高二數(shù)學平面的法向量-閱讀頁
2024-12-02 18:19本頁面
【正文】 ，直線 m的方向向量為 b＝ (b1， b2， b3)，則l⊥ m?______. 設直線 l的方向向量為 a＝ (a1， b1，c1)，平面 α的法向量為 u＝ (a2，b2， c2)，則l⊥ α?_______. 設平面 α的法向量為 u＝ (a1， b1，c1)，平面 β的法向量為v＝ (a2， b2，c2)，則α⊥ β? ________. a⊥ b a∥ u u⊥ v 一個平面的法向量唯一嗎 ？ 提示： 不唯一． 思考感悟 課堂互動講練 平面的法向量的求解與判定 考點突破 若要求出一個平面的法向量 ， 一般要建立空間直角坐標系 ， 然后用待定系數(shù)法求解 ， 一般步驟為： (1)設出平面法向量 n＝ (x， y， z)； (2)找出 (求出 )平面內的兩個不共線向量 a＝ (a1，b1， c1)， b＝ (a2， b2， c2)； ( 3 ) 根據(jù)法向量定義建立關于 x ， y ， z 的方程組：????? n a ＝ xa 1 ＋ yb 1 ＋ zc 1 ＝ 0 ，n AB→＝ 0n AB→＝ 0n AB→＝－ 3 x ＋ 4 y ＝ 0 ，n AB1→＝12( － a ＋ b ＋ c ) a ＋ cAB 1→＝ ( － 1 ，－ 1 , 1 ) AC→＝ ( － 1 ，－ 1 , 1 ) n ＝ 0 ， AC→PA→＝ 0 ， ∴ n ⊥ PA→，即平面 P B C 的法向量與平面 EFG 的法向量互相垂直， ∴ 平面 EFG⊥ 平面 P B C . ( 2 ) ∵ EG→＝ (1 ，－ 1 ，－ 1) ， PG→＝ ( 1 , 1 , 0 ) ， BC→＝ (0 ，－ 3 , 3 ) ， ∴ EG→BC→＝ 3 － 3 ＝ 0 ， ∴ EG ⊥ PG ， EG ⊥ BC . 【名師點評】 證明面面垂直通常有兩種方法，一是利用面面垂直的判定定理，轉化為線面垂直、線線垂直去證明；二是證明兩個平面的法向量互相垂直． 自我挑戰(zhàn) 2 三棱錐被平行于底面 ABC 的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為 A 1 B 1 C 1 ， ∠BAC ＝ 9 0 176。BC→＝ 1 ( － 2) ＋ 1 2 ＋ 0 0 ＝ 0 ， AA 1→AA1→＝ 0n BC→＝ 0n2n 2 ＝ 1 － 1 ＋ 0 ＝ 0 ， ∴ n 1 ⊥ n 2 ， ∴ 平面 A 1 AD ⊥ 平面 BCC 1 B 1 . 1．方向向量的作用 直線的方向向量和平面的法向量是用空間向量解決立體幾何問題的兩個重要工具，是實現(xiàn)空間問題的向量解法的媒介． 2．用向量證明空間垂直關系的方法 方法感悟 線線垂直 設直線 l l2的方向向量分別是 a、 b，則要證明 l1⊥ l2，只需證明 a⊥ b，即 al0＝ 0 面面垂直 ①轉化為證明線線垂直或線面垂直 ② 證明兩平面法向量互相垂直
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