海文鉆石卡講義(高數(shù))-閱讀頁
2025-05-02 05:26本頁面
【正文】 為積分: 一般采取換元法或者分部積分法證明.b) 等式或不等式兩邊不含中值點: 往往采取構(gòu)造輔助函數(shù)方法證明.c) 上面兩個方法不行時(如含有中值點、絕對值等): 一般采取積分中值定理、微分中值定理證明(Lagrange和Taylor).例22 設(shè)f（x）在[a，b]有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，證明：例23 設(shè)在有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，.證明：例24當(dāng)時，證明（為自然數(shù)）的最大值不超過.例25 且單調(diào)遞增，證明.四 微分方程、差分方程1 一階微分方程的求解a) 可分離: ， 則.b) 齊次： ，令 則.c) 一階線性方程1）解的結(jié)構(gòu)：為齊次線性方程的特解，則線性組合齊次線性通解. 若非齊次的特解，則是此非齊次線性方程的通解。例2 例3 已知函數(shù)在任意點x處的增量，且當(dāng)時，是比較高階的無窮小，則（ ）（A）2． （B）． （C）． （D）．2 二階線性微分方程a) 解的結(jié)構(gòu).1) ，為齊次線性方程的兩特解，,與線性無關(guān)時，則方程的通解為。2）疊加原理：若y1是方程的一個解，y2是方程的一個解，則y1 + y2就是方程的一個解．b) 常系數(shù)微分方程1）齊次線性微分方程特征根線性無關(guān)二解實根實根復(fù)根2）非齊次線性微分方程：r與，的關(guān)系特解y*的形式r≠，r≠r=，r≠r=，r=不是特征根是特征根例4 是二階常線性微分方程的三個解，求此微分方程.例5 求微分方程的通解.3 積分方程和函數(shù)方程統(tǒng)統(tǒng)轉(zhuǎn)化為微分方程, 若可導(dǎo)直接求導(dǎo)，未已知可導(dǎo)用導(dǎo)數(shù)定義.例6 設(shè)函數(shù)連續(xù)，求解方程：．例7 設(shè)，其中，在內(nèi)滿足以下條件，且，（1） 求所滿足的一階微分方程 （2）求出的表達(dá)式例8 設(shè), 且，求.五 無窮級數(shù) (數(shù)學(xué)一、三)1 常數(shù)項級數(shù)的基本概念a) 稱為數(shù)項級數(shù), 稱為第項或通項.b) , 若（存在），則稱級數(shù)收斂，其和為，記作；若極限不存在，稱級數(shù)發(fā)散.2 收斂的基本性質(zhì)a) 和皆收斂，則收斂。若發(fā)散,則發(fā)散。2）當(dāng)時，若收斂，則收斂。 2）當(dāng)時（包括），則發(fā)散。 2）當(dāng)時（包括），則發(fā)散。含階層的通項往往用比值判別法，含指數(shù)為的通項往往用根植判別法.e) 判斷程序: 必要條件,比較極限(等價代換),比值根值,比較,積分.例1討論級數(shù)的收斂性.例2 討論的收斂性.例3 討論級數(shù)的收斂性.例4 討論 的收斂性.4 交錯級數(shù)及其萊布尼茲判別法a)定義 若，稱為交錯級數(shù)。b) 關(guān)系：若收斂，則一定收斂；反之不然。例7 設(shè)條件收斂,則該級數(shù)正項或負(fù)項構(gòu)成的級數(shù)，即或是否收斂？6 冪級數(shù)a) 定義: 稱為的冪級數(shù).b) (Abel定理) 若冪級數(shù)在點x1≠0處收斂，則當(dāng)時冪級數(shù)絕對收斂；若級數(shù)在點x2處發(fā)散，則當(dāng)時冪級數(shù)發(fā)散．推論：條件收斂點必定為收斂域的端點.c）收斂半徑與收斂域的求法： 例8 求冪級數(shù)的收斂半徑.例9若在點條件收斂，求收斂半徑.7 冪級數(shù)的分析性質(zhì)設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑，為和函數(shù)，則有下列重要性質(zhì)。8 泰勒級數(shù)a）泰勒級數(shù): 級數(shù).當(dāng)，則級數(shù)稱為的麥克勞林級數(shù)。c) 常見的幾個泰勒(麥克勞林)級數(shù)（1） （2） （3）， （4），（5）， （6）， 9 冪級數(shù)收斂的求和a) 將冪級數(shù)變換為幾個常見冪級數(shù)的和或差等.例10 .b) 逐項積分或微分.1) 求出級數(shù)的收斂域。3) 若端點收斂，確定端點的值， 。例12 求10 將函數(shù)在指定點展開為冪級數(shù)a) 直接方法. 求出泰勒級數(shù)和收斂域，驗證。例13 求在的展開。例14 求在
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