【正文】 從條件看，已知總量和幾個部分量的比；從問題看，求幾個部分量各是多少。 總份數(shù)＝比的前后項之和【解題思路和方法】例1 一班植樹 二班植樹 三班植樹例2三條邊的長各是多少厘米？解： 3＋4＋5＝12例3如果用按比例分配的方法解，則很容易得到 9＋6＋2＝17 172/17＝2例4人80人一共多少人？對應(yīng)的份數(shù)解： 80247。答：三個車間一共820人。 百分數(shù)問題【含義】百分數(shù)是表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)。分數(shù)常?？梢酝ǚ?、約分，而百分數(shù)則無需；分數(shù)既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分數(shù)只能表示“率”；分數(shù)的分子、分母必須是自然數(shù)，而百分數(shù)的分子可以是小數(shù)；百分數(shù)有一個專門的記號“%”?！緮?shù)量關(guān)系】掌握“百分數(shù)”、“標(biāo)準量”“比較量”三者之間的數(shù)量關(guān)系： 百分數(shù)＝比較量247。 標(biāo)準量＝比較量247?！窘忸}思路和方法】 一般有三種基本類型： （1）求一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾； （2）已知一個數(shù)，求它的百分之幾是多少； （3）已知一個數(shù)的百分之幾是多少，求這個數(shù)。 倉庫里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的與剩下的各占原重量的百分之幾？ 720247。（2）剩下的占（720＋6480）＝90%例2525＝＝20% 1－420247。例3420＝＝25% 525247。答：女職工人數(shù)比男職工多25%。 紅旗化工廠有男職工420人，有女職工525人，男、女職工各占全廠職工總數(shù)的百分之幾？解：（1）男職工占（420＋525）＝＝%（2）女職工占（420＋525）＝＝%例5 百分數(shù)又叫百分率，百分率在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中應(yīng)用很廣泛，常見的百分率有： 增長率＝增長數(shù)247。產(chǎn)品總數(shù)100% 出勤率＝實際出勤人數(shù)247。應(yīng)出勤天數(shù)100%實有總?cè)藬?shù)100% 發(fā)芽率＝發(fā)芽種子數(shù)247。種植總棵數(shù)100% 出粉率＝面粉重量247。油料重量100% 廢品率＝廢品數(shù)量247。總次數(shù)100% 烘干率＝烘干后重量247。參加考試人數(shù)100%19 “牛吃草”問題 “牛吃草”問題是大科學(xué)家牛頓提出的問題，也叫“牛頓問題”。 草總量＝原有草量＋草每天生長量天數(shù) 解這類題的關(guān)鍵是求出草每天的生長量。 一塊草地，10頭牛20天可以把草吃完，15頭牛10天可以把草吃完。求“多少頭牛5天可以把草吃完”，就是說5 天內(nèi)的草總量要5 天吃完的話，得有多少頭牛？（1）求草每天的生長量 11020＝原有草量＋20天內(nèi)生長量 11510＝原有草量＋10天內(nèi)生長量 （20－10）天內(nèi)草的生長量為因此，草每天的生長量為（20－10）＝5原有草量＝10天內(nèi)總草量－10內(nèi)生長量＝11510－510＝1005 天內(nèi)草總量＝原有草量＋5天內(nèi)生長量＝100＋55＝125因為每頭牛每天吃草量為1，所以每頭牛5天吃草量為5。因此5天吃完草需要牛的頭數(shù)5＝25（頭） 一只船有一個漏洞，水以均勻速度進入船內(nèi)，發(fā)現(xiàn)漏洞時已經(jīng)進了一些水。