【正文】 點(diǎn).證 存在性，設(shè) )]([* * xf， )]([)(* * xff??，即 )(* xf是 f?的不動(dòng)點(diǎn)，由唯一性 ，即存在 的不動(dòng)點(diǎn) * .唯一性： 設(shè) )(xf?， )()(xff，說明 x是 f?的不動(dòng)點(diǎn)，由唯一性， = * . 從映射的觀點(diǎn)看函數(shù).設(shè)函數(shù) .滿足：對(duì)于值域 中的每一個(gè)值 ，(),yfxD?()fDyＤ中有且只有一個(gè)值 ，使得 ，則按此對(duì)應(yīng)法則得到一()fxy?個(gè)定義在 ()fD上的 0 y=f(x) y=f 1 (x) 0 y=f(x) .. . . ..學(xué)習(xí)參考函數(shù)，稱這個(gè)函數(shù)為 的反函數(shù)，記作f或 .1:(),(|)fDyx??1(),()yfD???３、注釋a) 并不是任何函數(shù)都有反函數(shù)，從映射的觀點(diǎn)看，函數(shù) 有f反函數(shù)，意味著 是Ｄ與 之間的一個(gè)一一映射，稱 為映f()fD1?射 的逆映射，它把 ；f ?b) 函數(shù) 與 互為反函數(shù)，并有: f1? 1(),fxD???1(),().fxyfD???c) 在反函數(shù)的表示 中，是以 為自變量， 為1(),()xfyfD???yx 做為自變量的記號(hào)， 作為因變量的記號(hào)，則函數(shù) 的反函數(shù) 可以改寫為f1f?1(),().yfxfD???應(yīng)該注意，盡管這樣做了，但它們的表示同一個(gè)函數(shù)，因?yàn)槠涠x域和對(duì)應(yīng)法則相同，形在同一坐標(biāo)系中畫出時(shí)有所差別.六 、初等函數(shù)（６類）常量函數(shù)　　 （Ｃ為常數(shù)） ；yC?冪函數(shù)　　 ；()xR??指數(shù)函數(shù) ；0,1ya??對(duì)數(shù)函數(shù)　　 ；log(,)ax?三角函數(shù)　　 ；sin,cs,cyytgxt?.. . . ..學(xué)習(xí)參考反三角函數(shù)　　 .arcsin,arcos,yxyxyrctgarctx??注：冪函數(shù) 和指數(shù)函數(shù) 都涉及乘冪，()xR??(01)??于確界來定義無理指數(shù)冪，便它與有理指數(shù)冪一起構(gòu)成實(shí)指數(shù)乘冪，并保持有理批數(shù)冪的基本性質(zhì).定義２．給定實(shí)數(shù) ，設(shè) 為無理數(shù)，我們規(guī)定：0,1a??x??sup|,1|0rxx a????????r為 有 理 數(shù) 當(dāng) 時(shí)inf為 有 理 數(shù) 當(dāng) 時(shí) .這樣解決了中學(xué)數(shù)學(xué)僅對(duì)有理數(shù) ｘ 定義 xa的缺陷．[問題]：這樣的定義有意義否？更明確一點(diǎn)相應(yīng)的“確界是否存在呢？”２．初等函數(shù)定義３．由基本初等函數(shù)經(jīng)過在有限次四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算所得到的函數(shù)，統(tǒng)稱為初等函數(shù)如：sin2 211sinco,sin(),lg,|.xaeyxyoyx??????不是初等函數(shù)的函數(shù)， Dirichlet函數(shù)、Riemann函數(shù)、取整函數(shù)等都是非初等函數(shù).注：，除對(duì)基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)應(yīng)熟練掌握外，定定義域時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn).例２．求下列函數(shù)的定義域... . . ..學(xué)習(xí)參考（１）　 ； （２）　1xy??ln|si|.yx?: 設(shè)函數(shù) 和 都是初等函數(shù), 則)(fg（1） 是初等函數(shù), 因?yàn)?)(xf ??.)( 2xf?（2） 和 都是初等函數(shù),??)(,maxgf???? ,min)(?因?yàn)? , )(x??)(21xgfxgf??? .)(,inxf?)(（3）冪指函數(shù) 是初等函數(shù),因?yàn)???0)( )(?fg ?.)(ln)(ln)( xfgxfxeefg?［作業(yè)］ ： 　 3；4:（２） 、 （３） ；　5: （２） ；　7:（３） ；1115P167。4 具有某些特性的函數(shù)教學(xué)目的：熟悉與初等函數(shù)性態(tài)有關(guān)的一些常見術(shù)語.教學(xué)目的：深刻理解有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)的定義；理解奇偶函數(shù)、周期函數(shù)的定義；會(huì)求一些簡(jiǎn)單周期函數(shù)的周期.教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)的有界性、單調(diào)性.教學(xué)難點(diǎn)：周期函數(shù)周期的計(jì)算、驗(yàn)證.教學(xué)方法：有界函數(shù)講授，其余的列出自學(xué)題綱，供學(xué)生自學(xué)完成.教學(xué)程序：引 言在本節(jié)中，我們將介紹以后常用的幾類具有某些特性的函數(shù)，如有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、有些概念在中學(xué)里已經(jīng)敘述過，因此，“有界集”的定義類似，先談?wù)動(dòng)猩辖绾瘮?shù)和有下界函數(shù).一、有界函數(shù).. . . ..學(xué)習(xí)參考有上界函數(shù)、有下界函數(shù)的定義定義 1設(shè) 為定義在 D上的函數(shù)，若存在數(shù) ，使得對(duì)每一f ()ML個(gè) 有 ，則稱 為 D上的有上（下）界函數(shù)，xD?()()xML??f稱為 在 D上的一個(gè)上（下）界.()Lf注：（1） 在 D上有上（下）界，意味著值域 是一個(gè)有上()fD（下）界的數(shù)集；（2）又若 為 在 D上的一個(gè)上（下） 界，則任何大()Lf于Ｍ（小于Ｌ）的數(shù)也是 在 D上的上（下），函數(shù)的上（下）界若存在，則不是唯一的，例如： ，1 是其一個(gè)上界，sinyx?下界為－1，則易見任何小于－1 的數(shù)都可作為其下界；任何大于 1的數(shù)都可作為其上界；（3）任給一個(gè)函數(shù)，不一定有上（下）界；（4）由（1）及“有界集”定義，可類比給出“有界函數(shù)”定義：在 D上有界 是一個(gè)有界集 在 D上既有上界又有下f?()f f界 在 D上的有上界函數(shù)，也為 D上的有下界函數(shù).有界函數(shù)定義定義 2設(shè) 為定義在 ，使得對(duì)每一個(gè)f有 ，則稱 為 ?|()|xM?f注：（1）幾何意義： 為 D上的有界函數(shù)，則 的圖象完全落f在 和 之間；y??（2） 在 D上有界 在 D上既有上界又有下界；例子：ff；sin,cosx（3）關(guān)于函數(shù) 在 D上無上界、 例題例 1 證明 有界的充要條件為： ?M,m，使得對(duì) Xx??,:fXR?Mxfm?)(. 證明 如果 有界，按定義 0， x有 ，:f ()fM?即 ,取 m??,M即可.()f?反之如果 ?, 使得 ，令 ，()xXfx?????0a1,??則 ，即 ，使得對(duì) 有 ，即0()fx?0?()fx有界.:XR例 2．