【正文】 低于某個原始分?jǐn)?shù)的次數(shù)百分比，用 PR表示。而求百分等級分?jǐn)?shù)正好相反，事先知道次數(shù)分布中的一個原始分?jǐn)?shù)，再求該分?jǐn)?shù)在分布中所處的相對位置。的累積次數(shù)；小于組的次數(shù)；某特定原始變量所在組的下限；某特定原始變量所在百分等級分?jǐn)?shù)；其中：：百分等級分?jǐn)?shù)計(jì)算公式??????? ????????????? ???課堂練習(xí)： (1) m=50, Pm=? (2) m=75, Pm=? (1) x=63, PR=? (2) x=52, PR=? 均值 均值 (Mean)也稱算術(shù)平均數(shù) (Arithmetic mean),是全部數(shù)據(jù)的算術(shù)平均。 簡單平均 （ Simple mean）： 未分組的原始數(shù)據(jù) 設(shè)一組數(shù)據(jù)為 X1， X2， ???,XN NXNXXXXNiiN?????????? 121算術(shù)平均值的優(yōu)點(diǎn) : ?反應(yīng)靈敏； ?確定嚴(yán)密； ?簡明易解； ?計(jì)算簡單； ?符合代數(shù)方法進(jìn)一步演算； ?較少受抽樣變動的影響； 算術(shù)平均數(shù)的缺點(diǎn) ： ?易受極端值的影響； ?若出現(xiàn)模糊不清的數(shù)據(jù)時，無法計(jì)算算術(shù)平均數(shù)； 適用算術(shù)平均數(shù)的條件要求 ： ?數(shù)據(jù)必須是同質(zhì)的，即同一種測量工具所測量的某一特質(zhì)； ?數(shù)據(jù)取值必須明確； ?數(shù)據(jù)離散不能太大。即 （ 2）各變量值與其均值的離差平方和最小，即 0)(1????Nii XX? ? ???????NiNii XXX1i2120 )(X 調(diào)和平均數(shù) ：定比數(shù)據(jù) 總量一定時，求平均值。 121111????????????????????NXXXX NH例 上行速度為 30公里 /小時 ,下行速度為 45公里 /小時 ,求全程的平均速度 ? 361805290232451301111???????????????????? ???????????????????HX 幾何平均數(shù) （ Geometric mean）：定比數(shù)據(jù) N個變量值相乘積的 N次方根。 例 三種股票 ,19961999年的收益率分別為 %, %, %, %, 計(jì)算四年內(nèi)的平均年收益率。 0 2 1 0 4 8 2 1 0 4 8 0 2 1 0 4 8 ??????ggXX年增長率為 % 眾數(shù)、中數(shù)和均值的比較 1. 平均數(shù)、中數(shù)和眾數(shù)的關(guān)系 p68 ? 在一個正態(tài)分布中，三者相等 ? 在正偏態(tài)分布中， M Md Mo ? 在負(fù)偏態(tài)分布中， M Md Mo ? 一般偏態(tài)情況下， Md離 M較近，而離 Mo較遠(yuǎn)， ? 皮爾遜經(jīng)驗(yàn)關(guān)系： 31??? MoM MdM眾數(shù)、中數(shù)、均值的特點(diǎn)與應(yīng)用場合 ?眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)分布的峰值所對應(yīng)的隨機(jī)變量的值，它是一種位置代表值，不受極端值的影響。它主要用于定類數(shù)據(jù)的集中趨勢度量； ?中位數(shù)是一組數(shù)據(jù)中間位置上的代表值，特點(diǎn)是不受數(shù)據(jù)極端值的影響。缺點(diǎn)是易受極端數(shù)據(jù)的影響，對于偏態(tài)分布數(shù)據(jù)，均值代表性較差。 離中趨勢（離散程度）的度量 數(shù)據(jù)離中趨勢是表示數(shù)據(jù)分散程度的一組統(tǒng)計(jì)量 , 反映的是各變量值遠(yuǎn)離其中心值的程度。 ? R=MaxMin 四分位差 (Quartile deviation) 四分位差是上四分位數(shù)與下四分位數(shù)之差的一半，用 QD表示， QD=(QUQL)/2 四分位差反映了中間 50%數(shù)據(jù)的離散程度，其數(shù)值越小，說明中間的數(shù)據(jù)越集中；反之，越分散。 四分位差適用于測度定序數(shù)據(jù)的離散程度。11。計(jì)算公式為： NXXADNii???? 1平均差的數(shù)學(xué)性質(zhì)不是最優(yōu)的 ,在實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)用較少。 離差：也叫離均差， 離差平方和 (SS)： ? ?nXXXXSSNXX)X(2n1iin1i2in1i2i2N1iiN1i2iN12i???????????????????????????＝樣本總體iSS ?XX i或??iX 總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差 方差 （ ?2） ： ? ? 212122???????????NXNXNiiNii離差的平方求平均 平方的平均減去平均的平方 標(biāo)準(zhǔn)差 :方差的平方根 ? ?21212??? ????????NXNXNiiNii例 未分組數(shù)據(jù)求方差和標(biāo)準(zhǔn)差： Xi Xi ? =x x2 Xi2 6 5 7 4 6 8 0 1 1 2 0 2 0 1 1 4 0 4 36 25 49 16 36 64 N=6 ? X i =36 ? x=0 ? x2=10 ? X i2=226 ?2=10/6 = , ?= 用原始數(shù)據(jù)直接求方差和標(biāo)準(zhǔn)差 : 22222,??????????NXNXii上例中 ,636622622?????????????課堂練習(xí) ?分別求下列各組數(shù)據(jù)的方差、標(biāo)準(zhǔn)差 （ 1） 15， 16， 13， 11， 12， 10， 11 （ 2） 5， 6， 3， 1， 2， 0， 1 （ 3） 10， 12， 6， 2， 4， 0， 2 方差、標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)： （ 1）若 y=x+c , x和 y是隨機(jī)變量， c為常數(shù)， 則 （ 2）若 y=cx, c為常數(shù) , 則 xyxy?????? ,22xyxycc???????? ,222 樣本方差與標(biāo)準(zhǔn)差 ? ?? ?? ?? ?? ?111SS,111SSSS,21121222112122122212212212122???????????????????????????????????????????????????nnXnXnXXnnXnXnXXSSXnXnXXSniiniiniiniiniiniinnnnniiniin標(biāo)準(zhǔn)差：方差：。 自由度是數(shù)學(xué)名詞，在統(tǒng)計(jì)學(xué)中， n個數(shù)據(jù)如不受任何條件的限制，則 n個數(shù)據(jù)可取任意值，稱為有 n個自由度。計(jì)算樣本方差時， n個變量值本身有 n個自由度。因此只有（ n－ 1）個自由度。 10， 8， 8， 6， 7， 5， 9， 5， 4， 6 樣本方差與總體方差的區(qū)別 ： （ 1）在計(jì)算上，總體方差是用數(shù)據(jù)個數(shù)或總頻數(shù)去除離差平方和，而樣本方差則用樣本數(shù)據(jù)個數(shù)或總頻數(shù)減一去除離差平方和； （ 2）樣本方差是統(tǒng)計(jì)量，用 S2表示；總體方差是總體參數(shù)，用 ?2表示。 方差與標(biāo)準(zhǔn)差的意義 方差與標(biāo)準(zhǔn)差是表示一組數(shù)據(jù)離散程度的最好的指標(biāo)。具有以下優(yōu)點(diǎn)： （ 1）反應(yīng)靈敏?？梢园芽傋儺惙纸鉃椴煌瑏碓吹淖儺悺＜矗? ?2D2 ? ? ? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?2221212022121201211212121200,02,XDcNXNXXDNcXXXXNcXcXcXcXXXccNiiniiNiiNiiNiiNiiNiiNiiNiiNii???????????????????????????????????????????????????????