求17人幾小時可以淘完？與上題不同的是，最后一問給出了人數(shù)（相當(dāng)于“牛數(shù)”），求時間。（1）求每小時進水量10小時內(nèi)的總水量＝1510＝原有水量＋10小時進水量1510－1123＝14 14247。（2）求淘水前原有水量（3）求17人幾小時淘完（17－2）＝2（小時）20【含義】已知籠子里雞、兔共有多少只和多少只腳，求雞、兔各有多少只的問題，叫做第一雞兔同籠問題?！緮?shù)量關(guān)系】第一雞兔同籠問題： 兔數(shù)＝（實際腳數(shù)－2雞兔總數(shù)）247。假設(shè)全都是兔，則有（4－2）假設(shè)全都是雞，則有 兔數(shù)＝（2雞兔總數(shù)－雞與兔腳之差）247。假設(shè)全都是兔，則有 雞數(shù)＝（4雞兔總數(shù)＋雞與兔腳之差）247?！窘忸}思路和方法】如果先假設(shè)都是雞，然后以兔換雞；如果先假設(shè)都是兔，然后以雞換兔。通過先假設(shè)，再置換，使問題得到解決。 長毛兔子蘆花雞，雞兔圈在一籠里。請你仔細算一算，多少兔子多少雞？解： 假設(shè)35只全為兔，則（4－2）＝23（只） 兔數(shù)＝35－23＝12（只）也可以先假設(shè)35只全為雞，則（4－2）＝12（只） 雞數(shù)＝35－12＝23（只）例2解：此題實際上是改頭換面的“雞兔同籠”問題。2）千克”與“每只雞有兩個腳”相對應(yīng)，“每畝白菜施肥（3247。假設(shè)16畝全都是菠菜，則有216）247。5－1247。答：白菜地有10畝。例3問作業(yè)本和日記本各買了多少本？假設(shè)45本全都是日記本，則有 作業(yè)本數(shù)＝（69－45）247。 答：作業(yè)本有15本，日記本有30本。例4解：假設(shè)100只全都是雞，則有兔數(shù)＝（2100－80）247。答：有雞80只，有兔20只。例5解：假設(shè)全為大和尚，則共吃饃（3100）個，比實際多吃（3100－100）個，這是因為把小和尚也算成了大和尚，因此我們在保證和尚總數(shù)100不變的情況下，以“小”換“大”，一個小和尚換掉一個大和尚可減少饃（3－1/3）個。（3100－100）247。 共有大和尚答：共有大和尚25人，有小和尚75人。 方陣問題 將若干人或物依一定條件排成正方形（簡稱方陣），根據(jù)已知條件求總?cè)藬?shù)或總物數(shù)，這類問題就叫做方陣問題?！緮?shù)量關(guān)系】四周人數(shù)＝（每邊人數(shù)－1）44＋1（3）若將空心方陣分成四個相等的矩形計算，則： 方陣問題有實心與空心兩種。 在育才小學(xué)的運動會上，進行體操表演的同學(xué)排成方陣，每行22人，參加體操表演的同學(xué)一共有多少人？ 答：參加體操表演的同學(xué)一共有484人。例2解:10－（10－32） ＝84（人） 有一隊學(xué)生，排成一個中空方陣，最外層人數(shù)是52人，最內(nèi)層人數(shù)是28人，這隊學(xué)生共多少人？4＋1＝14（人）4－1＝6（人）答：這隊學(xué)生共160人。例4（2）縱橫增加一層后正方形每邊棋子數(shù)＝（13＋1）247。（3）原有棋子數(shù)＝77－9＝40（只） 有一個三角形樹林，頂點上有1棵樹，以下每排的樹都比前一排多1棵，最下面一排有5棵樹。 1＋2＋3＋4＋5＝15（棵）2＝15（棵）22 這是一種在生產(chǎn)經(jīng)營中經(jīng)常遇到的問題，包括成本、利潤、利潤率和虧損、虧損率等方面的問題。利潤率＝（售價－進貨價）247。虧損率＝（進貨價－售價）247。 簡單的題目可以直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。