數(shù)值分析實驗報告-閱讀頁
2024-08-09 10:49本頁面
【正文】 的譜半徑ρ(J)1時，雅克比迭代法收斂。故有：(L+D+U)x=bDx=(L+U)x+bx=D1(L+U)+D1b 實例用雅可比迭代法解方程組：430351014x1x2x3=243024 計算方法雅可比迭代法程序：function [x,k,index]=Jacobi(A,b,ep,it_max)if nargin4 it_max=100。endn=length(A)。x=zeros(n,1)。index=1。 return。 end if norm(yx,inf)ep break。 x=y。雅克比迭代法的優(yōu)點明顯，計算公式簡單，每迭代一次只需計算一次矩陣和向量的乘法，且計算過程中原始矩陣A始終不變，比較容易并行計算。與逐次超松弛迭代法相比，雅可比迭代法收斂速度相對較慢，逐次超松弛迭代法收斂速度較快。并且離散化后線性方程組的逐次超松弛迭代法的精確性較高，故相對于雅可比迭代法，逐次超松弛迭代法更加廣泛地應(yīng)用于實際，可以用逐次超松弛迭代法求解高階稀疏線性方程組。若步長過大，則精度難于保證；若步長過小，則計算量又不會太大。在實際計算中通常采用變步長的方法，即把步長逐次分半（也就是把步長二等分），直到達到某種精度為止，這種方法就是Romberg積分法的思想。將區(qū)間等分的Simpson；，將區(qū)間等分的Cotes。由其可構(gòu)造一個序列，次序列稱為Romberg序列，并滿足如下遞推關(guān)系：以上遞推公式就是Romberg積分遞推公式?！∮嬎惴椒堌惛窆椒e分程序：function [I,step]=romberg(f,a,b,eps)%%f為被積函數(shù)%%eps為積分結(jié)果精度%I為積分結(jié)果；step為積分的子區(qū)間數(shù)if(nargin==3) eps=。M=1。k=0。h=ba。while toleps k=k+1。 Q=0。 Q=Q+subs(sym(f),findsym(sym(f)),x)。 M=2*M。 end tol=abs(T(k+1,j+1)T(k,j))。step=k。龍貝格公式的余項為：Rm,kf=abf(x)dxTm,k=B2m+22m+1m+2k2m!ba2m+3f2m+2(ε)Romberg積分公式高速有效，易于編程，適合于計算機計算。7 冪法 問題背景工程及物理中的許多實際問題需要計算矩陣的特征值及特征向量，對于給定的n階實矩陣A，當n很小時用傳統(tǒng)的方法是可以的，但當n稍大時，計算工作量將以驚人的速度增大，并且由于計算存在誤差，用方程(λIA)x=0求解十分困難。求這類特征值的方法，通常采用迭代法，其中兩種是冪法和反冪法。 …179。0，所以有：若a1 185。 l1ka1v1 = cv1屬λ1的特征向量另一方面，記max(x)=xi，其中|xi| = ||x||165。 實例用冪法計算矩陣A=310132023絕對值最大的特征值及相應(yīng)的特征向量，取精度要求為ε=104。endif nargin2 ep=1e5。u=ones(n,1)。k=0。while k=it_max v=A*u。 m=v(i)。 if abs(mm1)ep index=1。 end m1=m。end在命令窗口輸入和輸出如下圖所示： 誤差分析冪法程序可以用來計算矩陣絕對值最大的特征值及相應(yīng)的特征向量。采用冪法和反冪法，求矩陣的最大和最小特征值，從原理上看，這兩種方法都是迭代法，因此迭代初始向量的選擇對計算結(jié)果會產(chǎn)生一定影響，主要表現(xiàn)在收斂速度上。8 改進歐拉法 問題背景在工程和科學(xué)技術(shù)的實際問題中，常需求解微分方程，但常微分方程中往往只有少數(shù)較簡單和典型的常微分方程（例如線性常系數(shù)常微分方程等）可求出其解析解,對于變系數(shù)常微分方程的解析求解就比較困難，而一般的非線性常微分方程的求解困難就更不用說了。這種近似解法可分為兩大類：一類是近似解析法，如級數(shù)解法、逐次逼近法等。 數(shù)學(xué)模型 理論基礎(chǔ)如果在計算中，先用Euler公式求得一個初步的近似值yn+1（稱為預(yù)測值），再用梯形公式將它校正一次，就稱為預(yù)測校正公式，即改進的Euler方法，其迭代格式為預(yù)測：校正： 實例求解初值問題dydx=y+x+1y|x=0=1，已知精確解為：y=x + ex，h=。X1=1。h=1/n。x(1)=X0。Y=X+exp(X)。,9)。YY=XX+exp(XX)。 y(i+1)=y(i)+h*(y(i)+x(i)+1)。end y=vpa(y39。*39。因此在求解微分方程的數(shù)值解時，改進的Euler法優(yōu)于Euler法。因此，計算能力允許的范圍內(nèi)，選取步長越小可以得到更加精確的結(jié)果。因此，一旦上一輪迭代所得的結(jié)果有偏差，下一輪結(jié)果的偏差將大于上一輪的偏差。2
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