第34課圖形的相似-閱讀頁
2024-12-14 12:04本頁面
【正文】 如圖，矩形 P QM N 內(nèi)接于 △AB C ，矩形周長為 24 ， A D ⊥BC交 PN 于 E ，且 BC ＝ 10 ， AE ＝ 16 ，求 △A BC 的面積． 解 在矩形 P QM N 中， PN ∥＝ QM ， ∴△ APN ∽△ A BC . ∵ AD ⊥ BC ， ∴ AE ⊥ PN ， ∴PNBC＝AEAD. 設(shè) ED ＝ x ， ∵ 矩形 PQ M N 周長為 24 ， ∴ PQ ＋ PN ＝ 12 ， ∴ PN ＝ 12 － x ， AD ＝ 16 ＋ x ， ∴12 － x10＝1616 ＋ x， x2＋ 4x － 32 ＝ 0 ， 解得 x 1 ＝ 4 ， x 2 ＝－ 8( 舍去 ) ， ∴ AD ＝ 16 ＋ 4 ＝ 20 ， ∴ S △ ABC ＝12BC 懷化 ) 如圖， △A BC 是一張銳角三角形的硬紙片． AD 是邊 BC 上的高， BC ＝ 40 cm ， AD ＝ 30 c m.從這張硬紙片剪下一個長 HG 是寬 HE 的 2 倍的矩形 E FG H ，使它的一邊 EF 在 BC 上，頂點 G 、 H 分別在 AC 、 AB 上，AD 與 HG 的交點為 M. ( 1) 求證：AMAD＝HGBC； ( 2) 求這個矩形 E FG H 的周長． 解 ( 1 ) 證明： ∵ 四邊形 EFG H 為矩形， ∴ EF ∥ GH ， ∴∠ AHG ＝ ∠ ABC . 又 ∵∠ HA G ＝ ∠ BAC ， ∴△ AH G ∽△ ABC ， ∴AMAD＝HGBC. ( 2 ) 設(shè) HE ＝ x ， 則 HG ＝ 2x ， AM ＝ AD － DM ＝ AD － HE ＝ 30 － x ， 由 ( 1 ) 可知，AMAD＝HGBC， 即30 － x30＝2x40， 解得 x ＝ 12 ， 2x ＝ 24 . ∴ 矩形 EF GH 的周長為 2 ( 12 ＋ 24 ) ＝ 72 cm. 解 ( 1 ) 證明： ∵ 四邊形 EFG H 為矩形， ∴ EF ∥ GH ， ∴∠ AHG ＝ ∠ ABC . 又 ∵∠ HA G ＝ ∠ BAC ， ∴△ AH G ∽△ ABC ， ∴AMAD＝HGBC. ( 2 ) 設(shè) HE ＝ x ， 則 HG ＝ 2x ， AM ＝ AD － DM ＝ AD － HE ＝ 30 － x ， 由 ( 1 ) 可知，AMAD＝HGBC， 即30 － x30＝2x40， 解得 x ＝ 12 ， 2x ＝ 24 . ∴ 矩形 EF GH 的周長為 2 ( 12 ＋ 24 ) ＝ 72 cm. 【例 4 】 如圖，在 8179。94＝32， 又 ∵△A DO ∽△A GE ， ∴AOOE＝ADDG＝32， ∴DOGE＝ADAG＝35，GEDC＝BEBC＝59， ∴DOGE179。59＝13，即DODC＝13， ∴DOOC＝12. 答題模板 第一步：審題，理解問題，清楚問題中的已知條件與未知結(jié)論； 第二步：過三角形邊上的點作欲求分比線段的平行線，構(gòu)成兩對相似三角形； 第三步：根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得出與欲求分比線段相關(guān)聯(lián)的兩線段的比值； 第四步：根據(jù)比例的性質(zhì)逐步求得欲求分比線段的比值； 第五步：反思回顧，查看關(guān)鍵點、易錯點，完善解題步驟． 批閱筆記 尋找對應(yīng)線段比時，常借輔助線過渡，注意利用合分比性質(zhì)對新的分點分出的個線段之比的求取 ． 此類問題在作出輔助線后，注意重點討論兩對相似三角形，如本題中的 △ BE G ∽△ BCD 和 △ AD O ∽△ AGE ，本題也可過點 D 作AE 的平行線，同樣也可以求得相關(guān)的比值 ． 答題規(guī)范 考題再現(xiàn) 如圖，在 R t△ A BC 與 Rt △A DC 中， ∠A CB ＝ ∠AD C ＝ 90176。 ∠ B 可能與 ∠ AC D 相等，或者 ∠ B 與∠ C AD 相等，三角形 △ ABC 與 △ A DC 相似可能是 △ AB C ∽△ A CD或 △ A BC ∽△ C AD . 根據(jù)對應(yīng)邊成比例，有兩種情況需要分類討論． (2) 分類討論在幾何中的應(yīng)用也很廣泛，可以說整個平面幾何的知識結(jié)構(gòu)貫穿了分類討論的思想方法． (3) 在解題過程中，不僅要掌握問題中的條件與結(jié)論，還要在推理的過程中不斷地發(fā)現(xiàn)題目中的隱含條件，以便全面、正確、迅速地解決問題． 忽視已知條件，實質(zhì)上是對概念理解不詳、把握不準(zhǔn)的表現(xiàn)． 老師忠告 (1 ) 此題中，兩個直角三角形 Rt △ ABC 與 Rt △ ADC 中，∠ AC B ＝ ∠ ADC ＝ 90 176。 ∠ B 可能與 ∠ ACD 相等，或者 ∠ B 與∠ CA D 相等，三角形 △ ABC 與 △ AD C 相似可能是 △ ABC ∽△ A CD或 △ AB C ∽△ CAD . 根據(jù)對應(yīng)邊成比例，有兩種情況需要分類討論． (2 ) 分類討論在幾何中的應(yīng)用也很廣泛，可以說整個平面幾何的知識結(jié)構(gòu)貫穿了分類討論的思想方法． (3 ) 在解題過程中，不僅要掌握問題中的條件與結(jié)論，還要在推理的過程中不斷地發(fā)現(xiàn)題目中的隱含條件，以便全面、正確、迅速地解決問題． 忽視已知條件，實質(zhì)上是對概念理解不詳、把握不準(zhǔn)的表現(xiàn)．
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