高考圓錐曲線典型例題-閱讀頁(yè)
2025-05-02 13:13本頁(yè)面
【正文】 .，即聯(lián)立方程組?????,0),(yxfCBA 通過消去 y(也可以消去 x)得到 x 的方程 ax2＋ bx＋ c＝0 a＝0 和 a≠0 兩種情況，對(duì)雙曲線和拋物線而言，一個(gè)公共點(diǎn)的情況除 a≠0， Δ ＝0 外，直線與雙曲線的漸近線平行或直線與拋物線的對(duì)稱軸平行時(shí)，都只有一個(gè)交點(diǎn)(此時(shí)直線與雙曲線、拋物線屬相交情況).由此可見，直線與圓錐曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，并不是直線與圓錐曲線相切的充要條件.，也可以用點(diǎn)差法；使用點(diǎn)差法時(shí)，要特別注意驗(yàn)證“相交 圓錐曲線綜合問題典例精析題型一 求軌跡方程【例 1】已知拋物線的方程為 x2＝2 y， F 是拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn) F 的直線 l 與拋物線交于 A、 B 兩點(diǎn)，分別過點(diǎn) A、 B 作拋物線的兩條切線 l1和 l2，記 l1和 l2交于點(diǎn) M.(1)求證： l1⊥ l2；(2)求點(diǎn) M 的軌跡方程. 【解析】(1)所以 l1⊥ l2.(2)M 的軌跡方程是 y＝－ .12【點(diǎn)撥】直接法是求軌跡方程最重要的方法之一，“求軌跡方程”和“求軌跡”是兩個(gè)不同概念， “求軌跡”除了首先要求我們求出方程，還要說明方程軌跡的形狀，這就需要我們對(duì)各種基本曲線方程和它的形態(tài)的對(duì)應(yīng)關(guān)系了如指掌.【變式訓(xùn)練 1】已知△ ABC 的頂點(diǎn)為 A(－5,0)， B(5,0)，△ ABC 的內(nèi)切圓圓心在直線 x＝3 上，則頂點(diǎn) C 的軌跡方程是( )A. － ＝1 B. － ＝1x29 y216 x216 y29C. － ＝1( x＞3) D. － ＝1( x＞4)x29 y216 x216 y29【解析】 ，方程為 － ＝1( x＞3)，故選 C.x29 y216題型二 圓錐曲線的有關(guān)最值【例 2】已.. . . ..學(xué)習(xí)參考知菱形 ABCD 的頂點(diǎn) A、 C 在橢圓 x2＋3 y2＝4 上，對(duì)角線 BD 所在直線的斜率為 ∠ ABC＝60176。所以| AB|＝| BC|＝| CA|.所以菱形 ABCD 的面積 S＝ |AC|2.32又| AC|2＝( x1－ x2)2＋( y1－ y2)2＝ ，所以 S＝ (－3 n2＋16) (－ ＜ n＜ ).－ 3n2＋ 162 34 4 33 4 33所以當(dāng) n＝0 時(shí)，菱形 ABCD 的面積取得最大值 4 .3【點(diǎn)撥】建立“目標(biāo)函數(shù)” ，借助代數(shù)方法求最值，生沒有利用判別式求出 n 的取值范圍，雖然也能得出答案，但是得分損失不少.【變式訓(xùn)練 2】已知拋物線 y＝ x2－1 上有一定點(diǎn) B(－1,0)和兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) P、 Q，若 BP⊥ PQ，則點(diǎn) Q 橫坐標(biāo)的取值范圍是 .【解析】如圖， B(－1,0)，設(shè) P(xP， x －1)， Q(xQ， x －1)，2P 2Q由 kBP ＝－1.x2P－ 1xP＋ 1 x2Q－ x2PxQ－ xP所以 xQ＝－ xP－ ＝－( xP－1)－ －1.1xP－ 1 1xP－ 1因?yàn)閨 xP－1＋ |≥2，所以 xQ≥1 或 xQ≤－3.1xP－ 1題型三 求參數(shù)的取值范圍及最值的綜合題【例 3】(2022 浙江)已知 m＞1，直線 l： x－ my－ ＝0，橢圓m22C： ＋ y2＝1， F1， F2分別為橢圓 C 的左、右焦點(diǎn).x2m2(1)當(dāng)直線 l 過右焦點(diǎn) F2時(shí)，求直線 l 的方程；(2)設(shè)直線 l 與橢圓 C 交于 A， B 兩點(diǎn)，△ AF1F2，△ BF1F2的重心分別為 G， O 在以線段 GH 為直徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍.