(－ ∞ ， 2)，值域?yàn)?R. (2)由 y＝ loga(2－ x)得， 2－ x＝ ay，即 x＝ 2－ ay. ∴ f－ 1(x)＝ 2－ ax(x∈ R)． (3)f－ 1(x)在 R 上是減函數(shù)． 證明如下：任取 x1， x2∈ R 且 x1x2， ∵ f－ 1(x2)－ f－ 1(x1)＝ 2－ ax2－ 2＋ ax1＝ ax1－ ax2， ∵ a1， x1x2， ∴ ax1ax2即 ax1－ ax20， ∴ f－ 1(x2)f－ 1(x1)， ∴ y＝ f－ 1(x)在 R 上是減函數(shù)． 8． 設(shè)方程 2x＋ x－ 3＝ 0的根為 a，方程 log2x＋ x－ 3＝ 0的根為 b，求 a＋ b的值． [解析 ] 將方程整理得 2x＝－ x＋ 3， log2x＝－ x＋ 3. 如圖可知， a 是指數(shù)函數(shù) y＝ 2x的圖象與直線 y＝－ x＋ 3 交點(diǎn) A 的橫 坐標(biāo)， b 是對(duì)數(shù)函數(shù) y＝ log2x的圖象與直線 y＝－ x＋ 3交點(diǎn) B的橫坐標(biāo)． 由于函數(shù) y＝ 2x與 y＝ log2x互為反函數(shù)，所以它們的圖象關(guān)于直線 y＝ x 對(duì)稱，由題意可得出 A、 B兩點(diǎn)也關(guān)于直線 y＝ x對(duì)稱，于是 A、 B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為 A(a， b)， B(b， a)． 而 A、 B都在直線 y＝－ x＋ 3上， ∴ b＝－ a＋ 3(A點(diǎn)坐標(biāo)代入 )， a＝－ b＋ 3(B點(diǎn)坐標(biāo)代入 )． 故 a＋ b＝ 3.
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