所以，，所以，因?yàn)闉槌?shù)，則令由各小組的標(biāo)準(zhǔn)差、方差求總標(biāo)準(zhǔn)差、方差 ? ? ? ?? ?? ?, ,DNN11TT122K1i122K1i21222221122222112????????????????????????????????????????KiiKiiiiiKiiiiiKiiiiiKKKKKTNNNDNDNNNDNDNDNNNN???????????其中：例 某年級有四個班 ,各班某科成績?nèi)缦?:一班 35人 ,平均成績 80分 ,標(biāo)準(zhǔn)差 8分 。三班 40人 ,平均成績 78分 ,標(biāo)準(zhǔn)差 9分 。求四個班的平均成績和標(biāo)準(zhǔn)差。 例某班平均成績?yōu)?90分，標(biāo)準(zhǔn)差為 3分，甲生得 ,乙生得 ,求甲乙二學(xué)生的 Z分?jǐn)?shù)各是多少 ? 解 :Z甲 =()/3= Z乙 =()/3= 標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的平均值為 0,標(biāo)準(zhǔn)差為 1。 如 :某人 Z身高 =, Z體重 65=, 則該人在某團(tuán)體中身高稍偏高 ,而體重更偏重些。 表 利用 Z分?jǐn)?shù)求總和 原始分?jǐn)?shù) 全體考生 Z 分?jǐn)?shù)科目甲 乙 平均數(shù) 標(biāo)準(zhǔn)差 甲 乙語文政治外語數(shù)學(xué)理化85 8970 6268 7253 407 2 8 77 0 1 065 569 850 67 5 81 .50 0 1 .90 01 .0 0 0 2 5 0 .37 50 .50 0 7 0 7 5 1 .50 0總計(jì) 3 4 8 3 5 0 2 .50 0 1 .50 5(3)表示標(biāo)準(zhǔn)測驗(yàn)分?jǐn)?shù) 經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化的測驗(yàn) ,如果其常模分?jǐn)?shù)分布接近正態(tài)分布 ,常常要轉(zhuǎn)換成正態(tài)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)。 如：（ WAIS）韋氏常人智力量表： IQ=15Z+100； 比奈 西蒙智力測驗(yàn)： Z’=16Z+100。如上下三個標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi)包含%的數(shù)據(jù)個數(shù)。 變異系數(shù) (Coefficient of variation) 也稱離散系數(shù) ,標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)，是一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差與其相應(yīng)的均值之比。 （ 1）同一團(tuán)體不同測量的變異的比較，如相同班級不同科目的變異的比較； （ 2）不同團(tuán)體同一測量的變異的比較，如不同年級同一科目變異大小的比較。 例 通過同一個測驗(yàn) ,一年級學(xué)生的平均分?jǐn)?shù)為 60分 ,標(biāo)準(zhǔn)差為 ,五年級學(xué)生的平均分?jǐn)?shù)為 80分 ,標(biāo)準(zhǔn)差為 ,問這兩個年級的測驗(yàn)分?jǐn)?shù)中哪一個分散程度大。 偏態(tài)與峰度的度量 除考察集中趨勢、離散程度外，還要了解數(shù)據(jù)分布的形狀是否對稱、偏斜的程度以及分布的扁平程度。 偏態(tài)及測度 偏態(tài) (Skewness)是對分布偏斜方向和程度的測度。 峰度及其測度 峰度 (Kurtosis)是分布集中趨勢高峰的形狀。若分布的形狀比正態(tài)分布更瘦更高，則稱為尖峰分布；若比正態(tài)分布更矮更胖，則稱為平峰分布。 a43時為平峰分布 . 描述性統(tǒng)計(jì)量 :