證明　 為 ()fx?(,]例 3．設(shè) 為 ：（1）,g；??inf()if()inf()xDxxg?????（2） .supsups()xDf?.. . . ..學(xué)習(xí)參考例 4驗(yàn)證函數(shù) 在 )(??xfR解法一 由 當(dāng) 時(shí),有,623)(322xxx ???0? .56 )(2??f ,30 ? 對(duì) 總有 即 在 內(nèi)有界.?R??x,3)( xf)(xfR解法二 令 關(guān)于 的二次方程 ,25???yx???yxy 24? . ,4 ,2???解法三 令 對(duì)應(yīng) 于是 ????????, ,3?tgx )., (????x ???????????? ttgtgtxf 2222 sec1oin6513535)( .2sin2 )( ,sin625??txft二、單調(diào)函數(shù) 定義 3設(shè) 為定義在 D上的函數(shù)， （1）若f 1212,xDx???，則稱 為 D上的增函數(shù)；若 ，則稱 為 D上12()fxf? ()fff的嚴(yán)格增函數(shù).（2）若 ，則稱 為 D上的減函數(shù)；若12()fxf?，則稱 為 ?例 5．證明： 在 ?,???證明：設(shè) 21x?， ))(212121 xx?如 021x，則 3???如 ?，則 221120,xx?故 321??即得證.例 6．討論函數(shù) 在 上的單調(diào)性.[]yx?R，當(dāng) 時(shí)，有 ，但此函數(shù)在 上的不是嚴(yán)12,xR???12??12x?R格增函數(shù).注：1），.. . . ..學(xué)習(xí)參考可能單調(diào)，；f2）嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)的幾何意義：其圖象無自交點(diǎn)或無平行于：嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)的圖象與任一平行于 軸的x x.總結(jié)得下面的結(jié)論：定理 1．設(shè) 為嚴(yán)格增（減）函數(shù)，則 必有反函數(shù)(),yfxD??f，且 在其定義域 上也是嚴(yán)格增（減）函數(shù) .1f?f?證明：設(shè) 在 上嚴(yán)格增函數(shù) .對(duì) .下f (),()yfDxfy???一面證明這樣的 ，對(duì)于 內(nèi)任一 由于 在 上1?D嚴(yán)格增函數(shù)，當(dāng) 時(shí) ，當(dāng) 時(shí) ，總之 .1x?1()fx1x?fy1fx?即 ，從而(), ,()yfDf???一例 7　討論函數(shù) 在 上反函數(shù)的存在性；如果2y????在 上不存在反函數(shù)，在 的子區(qū)間上存在反函數(shù)2x?,???,否？結(jié)論：函數(shù)的反函數(shù)與討論的自變量的變化范圍有關(guān).例 8 證明： 當(dāng) 時(shí)在Ｒ上嚴(yán)格增，當(dāng) 時(shí)在 上嚴(yán)xya?1?01a?R格遞減.三、奇函數(shù)和偶函數(shù)定義 4. 設(shè) D為對(duì)稱于原點(diǎn)的數(shù)集， 為定義在 對(duì)每一個(gè) 有（1） ，則稱 為 D上的奇函數(shù)；（2）x?()(fxf??，則稱 為 D上的偶函數(shù).()ff??注：（1）從函數(shù)圖形上看，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（中心對(duì)稱） ，偶函數(shù)的圖象關(guān)于 軸對(duì)稱；y（2）奇偶性的前提是定義域?qū)ΨQ，因此 沒有必(),[01]fx??要討論奇偶性.（3）從奇偶性角度對(duì)函數(shù)分類： ；?????