第37講空間夾角和距離-閱讀頁
2025-07-14 17:31本頁面
【正文】 ；（2）此法在處理二面角問題時，可能會遇到二面角的具體大小問題，如本題中若取時，會算得，從而所求二面角為，但依題意只為。所以在計算之前不妨先依題意判斷一下所求二面角的大小，然后根據(jù)計算取“相等角”或取“補角”。題型4：異面直線間的距離例7．如圖，已知正方體ＡＢＣＤ－棱長為，求異面直線ＢＤ與Ｃ的距離．ＭＯＡＢＣＤＦＥ解法一：連結(jié)ＡＣ交ＢＤ的中點Ｏ，取的中點Ｍ，連結(jié)ＢＭ交于Ｅ，連，則，過Ｅ作ＥＦ／／ＯＭ交ＯＢ于Ｆ，則。同理，為ＢＤ與的公垂線，由于Ｍ為的中點，∽。由，即，得．解法三．（轉(zhuǎn)化為面面距）易證平面／／平面，用等體積法易得Ａ到平面的距離為。解法五。設(shè)BE=，CE=ME=，EN=，MN====。ABCDOS圖2例8．如圖2，正四棱錐的高，底邊長。異面直線和之間的距離為：。解法一：連結(jié)ＢＦ，ＢＧ，又Ｅ，Ｆ分別是ＡＢ，ＡＤ的中點， 。由解法一知：，由∽得 。例10．（1）（06安徽）多面體上，位于同一條棱兩端的頂點稱為相鄰的，如圖，正方體的一個頂點A在平面內(nèi)，其余頂點在的同側(cè)，正方體上與頂點A相鄰的三個頂點到的距離分別為1，2和4，P是正方體的其余四個頂點中的一個，則P到平面的距離可能是：______（寫出所有正確結(jié)論的編號） ①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7（2）平行四邊形的一個頂點A在平面內(nèi)，其余頂點在的同側(cè)，已知其中有兩個頂點到的距離分別為1和2 ，那么剩下的一個頂點到平面的距離可能是：①1； ②2； ③3； ④4； 以上結(jié)論正確的為______________。（2）如圖，B、D到平面的距離為2，則D、B的中點到平面的距離為，所以C到平面的距離為3；B、C到平面的距離為2，D到平面的距離為，則，即，所以D到平面的距離為1；C、D到平面的距離為2，同理可得B到平面的距離為1；所以選①③。（1）求點到直線AC的距離。解析：（1）連結(jié)BD，由三垂線定理可得：，所以就是點到直線AC的距離。（2）因為AC與平面BD交于ＡＣ的中點Ｄ，設(shè)，則//DE，所以//平面，所以到平面BD的距離等于Ａ點到平面BD的距離，等于Ｃ點到平面BD的距離，也就等于三棱錐的高。思維點拔：求空間距離多用轉(zhuǎn)化的思想。 求與平面間的距離？分析：設(shè)、的單位向量分別為、選取{，}作為空間向量的一組基底。特別注意:空間各種角的計算都要轉(zhuǎn)化為同一平面上來，這里要特別注意平面角的探求；2．把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，從解決平面問題而使空間問題得以解決。3．求空間中線面的夾角或距離需注意以下幾點：①注意根據(jù)定義找出或作出所求的成角或距離，一般情況下，力求明確所求角或距離的位置；②作線面角的方法除平移外，補形也是常用的方法之一；求線面角的關(guān)鍵是尋找兩“足”（斜足與垂足），而垂足的尋找通常用到面面垂直的性質(zhì)定理；③求二面角高考中每年必考，：根據(jù)定義或圖形特征作；根據(jù)三垂線定理（或其逆定理）作，難點在于找到面的垂線。作二面角的平面角應(yīng)把握先找后作的原則。④求點到平面的距離常用方法是直接法與間接法，利用直接法求距離需找到點在面內(nèi)的射影，此時?？紤]面面垂直的性質(zhì)定理與幾何圖形的特殊性質(zhì)。4．注意數(shù)學中的轉(zhuǎn)化思想的運用（1）常用等角定理或平行移動直線及平面的方法轉(zhuǎn)化所求角的位置；（2）常用平行線間、平行線面間或平行平面間距離相等為依據(jù)轉(zhuǎn)化所求距離的位置；（3）常用割補法或等積（等面積或等體積）變換解決有關(guān)距離及體積問
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