20xx年安徽省安慶市高考數(shù)學(xué)二模試卷理科word版含解析-閱讀頁
2024-12-05 06:58本頁面
【正文】 2， 3， P（ X=1） = = ， P（ X=3） = = ， P（ X=2） =1﹣ P（ X=1）﹣ P（ X=3）= ， X 的分布列為 X 1 2 3 P E（ X） =1 +2 +3 = ． 20．已知拋物線 x2=2py（ p＞ 0）， F 為其焦點(diǎn)，過點(diǎn) F 的直線 l 交拋物線于 A、 B兩 點(diǎn)，過點(diǎn) B 作 x 軸的垂線，交直線 OA 于點(diǎn) C，如圖所示． （ Ⅰ ）求點(diǎn) C 的軌跡 M 的方程； （ Ⅱ ）直線 m是拋物線的不與 x 軸重合的切線，切點(diǎn)為 P， M 與直線 m 交于點(diǎn)Q，求證：以線段 PQ 為直徑的圓過點(diǎn) F． 【考點(diǎn)】 直線與拋物線的位置關(guān)系；拋物線的簡單性質(zhì)． 【分析】 （ Ⅰ ）判斷直線 l 的斜率存在，設(shè)方程為： y=kx+ ，設(shè) A（ x1， y1）， B（ x2， y2），動(dòng)點(diǎn) C（ x， y）聯(lián)立直線與拋物線的方程組，利用韋達(dá)定理可得 x1x2═ ﹣ p2．求出 OA； OB 方程；然后求解軌跡方程． （ Ⅱ ）設(shè)直線 m 的方程為： y=kx+m，由 ，得 △ =4p2k2+8pm，利用直線m 與拋物線相切，得 P（ pk，﹣ m），求出 Q（ ），通過 =0，說明以線段 PQ 為直徑的圓過點(diǎn) F． 【解答】 解：（ Ⅰ ）由題意可得：直線 l 的斜率存在，設(shè)方程為： y=kx+ ， 設(shè) A（ x1， y1）， B（ x2， y2），動(dòng)點(diǎn) C（ x， y）， 由 ，可得 x2﹣ 2pkx﹣ p2=0．可得 x1x2═ ﹣ p2． OA： y= = ； OB： x=x2； 由 可得 y= ， 即點(diǎn) C 的軌跡方程為 y=﹣ ． （ Ⅱ ）證明：設(shè)直線 m的方程為： y=kx+m， 由 可得 x2﹣ 2pkx﹣ 2pm=0 可得 △ =4p2k2+8pm，因?yàn)?直線 m 與拋物線相切， ∴△ =0，可得 pk2+2m=0，可得 P（ pk，﹣ m）， 又由 ，可得 Q（ ）， =（ pk，﹣ m﹣ ）（ ） =﹣ （ p+2m） +pm+ =0，可得 FP⊥ FQ， ∴ 以線段 PQ 為直徑的圓過點(diǎn) F． 21．已知函數(shù) f（ x） = ， a∈ R． （ 1）若 a≠ 0，求函數(shù) f（ x）的單調(diào)遞增區(qū)間； （ 2）若 a=0， x1＜ x＜ x2＜ 2，證明： ＞ ． 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值． 【分析】 （ 1）若 a≠ 0，求導(dǎo)數(shù)，分類討論，即可求函數(shù) f（ x）的單調(diào)遞增區(qū)間； （ 2） a=0， f（ x） = ， x1＜ x＜ x2＜ 2，證明： ＞ ，只要證明 g（ x） = 在（ x1， 2）上單調(diào)遞減． 【解答】 （ 1）解： ∵ f（ x） = ， ∴ f′（ x） = ， x∈ （ ， 1）時(shí)， f′（ x） ＞ 0，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（ ，1）； ② a＜ 0， ＞ 1， x∈ （﹣ ∞ ， 1） ∪ （ ， +∞ ）時(shí)， f′（ x） ＞ 0，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為 ∈ （﹣ ∞ ， 1）和（ ， +∞ ）； （ 2） a=0， f（ x） = ， x1＜ x＜ x2＜ 2， 證明： ＞ ，只要證明 g（ x） = 在（ x1， 2）上單調(diào)遞減． g′（ x） = ，設(shè) h（ x） = ， ∴ h′（ x） = ＜ 0， ∴ h（ x）在（ x1， 2）上是減函數(shù)， ∴ h（ x） ＜ 0， ∴ g′（ x） ＜ 0， ∴ g（ x） = 在（ x1， 2）上單調(diào)遞減． ∵ x1＜ x＜ x2＜ 2， ∴ ＞ ． 