【正文】 表。 占優(yōu)方法： 合作博弈一類解概念 167。 核心和 ε核心 167。 談判解 167。 核仁 202233 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 53 167。 定義 在 人合作博弈 中，設(shè) 是一個 n維向量，滿足下面兩個條件： （ 1） （ ） （ 2） （ ） 則稱 為一個 轉(zhuǎn)歸 （ Imputation），或稱 分配 。 對一個非實質(zhì)性的合作博弈，轉(zhuǎn)歸集只有一個元素。 n [ , ]G N v?( { } ) , 1 , 2 , ,ix v i i n??1()niix v N???12( , , , )nX x x x?x( , )I N v[ , ]G N v?202233 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 55 個體合理性條件 條件（ ）式稱為 個體合理性條件 （ individual rationality）。 202233 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 56 群體合理性條件 條件（ ）式稱為 群體合理性條件 （ group rationality）， 或 帕雷托最優(yōu)性條件 （ Pareto optimility）， 這個條件可以理解為： ? 若 ，則大聯(lián)盟所得未分配完，每一個局中人（或聯(lián)盟）會考慮剩余部分到何處去了，從而不會同意這個分配方案； ? 而當 ，則它是分配總額超過了大聯(lián)盟所得的收入，這是不可行的。如果 （ ） （ ） 則稱轉(zhuǎn)歸 關(guān)于聯(lián)盟 占優(yōu) 轉(zhuǎn)歸 （ dominates with recpect to ） ,或稱轉(zhuǎn)歸 關(guān)于聯(lián)盟 被 y占優(yōu) 。當 y關(guān)于 S占優(yōu) x時，即 S中的成員可以用分配方案 y來反對分配方案 x，那么聯(lián)盟 S就應該有所得 ，使其內(nèi)部成員能得到分配方案 y中應得的份額。 ? 條件（ ） 表明聯(lián)盟 S中的每一個成員來說，轉(zhuǎn)歸 y比 x好， S中的所有成員都將選擇 y而不選擇 x，即 實現(xiàn)占優(yōu)。 ? 如果有 則由定義 （ ） 和 （ ）， 有 ，這與轉(zhuǎn)歸的定義 矛盾。 S {}i N{}iyx( { }) ( { })i i i iv i y y x v i x? ? ?和 ， 即 ：Nyx11( ) , 1 , 2 , , ( )nni i i iiiv N y y x i n v N x??? ? ? ???和 ， 即 ：202233 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 60 轉(zhuǎn)歸之間的占優(yōu)關(guān)系 定義 在合作博弈 中， 若有非空聯(lián)盟 ，使得 ，則稱轉(zhuǎn)歸 占優(yōu)轉(zhuǎn)歸 ，記為： （ ） ? 該定義表明：對一個分配方案 ，若存在另一個分配方案 ，使得 ，則一定存在至少一個聯(lián)盟 “反對”或“阻止”分配方案 。 [ , ]G N v? , ( , )x y I N v?SN?Syx y xyxxy yx SxSx202233 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 61167。 [ , ]G N v? n12( , , ,x x x? ) ( , )nx I N v? SN?() iisv S x?? ?x G()Cv202233 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 63 充分必要條件 定理 設(shè)人合作博弈 是一個 實質(zhì)性博弈 ，且滿足 弱超可加性 ，其核心為 , 則轉(zhuǎn)歸 ， 的 充分必要條件 是 不被 其它 任何轉(zhuǎn)歸 占優(yōu) 。我們要證明，當 時，則 不被優(yōu)超。 [ , ]G N v?()Cv 3Nn?? ()x C v?xy()x C v?x 12( , , ... )ny y y y?xyxSN? ( ) ( ) ( )v S y S x S??()x C v?202233 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 64 充分必要條件 充分性 ：我們要證明若 不被占優(yōu)，則必有： 下面證明其逆否命題。 假設(shè) ，由定義 ，存在某個聯(lián)盟 S，使得 上式中的 S顯然不可能是大聯(lián)盟 N，也不是單人聯(lián)盟 ，我們現(xiàn)在構(gòu) 造一個轉(zhuǎn)歸 y，使得 。因此，當 時，仍 有 。很明顯： 所以， 。 iS? 0iy ?[ ( \ ) ] [ ( ) ( ) ]1( ) ( ) [ ( ) ( ) ]( ) ( )x N S S x N x S Sv N x S S v S x SSv N v S??? ? ? ?? ? ? ???iS?0iy ?( ) ( )iiNy y N v N????12( , , ... ) ( , )ny y y y I N v??