【正文】 納： 完全平方公式的常用形式： (l)a2 +b2 = (a+b) 2 2ab= (ab)2 +2ab。 (6) (ab) 2 = (a+b)2 4ab。 (2)(x+3y) 2。 (4)(2x+3)(2x3). 解析：此題可利用完全平方公式計(jì)算 .(1)題是兩數(shù)和 的平方，應(yīng)選用“和”的完全平方公式，其中 a相當(dāng) 于公式中的 a,3b相當(dāng)于公式中的 b； (2)題 (x+3y)2=(3y x) 2= (x3y) 2 ，應(yīng)選用“差”的完全平方公式； (3)題 (mn) 2=［ (m+n)］ 2=(m+n) 2,應(yīng)選擇“和”的完全平 方公式計(jì)算； (4)題中的 2x3=(2x+3)，原式可變形為 (2x+3) 2，選擇“和”的完全平方公式計(jì)算 . 解： (1)(a+3b) 2=a 2+2a3y (2)(5x2y) 2+20xy。 (4)(y+3) 2(3y) 2. 9a2+24ab+16b2 25x2+4y2 16m48m2n2+n4 12y 隨堂檢測(cè) m+n=7， mn=12，則 m2﹣ mn+n2的值是（ ） A． 11 B． 13 C． 37 D． 61 2.（ 2022北京一模）在多項(xiàng)式 x2+9中添加一個(gè)單項(xiàng)式，使其成為一個(gè)完全平方式，則添加的單項(xiàng)式可以是（ ） A． x B． 3x C． 6x D． 9x （ x+y） 2﹣ 2x﹣ 2y+1=0，則 x+y= ． ：（ a+3） 2﹣ 6a= ． ﹣ 10x+ =（ x﹣ ） 2． 9x2+kx+16是一個(gè)完全平方式，求 k的值． B C 1 a2+9 25 5 解：中間一項(xiàng)為加上或減去 3x和 4積的 2倍， 故 k=177。(2)x 21= . ：① a(x+y)=ax+ay。③10x25x=5x(2x1)。 (2)18xyz12x 2y 2。(3x+2)=9x 24是整式的乘法，反過來， 9x 24=(3x 2)(3x+2)是因式分解，所以因式分解的結(jié)果可以用整 式的乘法進(jìn)行驗(yàn)證 . 【 例 1】 下列從左到右的變形中，哪些是分解因式？ 哪些不是？ （ 1） 24x2y=4x?6xy； （ 2）（ x+5）（ x﹣ 5） =x2﹣ 25； （ 3） x2+2x﹣ 3=（ x+3）（ x﹣ 1）； （ 4） 9x2﹣ 6x+1=3x（ 3x﹣ 2） +1； （ 5） x2+1=x（ x+ ） 解析： 根據(jù)分解因式的定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè) 整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分 解，也叫做分解因式 . 解： （ 1）因式分解是針對(duì)多項(xiàng)式來說的，故（ 1）不 是因式分解； （ 2）右邊不是整式積的形式，不是因式分解； （ 3）是因式分解； （ 4）右邊不是整式積的形式，不是因式分解； （ 5）右邊不是整式積的形式，不是因式分解； 則（ 1）（ 2）（ 4）（ 5）不是因式分解，（ 3）是因 式分解． 課堂精講 （ ） A． x2+x=x（ x+1） B． a（ a﹣ b） =a2﹣ abb C．（ a+3）（ a﹣ 3） =a2﹣ 9 D． a2﹣ 2a+1=a（ a﹣ 2） +1 2.（ 2022潮南區(qū)一模）從左到右的變形，是因式分解的為（ ） A．（ 3﹣ x）（ 3+x） =9﹣ x2 B．（ a﹣ b）（ a2+ab+b2） =a3﹣ b3 C． a2﹣ 4ab+4b2﹣ 1=a（ a﹣ 4b） +（ 2b+1）（ 2b﹣ 1） D． 4x2﹣ 25y2=（ 2x+5y）（ 2x﹣ 5y） A D 課堂精講 知識(shí)點(diǎn) (1)一個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)都含有的公共因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式 各項(xiàng)的公因式 . (2)一般地，如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè) 公因式提到括號(hào)外面，將多項(xiàng)式寫成因式乘積的形式， 這種分解因式的方法叫做提公因式法 . 注意： (1)提公因式分解因式的關(guān)鍵是確定公因式 .確 定一個(gè)多項(xiàng)式的公因式時(shí)，要對(duì)數(shù)字系數(shù)和字母分別 考慮： ①對(duì) 于數(shù)字系數(shù)如果是整數(shù)系數(shù)，取各項(xiàng)系數(shù)的 最大公約數(shù)作為公因式的系數(shù)；②對(duì)于字母，需考慮兩 條：一條是取各項(xiàng)相同的字母；另一條是各相同字母的 指數(shù)取其次數(shù)最低的 . (2)乘法分配律是提公因式法的依據(jù)，提公因式法實(shí)質(zhì) 上是分配律的“逆用”，即 (3)提公因式法分解因式的一般步驟是：第一步找出公 因式；第二步提公因式并確定另一個(gè)因式 .提公因式 時(shí)可用原多項(xiàng)式除的公因式，所得的商即為提公因式 后剩下的另一個(gè)因式 .也可以用公因式分別去除原多 項(xiàng)式的每一項(xiàng)，求得剩下的另一個(gè)因式 .