例1解：設(shè)這種商品的原價為1，則一月份售價為（1＋10%），二月份的售價為（1＋10%）（1－10%），所以二月份售價比原價下降了答：二月份比原價下降了1%。苗苗買了一件衣服用去52元，已知衣服原來按期望盈利30%定價，那么該店是虧本還是盈利？虧（盈）率是多少？因為52元是原價的80%，所以原價為（52247。 52247。（1＋30%）＝50（元） （52－50）247。答：該店是盈利的，盈利率是4%。例3問剩下的作業(yè)本出售時按定價打了多少折扣？從題意可知，（1＋40%），所以關(guān)鍵是求出剩下的每冊的實際售價，為此要知道剩下的每冊盈利多少元。剩下的作業(yè)本每冊盈利［1200（1－80%）］＝（元）［（1＋40%）］＝80% 某種商品，甲店的進貨價比乙店的進貨價便宜10%，甲店按30%的利潤定價，乙店按20%的利潤定價，結(jié)果乙店的定價比甲店的定價貴6元，求乙店的定價。解:設(shè)乙店的進貨價為1，則甲店的進貨價為 （1＋30%）＝ 乙店定價為 由此可得 6247。乙店定價為答：乙店的定價是240元。23【含義】把錢存入銀行是有一定利息的，利息的多少，與本金、利率、存期這三個因素有關(guān)。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分數(shù)；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分數(shù)。【數(shù)量關(guān)系】年（月）利率＝利息247。存款年（月）數(shù)100% 李大強存入銀行1200元，%，到期后連本帶利共取出1488元，求存款期多長。解: 因為存款期內(nèi)的總利息是（1488－1200）元，1200 又因為已知月利率，所以存款月數(shù)為（1488－1200）247。%＝30（月）答：李大強的存款期是30月即兩年半。例2如果甲乙二人同時各存入1萬元，甲先存二年期，到期后連本帶利改存三年期；乙直存五年期。乙的總利息 100009%5＝4500（元）4500－＝（元）24【含義】這類問題研究的主要是溶劑（水或其它液體）、溶質(zhì)、溶液、濃度這幾個量的關(guān)系。溶質(zhì)的量在溶液的量中所占的百分數(shù)叫濃度，也叫百分比濃度。 溶液＝溶劑＋溶質(zhì)溶液100%【解題思路和方法】簡單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式。例1 5016%247。 50（1－16%）247。例2這是因為30%的糖水多用了。這樣，每“換掉”100克，就會減少糖 100（30247。由此可知，需要15%的溶液200克。 600－200＝400（克）例3把甲中鹽水的一半倒入乙中，混合后再把乙中現(xiàn)有鹽水的一半倒入甲中，混合后又把甲中的一部分鹽水倒入乙中，使甲乙兩容器中的鹽水同樣多。下面列表推算：甲容器乙容器原2＝250鹽60247。2＝375鹽30247。 24247。答：%。 構(gòu)圖布數(shù)問題 這是一種數(shù)學(xué)游戲，也是現(xiàn)實生活中常用的數(shù)學(xué)問題。“構(gòu)圖布數(shù)”問題的關(guān)鍵是要符合所給的條件。【數(shù)量關(guān)系】 根據(jù)不同題目的要求而定。【解題思路和方法】按照題意來構(gòu)圖布數(shù)，符合題目所給的條件。例145247。 九棵樹苗子，要栽十行子，每行三棵子，請你想法子。解:符合題目要求的圖形是兩個倒立交叉的等腰三角形， 一個三角形的頂點在另一個三角形底邊的中線上。例3解：符合題目要求的圖形是一個三角形，每邊栽4棵樹，三個頂點上重復(fù)應(yīng)減去，正好9棵。解：共有五種寫法，即 12＝1＋4＋7 12＝2＋3＋712＝2＋4＋6 12＝3＋4＋5據(jù)此，我們可以設(shè)計出以下三種圖形：26【含義】最簡單的幻方是三級幻方。