【解析】(1)故直線 l 的方程為 x－ y－1＝.. . . ..學(xué)習(xí)參考(2)A(x1， y1)， B(x2， y2)，由 ??????,2ymx消去 x 得 2y2＋ my＋ －1＝0，m24則由 Δ ＝ m2－8( －1)＝－ m2＋8＞0 知 m2＜8，m24且有 y1＋ y2＝－ ， y1y2＝ － .m2 m28 12由于 F1(－ c,0)， F2(c,0)，故 O 為 F1F2的中點(diǎn)，由 AG＝2 ， BH＝2 ，得 G( ， )， H( ， )，x13 y13 x23 y23|GH|2＝ ＋ .(x1－ x2)29 (y1－ y2)29設(shè) M 是 GH 的中點(diǎn)，則 M( ， )，x1＋ x26 y1＋ y26由題意可知，2| MO|＜| GH|，即 4[( )2＋( )2]＜ ＋ ，x1＋ x26 y1＋ y26 (x1－ x2)29 (y1－ y2)29即 x1x2＋ y1y2＜0.而 x1x2＋ y1y2＝( my1＋ )(my2＋ )＋ y1y2＝( m2＋1)( － ).m22 m22 m28 12所以 － ＜0，即 m2＜4.m28 12又因?yàn)?m＞1 且 Δ ＞0，所以 1＜ m＜2.所以 m 的取值范圍是(1,2).【點(diǎn)撥】本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.【變式訓(xùn)練 3】若雙曲線 x2－ ay2＝1 的右支上存在三點(diǎn) A、 B、 C 使△ ABC 為正三角形，其中一個(gè)頂點(diǎn)A 與雙曲線右頂點(diǎn)重合，則 a 的取值范圍為 .【解析】即 a 的取值范圍為(3，＋∞). 總結(jié)提高 合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，用“坐 標(biāo)法”將其、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，還充分考查了各種數(shù)學(xué)思想方法及一定的推理能力和運(yùn)算能力，因此這類問題成為高考命題的熱點(diǎn)，也是同學(xué)們、定義法、代入法、參數(shù)法、待定系數(shù)法.，是從動(dòng)態(tài)角度去研究解析幾何中的數(shù)學(xué)問題的主要內(nèi)容，其解法是設(shè)變量、建立目標(biāo)函數(shù)、自變量的取值范圍由直線和圓錐曲線的位置關(guān)系(即判別式.. . . ..學(xué)習(xí)參考與 0 的關(guān)系)確定.，主要是根據(jù)條件，建立含有參變量的函數(shù)關(guān)系式或不等式，然后確定參數(shù)的取，運(yùn)用求函數(shù)的值域、最值以及二次方程實(shí)根的分布等知識(shí) 1. 若不給自己設(shè)限，則人生中就沒有限制你發(fā)揮的藩籬。在紛雜的塵世里，為自己留下一片純靜的心靈空間，不管是潮起潮落，也不管是陰晴圓缺，你都可以免去浮躁，義無反顧，勇往直前，輕松自如地走好人生路上的每一步 3. 花一些時(shí)間，總會(huì)看清一些事。有時(shí)候覺得自己像個(gè)神經(jīng)病。努力過后，才知道許多事情，堅(jiān)持堅(jiān)持，就過來了。歲月是有情的，假如你奉獻(xiàn)給她的是一些色彩，它奉獻(xiàn)給你的也是一些色彩。只有你自己才能把歲月描畫成一幅難以忘懷的人生畫卷
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