( ) ( ) ( )v S x S S y S?? ? ? ,iiy x i S??Syx202233 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 66 合作收益如何分配的例子 例 有三個人準備合作辦一企業(yè)， ? 局中人 1僅有核心技術(shù)，若他將技術(shù)轉(zhuǎn)讓可得 20萬元； 局中人 2有資金，若他將投入企業(yè)的資金用于其他項目投資，可獲得共 30萬元； 局中人 3有很強的組織管理和營銷能力，若他參與其他企業(yè)服務，可獲得 15萬元收益。 ? 若三人合作 ，可獲得 100萬元。 123? ()vN12 3A BDEFQGM N120x ?135x ?260x ? 2 30x ? 3 15x ? 3 40x ?( , )I N v()Cv核心 202233 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 69 合作收益如何分配的例子 例 有 3人合作博弈 ，其中 ，特征函數(shù)的值如下： ? 容易驗證，該博弈的核心 。 （ 2）核心中可能有無窮多的元素。若設(shè)線性規(guī)劃的最優(yōu)值 ，則該博弈的核心非空。 ? 在用（ ）求解可以判定核心為非空集時，如何在核心中去確定一個唯一的分配方案，可以借用（ ）式，用 n人納什談判解的方法去確定。并且由約束條件可知，該唯一解 。 ? 強 核心的 引入，需對核心的部分條件減弱，其中主要是對轉(zhuǎn)歸中條件的減弱。預轉(zhuǎn)歸的全體稱為 預轉(zhuǎn)歸集 ，記為 。 n [ , ]G N v? 12( , , , )nx x x x?n1()niix v N???x( , )I N v?202233 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 74 強 ε 核心 定義 設(shè)有 人合作博弈 ， 是一個實數(shù)。 ? 實質(zhì)上 起到一個對核心的調(diào)節(jié)作用 。 很容易證明，若有 和 ，若 和 都非空，有： 若 ， 則 0?? x ??0 , ( ) ( )C v C v?? ??時0?? x? 0?? ()Cv? ??1? 2? 1 ( , )C N v? 2 ( , )C N v?12??? 12( , ) ( , ) ( 5 . 2 . 1 6 )C N v C N v?? ?202233 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 76 最小核心 定義 設(shè) 是一個 人合作博弈， 是使得強 ε核心 的最小 ，稱 為 的 最小核心 （ Least core）， 記為 LC。 [ , ]G N v? n 0?()Cv? ?? ? 0()Cv? G202233 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 77 最小核心 ? 一般情況下，對合作博弈的最小 核心 LC，可用下面線性規(guī)劃求解： ? 該線性規(guī)劃的 第一個約束是強 核心的要求 ， 第二個約束是 屬于預轉(zhuǎn)歸的要求 ，與判斷核心的線性規(guī)劃相比，其約束多了一個等式約束，變量為 個。 ?m ins . t ( ) ( ) , , , ( 5 .2 .17 )( ) ( )zx S S v S S N Sx N v N????? ? ? ? ??? x1n?*? *??* * *12( , , , )nx x x?202233 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 78? 例 設(shè)有一個三人合作博弈 ，其中 ，特征函數(shù)的取值如下： ? 由核心的定義， 的條件，可類似于例 應該滿足下列要求： [ , ]G N v? {1, 2 , 3}N ?( ) 0 , ( { } ) 0 , 1 , 2 , 3( { 1 , 2 } ) 1 / 3 , ( { 1 , 3 } ) 1 / 6 , ( { 2 , 3 } ) 5 / 6( ) 1v v i iv v vvN? ? ? ?? ? ??1 2 3( , , ) ( )x x x x C v??1 2 31 2 30 , 1 , 2 , 3 ,1 / 6 , 5 / 6 , 2 / 3 ,1ixix x xx x x??? ? ?? ? ? 最小核心 202233 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 79? 作重心三角形 （高度為 1的等邊三角形），可得 的轉(zhuǎn)歸集 即為三角形△ 123內(nèi)的點組成的集合， 的核心 為四邊形 ABCD所圍成的區(qū)域。 1 /12? ? ?1 2 3 12( , , ) ( , )x x x x C N v??1 2 31 ` 3 22 3 11 2 310 , 1 , 2 , 3 ,121 1 52,1 2 3 6112 , 11 2 61 5 12,1 2 6 31,ixix x xx x xx x xx x x? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?即即即123? G 112()Cv 最小核心 202233 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 82? 取 ，由強