柯西不等式習(xí)題-閱讀頁
2025-04-09 04:42本頁面
【正文】 79?！?5 180。 (x + y + z 2)2 222。 |x + y + z 2|222。 x + y + z 2 163。 x + y + z 163。答. 最大值為，最小值為 【詳解】令向量 = (2sinq，cosq， cosq)，= (1，sinf，cosf)由柯西不等式 |．| 163。163?！?3】求證:點P(x0,y0)到直線Ax+By+C=0的距離d=.證明:設(shè)Q(x,y)是直線上任意一點,則Ax+By+C=|PQ|2=(xx0)2+(yy0)2,A2+B2≠0,由柯西不等式得(A2+B2)［(xx0)2+(yy0)2］≥［A(xx0)+B(yy0)］2=［(Ax+By)(Ax0+By0)］2=(Ax0+By0+C)2,所以|PQ|≥.當(dāng)時,取等號,由垂線段最短得d=.【24】已知正數(shù)x,y,z滿足x+y+z=xyz,且不等式≤λ恒成立,求λ的范圍.解析:由二元均值不等式及柯西不等式,得≤故λ的取值范圍是［,+∞).溫馨提示本題主要應(yīng)用了最值法,即不等式≤λ恒成立,等價于()max≤λ,問題轉(zhuǎn)化為求f(x,y,z)=的最大值.【25】設(shè)a,b,c,x,y,z均為正實數(shù),且滿足a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=.解析:根據(jù)已知等式的特點,可考慮用柯西不等式.由柯西不等式等號成立的條件,知=λ,再由等比定理,得=,得302=(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=2536,當(dāng)且僅當(dāng)=λ時,上式等號成立.于是a=λx,b=λy,c=λz,從而有λ2(x2+y2+z2)=25,∴λ=177。2 設(shè)，求證： 證明：由均值不等式得，故 即 .又由柯西不等式知，故又由定理1，得原式左＝原式右7
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