3＝15 五級幻方的幻和＝325247。 把1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個數(shù)填入九個方格中，使每行、每列、每條對角線上三個數(shù)的和相等。解:幻和的3倍正好等于這九個數(shù)的和，所以幻和為 （1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）247。3＝15看來，用到四次的“中心數(shù)”地位重要，宜優(yōu)先考慮。 （1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）＋（4－1）Χ＝154276951438 所以 Χ＝5接著用奇偶分析法尋找其余四個偶數(shù)的位置，它們分別在四個角，再確定其余四個奇數(shù)的位置，它們分別在中行、中列，進一步嘗試，容易得到正確的結(jié)果。例23＝18假設(shè)符合要求的數(shù)都已經(jīng)填好，那么三行、三列、兩條對角線共8行上的三個數(shù)之和都等于18，我們看18能寫成哪三個數(shù)之和：最大數(shù)是9： 18＝9＋7＋2＝9＋6＋3＝9＋5＋4最大數(shù)是7： 18＝7＋6＋59274685103第二橫行、第二豎行、兩個斜行都用到正中間方格的數(shù)，共用了四次。然后確定四個角的數(shù)。但還應(yīng)兼顧兩條對角線上三個數(shù)的和都為18。如圖。 抽屜原則問題 把3只蘋果放進兩個抽屜中，會出現(xiàn)哪些結(jié)果呢？要么把2只蘋果放進一個抽屜，剩下的一個放進另一個抽屜；要么把3只蘋果都放進同一個抽屜中。這就是數(shù)學(xué)中的抽屜原則問題。【數(shù)量關(guān)系】 （1）改造抽屜，指出元素；（2）把元素放入（或取出）抽屜；例1育才小學(xué)有367個1999年出生的學(xué)生，那么其中至少有幾個學(xué)生的生日是同一天的？367個“元素”放進366個“抽屜”中，至少有一個“抽屜”中放有2個或更多的“元素”。 據(jù)說人的頭發(fā)不超過20萬跟，如果陜西省有3645萬人，根據(jù)這些數(shù)據(jù)，你知道陜西省至少有多少人頭發(fā)根數(shù)一樣多嗎？3645247。 根據(jù)抽屜原則的推廣規(guī)律，可知k＋1＝183答：陜西省至少有183人的頭發(fā)根數(shù)一樣多。例3其中紅球10個，白球9個，黃球8個，藍球2個。解:把四種顏色的球的總數(shù)（3＋3＋3＋2）＝1128【含義】需要用公約數(shù)、公倍數(shù)來解答的應(yīng)用題叫做公約數(shù)、公倍數(shù)問題?！緮?shù)量關(guān)系】 先確定題目中要用最大公約數(shù)或者最小公倍數(shù)，再求出答案。 一張硬紙板長60厘米，寬56厘米，現(xiàn)在需要把它剪成若干個大小相同的最大的正方形，不許有剩余。解:硬紙板的長和寬的最大公約數(shù)就是所求的邊長。答：正方形的邊長是4厘米。例2因為問至少要多少時間，所以應(yīng)是348的最小公倍數(shù)。 一個四邊形廣場，邊長分別為60米，72米，96米，84米，現(xiàn)要在四角和四邊植樹，若四邊上每兩棵樹間距相等，至少要植多少棵樹？ （60＋72＋96＋84）247。答：至少要植26棵樹。例4又知棋子總數(shù)在150到200之間，求棋子總數(shù)。解:如果從總數(shù)中取出1個，余下的總數(shù)便是6的公倍數(shù)。 603＋1＝181（個）29【含義】這類應(yīng)用題叫做最值問題。【數(shù)量關(guān)系】 按照題目的要求，求出最大值或最小值。例1解:先將兩塊餅同時放上烤，3分鐘后都熟了一面，這時將第一塊餅取出，放入第三塊餅，翻過第二塊餅。這樣做，用的時間最少，為9分鐘。答：最少需要9分鐘。例2160