奇 函 數(shù) :y=sin偶 函 數(shù) g非 奇 非 偶 函 數(shù) :ix+co既 奇 又 偶 函 數(shù) 0（4）由于奇偶函數(shù)對(duì)稱性的特點(diǎn)，研究奇偶函數(shù)性質(zhì)時(shí)，只須討論原點(diǎn)的左邊或右邊即可四、周期函數(shù)定義設(shè) 為定義在數(shù)集 D上的函數(shù)，若存在 ，使得對(duì)一切f 0??有 ，則稱 為周期函數(shù)， 稱為 ?()(xf???f f幾點(diǎn)說明：（1）若 是 的周期，則 也是 的周期，所以周期若f()nN???f存在， .因此有如下“基本周期”的si,2,4yx??說法，即若在周期函數(shù) 的所有周期中有一個(gè)最小的周期，則稱此f.. . . ..學(xué)習(xí)參考最小周期為 的“基本周期” ，簡(jiǎn)稱“周期”.如 ，周期為 ；f sinyx?2? （2）任給一個(gè)函數(shù)不一定存在周期，既使存在周期也不一定有基本周期，如：1） ，不是周期函數(shù)； 2） （Ｃ為常數(shù)） ，1yx??C任何正數(shù)都是它的周期.第二章數(shù)列極限引 言為了掌握變量的變化規(guī)律，往往需要從它的變化過程來判斷它，它開始是 1，然后為如此，一直無盡地變下去，雖然無盡止，但它的變化1,234n? ?有一個(gè)趨勢(shì)，就說，這個(gè)變量的極限為 0.在高等數(shù)學(xué)中，有很多重要的概念和方法都和極限有關(guān)（如導(dǎo)數(shù)、微分、積分、級(jí)數(shù)等） ，并且在實(shí)際問題中極限也占有重要的地位.例如求圓的面積和圓周長(zhǎng)（已知： ） ，但這兩個(gè)公式從2,Srl??何而來？要知道，獲得這些結(jié)果并不容易！人們最初只知道求多邊形的面，要定義這種從多邊形到圓的過渡就要求人們?cè)谟^念上，在思考方法上來一個(gè)突破.問題的困難何在？多邊形的面積其所以為好求，是因?yàn)樗闹芙缡且恍┲本€段，？周界處處是彎曲的，困難就在這個(gè)“曲”“曲”與“直”這樣一對(duì)矛盾.辯證唯物主義認(rèn)為，在一定條件下，個(gè)圓周是曲的，每一小段圓弧卻可以近似看成是直的；就是說，在很小的一段上可以近似地“以直代曲” ，即以弦代替圓弧.按照這種辯證思想，我們把圓周分成許多的小段，比方說，分成個(gè)等長(zhǎng)的小段，代替圓而先考慮其內(nèi)接正 ，正 邊形周n nn長(zhǎng)為 2sinnlR??顯然，這個(gè) 不會(huì)等于 .然而，從幾何直觀上可以看出，只要正l斷地接近于圓周長(zhǎng). 越大，近似程度越高.但是，不論 多么大，.. . . ..學(xué)習(xí)參考論如何它只是周長(zhǎng)的近似值，.為了從近似值過渡到精確值，我們自然讓 無限地增大，記為n.直觀上很明顯，當(dāng) 時(shí)， ，記成 .——極限思n??n??nllimnl???想.（張晉）早在第 3世紀(jì)就提出來了，稱為“割圓術(shù)”.其方法就是——；其思想在于“極限”.除之以外，象曲邊梯形面積的計(jì)算均源于“極限”，我們有必要對(duì)極限作深入研究.167。)Ua???? na內(nèi)；而在 之外，數(shù)列 中的項(xiàng)至多只有 個(gè)（有限個(gè)）(。)na這有限個(gè)項(xiàng)的最大下標(biāo)為 ，則當(dāng) 時(shí)有 ，即當(dāng)N?(。)Ua???na則稱數(shù)列 收斂于極限 .??n由此可見：1）若存在某個(gè) ，使得數(shù)列 中有無窮多個(gè)項(xiàng)0?n落在 之外，則 一定不以 為極限；2）數(shù)列是否有極限，0(。2　收斂數(shù)列的性質(zhì)教學(xué)內(nèi)容：第二章 數(shù)列極限——167。3　數(shù)列極限存在的條件教學(xué)內(nèi)容：第二章 數(shù)列極限 ——