例如：因式 分解 8a 3b 212ab 2c，提公因式 4ab 2時(shí)，用 4ab 2分 別去除原多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，得 (8a 3b 2247。 4ab 2)=2a 23bc,即 8a 3b 212ab3c=4ab2(2a2 3bc). 【 例 2】 運(yùn)用提取公因式法分解因式 . (1)12a 2b 3+6a 2b 218a 3b 2。 (3)5a 2(xy)+10a(yx)。 (5)18(ab) 312b(ba) 2. 解析： (1)系數(shù) 12， 6， 18的最大公約數(shù)為 a,b的最低次冪為 a2b2，公因式為+6a2b2 18a3b2=6a2b2(2b+13a). 注意括號(hào)內(nèi)第二項(xiàng)應(yīng)為 1. (2)當(dāng)?shù)谝豁?xiàng)系數(shù)為負(fù)時(shí)，應(yīng)提出負(fù)號(hào)，括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)都變號(hào)， 公因式為 9mn. 27m2n+9mn218mn =9mn(3mn+2) . (3)∵ yx=(xy), ∴ 公因式為 5a(xy). 5a2(xy)+10a(yx) =5a(xy)(a2). (4)x(xy) 2y(yx)2 =x(xy)2y(xy) 2 =(xy)2(xy) =(xy)3 (5)18(ab)312b(ba)2 =18(ab) 312b(ab)2 =6(ab)2(3a3b2b) =6(ab)2(3a5b) 3. 把下列各式分解因式 . (1)ab+a+b+1。 (3)m(a3)+2(3a)。 (2)(xy)21。 (4)x416. 原式 =(5m+n)(5mn) 原式 =(xy+1)(xy1) 原式 =x(4+5xy)(45xy) 原式 =(x2+4)(x+2)(x2) 隨堂檢測(cè) x2﹣ 16分解因式正確的是（ ） A．（ x﹣ 4） 2 B．（ x﹣ 4）（ x+4） C．（ x+8）（ x﹣ 8） D．（ x﹣ 4） 2+8x （ ） A． a2+（ ﹣ b） 2 B． 5m2﹣ 20mn C． ﹣ x2﹣ y2 D． ﹣ x2+9 a+b=2022， a﹣ b=1，則 a2﹣ b2= ． ： 20222﹣ 20222= ． ﹣ 9= ． B D 2022 4027 （ 2x﹣ 3）（ 2x+3） 公式法（二） 課前預(yù)習(xí) a4﹣ 2a2+1的結(jié)果是（ ） A．（ a2+1） 2 B．（ a2﹣ 1） 2 C． a2（ a2﹣ 2） D．（ a+1） 2（ a﹣ 1） 2 a=9時(shí)，代數(shù)式 a2+2a+1的值為 ． + x+ 是完全平方式 . 4.（ 2022龍巖）因式分解： x2﹣ 4x+4= ． D 100 1（ x﹣ 2） 2 課堂精講 知識(shí)點(diǎn) .用完全平方公式分解因式 （ 1）把整式乘法的完全平方公式 (a177。 2ab+b2 反過來，就得到 即兩個(gè)數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個(gè)數(shù)的積的 2 倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方． 我們把 a2 +2ab+b2和 a2 2ab+b2這樣的式子叫做完全 平方式，利用完全平方公式可以把形如完全平方式的 多項(xiàng)式因式分解， 公式中的 a， b可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式 . （ 2）完全平方公式的特點(diǎn) 等號(hào)左邊是三項(xiàng)式，其中首末兩項(xiàng)分別是兩個(gè)數(shù)（或 兩個(gè)式子）的平方，且這兩項(xiàng)的符號(hào)相同，中間一項(xiàng) 是這兩個(gè)數(shù)（或兩個(gè)式子）的積的 2倍，符號(hào)正負(fù)均 可． 等號(hào)右邊是這兩個(gè)數(shù)（或兩個(gè)式子）的和（或者差） 的平方，當(dāng)中間的乘積項(xiàng)與首末兩項(xiàng)符號(hào)相同時(shí)，是 和的平方；當(dāng)中間的乘積項(xiàng)與首末兩項(xiàng)的符號(hào)相反時(shí)， 是差的平方． 歸納： 如果把乘法公式的等號(hào)兩邊互換位置，就可以得 到用于分解因式的公式，用來把某些具有特殊形式的多 項(xiàng)式分解因式，這種分解因式的方法叫做公式法． 【 例 】 分解因式：（ 1） ﹣ x2+4xy﹣ 4y2 （ 2）（ x﹣ 1）（ x﹣ 3） +1． 解析： （ 1）先添加帶符號(hào)的括號(hào)，再利用完全平方 公式分解因式即可．（ 2）首先利用多項(xiàng)式乘法計(jì)算出 （ x﹣ 1）（ x﹣ 3） =x2﹣ 4x+3，再加上 1后變形成 x2﹣ 4x+4，然后再利用完全平方公式進(jìn)行分解即可． （ 1）解： ﹣ x2+4xy﹣ 4y2， =﹣ （ x2﹣ 4xy+4y2）， =﹣ （ x﹣ 2y） 2． （ 2）解：原式 =x2﹣ 4x+3+1， =x2﹣ 4x+4， =（ x﹣ 2） 2． 課堂精講 1. 把下列各式分解因式 . (1)y24x(yx