【正文】 ???sbeefruR[s(s1)?(? +1)]b0 = 0 → s(s 1) ?(? +1) = 0 ??????1llsS = ? 不滿足 s ≥1 條件，舍去。 二條件滿足 1. ρ→ 0 時(shí)， R(r) 有限已由 s = ? + 1 條件所保證。 ?? ?????? !!2!11 2 ???? ??e?????????1)22)((1limlim 1 ????????????? lllbb所以討論波函數(shù) 的收斂 性可以用 e ρ代替 f (ρ) ?????? 1)!1(!!1)!1(1??? ???后項(xiàng)與前項(xiàng)系數(shù)之比 ?????????????????????????????2/2/2/ )()(eeefeuR級(jí) 數(shù) e ρ與 f(ρ) 收 斂 性 相同 ???????? 2/e 可見若 f (ρ) 是無窮級(jí)數(shù)，則波函數(shù) R不滿足有限性條件，所 以必須把級(jí)數(shù)從某項(xiàng)起截?cái)?。 ??3,2,12 2242????nneZE n?? En 0 )()( mkkkmmk eddeL ???? ??????0)22)(( 11 ???? ????? ?? ?? ? bll nlb將 β= n 代入遞推公式： 利用遞推公式可把 b1, b2, ..., bn?1 用 b0 表示 出來。 （五）總結(jié) 當(dāng) n 確定后 ， ? = n nr 1， 所以 ? 最大值為 n 1。 1,177。 ? 。 所以對(duì)于 E n 能級(jí)其簡并度為： 210)12( nlnl?????即對(duì)能量本征值 En由 n2 個(gè)本征函數(shù)與之對(duì)應(yīng)，也就是說有 n2 個(gè) 量子態(tài)的能量是 En。 能量只與主量子數(shù) n 有關(guān)，而本征函數(shù)與 n, ?, m 有關(guān)，故能級(jí)存在簡并。因此，對(duì)一般的有心力場，解得的能量 E 不僅與徑量子數(shù) nr有關(guān)，而且與 ? 有關(guān)，即 E = Enl，簡并度就為 (2 ? +1) 度。 所以又出現(xiàn)了對(duì) ? 的簡并度，這種簡并稱為 附加簡并 。 當(dāng)考慮 Li, Na, K 等堿金屬原子中最外層價(jià)電子是在由核和內(nèi)殼層電子所產(chǎn) 生的有心力場中運(yùn)動(dòng)。或者說，核的有效電荷發(fā)生了變化。 （ 4）宇稱 當(dāng)空間反射時(shí) rr ?? ??球坐標(biāo)系的變換是： ????????????????rr),()(),()()()(?????????????lmnllmnln l mn l mYrRYrRrr??lmlmlmlmlimmllmmlmddlPePNY)1( c o sc o s)c o s1(!21)( c o s)( c o s)1(),(22/2 ?????????????? ?lmlmlmlml ddlP )1()1(!21)( 22/2 ????? ????或 根據(jù)球諧函數(shù)形式： Y?m 變換由 exp[im?]和 P? m(cos?) 兩部分組成。 2. 因?yàn)? cos ? → cos ( ? θ) = – cosθ 或 ζ → – ζ ， 所以 P ? m (ζ) → P ? m (– ζ) ，波函數(shù)的宇稱將由 P ? m (ζ) 的宇稱決定。 lmlmlmlml ddlP )1()1(!21)( 22/2 ????? ????所以 P? m(cos?) 具有 ( ? + m ) 宇稱，即： P? m(cos?) → P? m(cos（ π ?） ) = P? m(cos?) = (1)? + m P? m(cos?) 綜合以上兩點(diǎn)討論 ),()1(),()1()1(),(),(??????????lmllmmlmlmlmYYYY?????????于是總波函數(shù)在空間反射下作如下變換： )()1()()(rrrn l mln l mn l m ??????????應(yīng)該指出的是， cosθ 是 θ 的偶函數(shù)，但是 cos(π θ) = cos(θ) 卻具有奇宇稱，這再次說明，函數(shù)的奇偶性與波函數(shù)的奇偶宇稱是完全不同的兩個(gè)概念，千萬不要混淆起來。 設(shè)價(jià)電子波函數(shù)為 ： 解： ),()(),()(?????lmlmYrruYrR??? ? 0)( 22222 )1(222 ??????? ? uu rllrreE ??? ??徑向方程為： 在求解方程之前，我們先分析 一下該問題與氫原子的異同點(diǎn)， 從而找出求解的簡捷方法。 令： Δ? = ? ? ’ ? ? ’ = ? Δ? 則 n’ = ? ’ + nr +1 = ? Δ? + nr +1 = n Δ? 作 業(yè) ? 周世勛 《 量子力學(xué)教程 》 ? ? 、 （一）二體問題的處理 （二）氫原子能級(jí)和波函數(shù) （三）類氫離子 （四）原子中的電流和磁矩 返回 167。氫原子是最簡單的原子，其 Schrodinger方程可以嚴(yán)格求解，氫原子理論還是了解復(fù)雜原子及分子結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)。 （ 2） 數(shù)學(xué)處理 Schrodinger 方程： ),(),(? 2121 rrErrH ???? ???二體運(yùn)動(dòng)可化為： VH ?????? 