請(qǐng)考生在第 2 23 題中任選一題作答【選修 44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】 22．在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)， x 軸的非負(fù)半軸為極軸，并在兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位，若直線 l 的極坐標(biāo)方程是 ρsin（ θ+ ） =2 ，且點(diǎn) P是曲線 C： （ θ 為參數(shù)）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)． （ Ⅰ ）將直線 l 的方程化為直角坐標(biāo)方程； （ Ⅱ ）求點(diǎn) P 到直線 l 的距離的最大值與最小值． 【考點(diǎn)】 參 數(shù)方程化成普通方程；簡單曲線的極坐標(biāo)方程． 【分析】 （ Ⅰ ）直線 l 的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為 ρsinθ+ρcosθ=4，由 ρsinθ=y， ρcosθ=x，能求出直線 l 的直角坐標(biāo)方程． （ Ⅱ ） 由 題 意 P （ ）， 從 而 點(diǎn) P 到 直 線 l 的 距 離d= = ，由此能求出點(diǎn) P 到直線 l 的距離的最大值與最小值． 【解答】 解：（ Ⅰ ） ∵ 直線 l 的極坐標(biāo)方程是 ρsin（ θ+ ） =2 ， ∴ ， ∴ ρsinθ+ρcosθ=4， 由 ρsinθ=y， ρcosθ=x，得 x+y﹣ 1=0． ∴ 直線 l 的直角坐標(biāo)方程為 x+y﹣ 1=0． （ Ⅱ ） ∵ 點(diǎn) P 是曲線 C： （ θ 為 參數(shù)）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， ∴ P（ ）， 點(diǎn) P 到直線 l 的距離 d= = ， ∴ 點(diǎn) P 到直線 l 的距離的最大值 dmax= ， 點(diǎn) P 到直線 l 的距離的最小值 dmin= = ． 【選修 45：不等式選講】 23．已知 f（ x） =|x﹣ 1|+|x+2|． （ 1）若不等式 f（ x） ＞ a2對(duì)任意實(shí)數(shù) x 恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值的集合 T； （ Ⅱ ）設(shè) m、 n∈ T，證明： |m+n|＜ |mn+3|． 【考點(diǎn)】 絕對(duì)值三角不等式；絕對(duì)值不等式的解法． 【分析】 （ 1）利用絕對(duì)值三角不等式求得 f（ x）的最小值為 3，可得 3＞ a2，由此求得實(shí)數(shù) a 的取值的 集合 T； （ 2）由（ 1）可得 m2＜ 3， n2＜ 3，再整理，即可證明結(jié)論． 【解答】 （ 1）解： ∵ f（ x） =|x﹣ 1|+|x+2|≥ |x﹣ 1﹣ x﹣ 2|=3，不等式 f（ x） ＞a2對(duì)任意實(shí)數(shù) x 恒成立， ∴ 3＞ a2， ∴ ﹣ ＜ a＜ ， ∴ T={a|﹣ ＜ a＜ }； （ 2）證明：由（ 1）可得 m2＜ 3， n2＜ 3， ∴ （ m2﹣ 3）（ 3﹣ n2） ＜ 0， ∴ 3（ m+n） 2＜ （ mn+3） 2， ∴ |m+n|＜ |mn+3|． 2017 年 4 月 5 日
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