九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第二章二次函數(shù)25二次函數(shù)與一元二次方程第1課時(shí)二次函數(shù)與一元二次方程教學(xué)-閱讀頁(yè)
2025-07-01 13:59本頁(yè)面
【正文】 根 b24ac 有兩個(gè)交點(diǎn) 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，為交點(diǎn)的橫坐標(biāo) b24ac 0 有一個(gè)交點(diǎn) 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，為交點(diǎn)的橫坐標(biāo) b24ac = 0 沒有交點(diǎn) 沒有實(shí)數(shù)根 b24ac 0 二次函數(shù) y=ax2+bx+c的圖象與 x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)與一元二次方程 ax2+bx+c=0根的關(guān)系 例 1 已知關(guān)于 x的二次函數(shù) y＝ mx2－ (m＋ 2)x＋ 2(m≠0)． (1)求證：此拋物線與 x軸總有交點(diǎn)； (2)若此拋物線與 x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)，且它們的橫坐標(biāo)都是整數(shù)，求正整數(shù) m的值． (1)證明： ∵ m≠0， ∴ Δ＝ (m＋ 2)2－ 4m 2＝ m2＋ 4m＋ 4－ 8m＝ (m－ 2)2. ∵ (m－ 2)2≥0， ∴ Δ≥0， ∴ 此拋物線與 x軸總有交點(diǎn)； 典例精析 (2)解：令 y＝ 0，則 (x－ 1)(mx－ 2)＝ 0， 所以 x－ 1＝ 0或 mx－ 2＝ 0， 解得 x1＝ 1， x2＝ . 當(dāng) m為正整數(shù) 1時(shí)， x2為整數(shù)且 x1≠x2，即拋物線與 x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)，且它們的橫坐標(biāo)都是整數(shù)． 所以正整數(shù) m的值為 1. 例 1 已知關(guān)于 x的二次函數(shù) y＝ mx2－ (m＋ 2)x＋ 2(m≠0)． (1)求證：此拋物線與 x軸總有交點(diǎn)； (2)若此拋物線與 x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)，且它們的橫坐標(biāo)都是整數(shù)，求正整數(shù) m的值． 2m變式： 已知：拋物線 y＝ x2＋ ax＋ a－ 2. (1)求證：不論 a取何值時(shí)，拋物線 y＝ x2＋ ax＋ a－ 2與 x軸都有兩個(gè)不同的交點(diǎn)； (2)設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的圖象與 x軸相交于 A(x1， 0)，B(x2， 0)，且 x x2的平方和為 3，求 a的值． (1)證明： ∵ Δ＝ a2－ 4(a－ 2)＝ (a－ 2)2＋ 4＞ 0， ∴ 不論 a取何值時(shí)，拋物線 y＝ x2＋ ax＋ a－ 2與 x軸都有兩個(gè)不同的交點(diǎn)； (2)解： ∵ x1＋ x2＝－ a， x1x2＝ a2－ 2a＋ 4＝ 3， ∴ a＝ 1. 運(yùn)動(dòng)中的拋物線問題 二 例 2 如圖，以 40m/s的速度將小球沿與地面成 3017
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