2222211222?????其中?1 x + r1 r2 r R ?2 O y z 將二體問題化為一體問題 令 ??????????相對(duì)坐標(biāo)質(zhì)心坐標(biāo)21212211rrrrrR?????????????????????????????rRrR21222111??????分量式 111 xxxxXXx ?????????????????????????????????????????212121212211212211212211zzzyyyxxxzzZyyYxxX????????????),(),( 21 rRrr ???? ???xX ??????? 211???系統(tǒng) Hamilton 量則改寫為： VrRrRH ????????? ????????????? ??????2222?2122221112??????????)(2)(2 222212rVrR ??????? ??? ??其中 ? = ?1?2 / (?1+?2) 是折合質(zhì)量。 波函數(shù)可以采用分離變量表示為： 只與 R 有關(guān) 只與 r 有關(guān) 第一個(gè)方程描述一個(gè)質(zhì)量為 ? 的粒子在勢(shì)能為 V(r) 的力場中的運(yùn)動(dòng)。 返回 ),()()(,3,2,12 224????lmnln lmnYrRrnneE???????????????????????????222234111142][1nmCRnmeEEEEhHmnmn??????n = 1 的態(tài)是基態(tài)， E1 = (? e4 / 2 ?2 )， 當(dāng) n → ∞ 時(shí)， E∞ = 0，則電離能為： ε = E∞ E1 = E1 = μ e4 / 2 ?2 = eV. 氫原子相對(duì)運(yùn)動(dòng)定態(tài)Schrodinger方程 )()()()(222 rErrVrr???? ???? ????2222)(zyxrrerV????? Z = 1, ? 是折合質(zhì)量即可。上式 就是由實(shí)驗(yàn)總結(jié)出來的巴爾 末公式。 （二）氫原子能級(jí)和波函數(shù) Hα 6563 H H H 4861 4341 4102 巴爾末線系的前 4條譜線 波長埃 ? ?? ?raaraaaraaarerRerrRneRn021000210002/30312/3212112/32120/210)()2()(21?????????將上節(jié)給出的波函數(shù)取 Z=1, μ 用電子 折合質(zhì)量，就得到氫原子的波函數(shù)： ? ?? ?? ?raaraaaraaaaaaerrRrerrRerrrRn0310003100003100021158112/32311381132722/323121274342/33130)()(][)(])(2[)(3??????????（ 2） 波函數(shù)和電子在氫原子中的幾率分布 ?????????dd r drrdrWn lmn lms i n|),(|),(22?2. 徑向幾率分布 例如：對(duì)于基態(tài) 030/224221010 )()( ara errrRrW???0/2040/22030100)(8)22(4)(00areraareraradrrdWarar??????????????? ? d r drYrRddrrW lmnln l m s i n|),()(|)( 2220 0? ??drrrR nl 22 )(??????? ? dYddrrrR lmnl s i n|),(|)( 220 022 ? ??對(duì)空間立體角積 分后得到在半徑 r ? r+dr 球殼內(nèi)找到電子 的幾率 求最可幾半徑極值 Rn l (r) 的節(jié)點(diǎn)數(shù) n r = n – ? – 1 [1， 0] [2， 0] [3， 0] Wn l (r) ~ r 的函數(shù)關(guān)系 S波 Wn l (r) ~ r 的函數(shù)關(guān)系 p波 Rn l (r) 的節(jié)點(diǎn)數(shù) n r = n – ? – 1 [2， 1] [3， 1] 3. 幾率密度隨角度變化 ????????? dddrrrdrW n l mn l m s i n|),(|),( 22?對(duì) r ( 0?∞) 積分 drrrRdYdW nllmlm 202 )(||),(|),( ? ???? ????)1(|),(| 2 ?? dY lm ???? dPN mllm 22 |)( c o s| ?電子在 (θ ,?) 附近立體角 d? = sin? d? d? 內(nèi)的幾率 右圖示出了各種 ?,m態(tài)下， W?m(?) 關(guān)于 ? 的函數(shù)關(guān)系，由于它與 ?角無關(guān)，所以圖形都是繞 z軸旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的立體圖形。 x y z 例 2. ?=1, m=177。 1(θ) = (3/8π)sin 2 ? 。 在 ? = 0 沿極軸方向 （ z向 ） W1,177。 例 3. ? = 1, m = 0 時(shí)， W1,0(?) = {3/4π} cos 2?。 z ? z y x ? x y Z m = 2 m = +2 m = +1 m = 1 m = 0 ? = 2 返回 （三）類氫離子 以上結(jié)果對(duì)于類氫離子（ He+, Li++, Be+++ 等）也都適用， 只要把核電荷 +e 換成 Ze， μ 換成相應(yīng)的折合質(zhì)量