三角函數(shù)恒等變換含答案及高考題-閱讀頁
2025-07-09 20:23本頁面
【正文】 。常用的角變換關系還有： ，等.2 “名變換”技巧名變換是為了減少函數(shù)名稱或統(tǒng)一函數(shù)而實施的變換，需要進行名變換的問題常常有明顯的特征，如已知條件中弦、切交互呈現(xiàn)時，最常見的做法是“切弦互化”，但實際上，誘導公式、倍角公式和萬能置換公式，平方關系也能進行名變換?！竞喗狻? 由得， 所以，.的定義域是，值域是.【反思】本題也可以利用萬能置換公式先進行“弦化切”，變形后再進行“切化弦”求解.例4 已知都是銳角，且，求的值?！竞喗狻浚?）（角化邊）由正弦定理得， ，整理得，所以，因為，所以.（2）法一：（邊化角）由已知和正弦定理得， 即，從而， 又，所以.所以，是等腰三角形.法二：由（1）知，代入得，所以，所以，是等腰三角形.【反思】第（1）小題“化角為邊”后，把已知條件轉化為邊的二次齊次式，符合余弦定理的結構，第（2）小題的法一之所以“化邊為角”，是因為不易把條件化為邊的關系，而把條件轉化為邊的關系卻很容易；法二的基本思路是消元后統(tǒng)一角，再利用“化一公式”簡化方程.5 “升降冪變換”技巧當所給條件出現(xiàn)根式時，常用升冪公式去根號，當所給條件出現(xiàn)正、余弦的平方時，常用“降冪”技巧，常見的公式有：，可以看出，從左至右是“冪升角變半”，而從右至左則是“冪降角變倍”.例7 化簡：【分析】含有根號，需“升冪”去根號.【簡解】原式= =因為，所以，所以，原式.例8 求函數(shù)，的最大值與最小值．【分析】函數(shù)式中第一項是正弦的平方，若“降冪”后“角變倍”，與第二項的角一致..【簡解】． 又，即，．【反思】以上兩例表明，“升降冪技巧”僅僅是解題過程中的一個關鍵步驟，只有有效地整合各種技巧與方法才能順利地解題?！痉治觥康冢?）小題中，除是特殊角外，其他角成倍角，于是考慮使用倍角公式；第（2）小題中兩角差為，而是兩角差的正切值，所以與兩角差的正切公式有關。（2）原式＝＝?！痉治觥孔筮呁検莾山钦械姆e，且兩角差為定值，而在正切的和、差角公式中出現(xiàn)了兩角正切的積，可嘗試.【簡證】因為， 所以，左邊==【反思】這里通過“角變換”和公式變形得出裂項公式，然后累加消項，這也是數(shù)列求和的一種常見技巧.7 “輔助角變換”技巧通常把叫做輔助角公式（也叫化一公式），其作用是把同角的正弦、余弦的代數(shù)和化為的形式，來研究其圖象與性質. 尤其是當，時，要熟記其變換式，如，等.例11 求函數(shù)的值域.【分析】初看此題，似無從下手，若把分式變成整式，就出現(xiàn)了，然后利用三角函數(shù)的有界性建立關于y的不等式.【簡解】由得，所以，從而，其中輔助角由，決定. 所以，由解得.【反思】（1）解答本題的方法很多，比較多用的方法是類比斜率計算公式，把問題轉化為直線斜率問題，也有用萬能置換后，轉化為分式函數(shù)求解的.（2）輔助角公式的形成，也可以看成是“常數(shù)變換”的結果. 事實上，=，可設，再進行“切化弦”變換，就得到了“化一公式”..8 “換元變換”技巧有些函數(shù)，式子里同時出現(xiàn)（或）與，這時，可設（或），則（或），把三角函數(shù)轉化為熟悉的函數(shù)來求解.例12 求函數(shù)的值域．【分析】同時出現(xiàn)與時，可用.【簡解】設，因為，所以，又由得， 所以， 由得，.【反思】（1）本題若不換元，則需要用到“添、湊、配”技巧，而怎樣進行“添、湊、配”，則是因題而異，無明顯特征.；（2）引進“新元”后，一定要說明“新元”的取值范圍；（3）平方關系的變式應用廣泛，如在解答命題“已知，是方程的兩根，求的值．”時，關鍵步驟是在運用韋達定理后，利用變式消元后求解?！痉治觥克C等式中每個分式與兩角差的正切相似，而所證等式與三角形中的結論相似，從而嘗試換元，利用三角知識證
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