【正文】 （ ） 這里假設(shè)了 （即 ）的情形。換句話說(shuō)，只考慮了 、 在微擾中的相互影響。這是量子力學(xué)中普遍的結(jié)果，在微擾作用下相互影響的兩個(gè)能級(jí)，總是原來(lái)較高的能量升高了，原來(lái)較低的能量下降，這也被形象地比喻為能級(jí)間的“排斥作用”。 這時(shí)把式（ ）按 展開(kāi)，取一級(jí)近似得到 （ ） 根據(jù)式（ ）和式（ ），并取 ，即得 （ ） 00 ?V? ?? ???????????????????????????????002200200022002011kknnkknkkknnkknkEEVTEEVEEEEVTEEVEE0?? 00 kk EE ??kk? k? kk k?k k?nkk VEE ??? ?00kan?? ?nkkVEE 00 ??? ??????????????????? ????? ??nkknkkVEEVEEE4221 2022000 ?V???????????????????????????????????221212nnnnnnnnnnVTTVTEVTTVTE? 這個(gè)結(jié)果可以用圖線的方式與零級(jí)能量加以比較，如圖 (a)所示。式（ ）還說(shuō)明在禁帶之上的一個(gè)能帶底部，能量 隨相對(duì)波矢 的變化關(guān)系是向上彎的拋物線；在禁帶下邊能帶頂部，能量 隨相對(duì)波矢 的變化關(guān)系是向下彎的拋物線。圖中 A和 C（以及 B和 D）實(shí)際代表同一狀態(tài)，因?yàn)樗鼈兪菑? 和 兩個(gè)方向趨于零的共同極限。總之，禁帶發(fā)生在什么位置以及禁帶究竟多寬取決于晶體的結(jié)構(gòu)和勢(shì)場(chǎng)的函數(shù)形式。在離這些點(diǎn)較遠(yuǎn)的波矢，電子能量同自由電子的能量相近。周期起伏勢(shì)場(chǎng)的微擾，使 狀態(tài)只與 （ 為任 意整數(shù)）的狀態(tài)相互作用。但是當(dāng) 取值為 時(shí)，與之有相互作用的狀態(tài)中，存在一個(gè)（且僅有一個(gè)） 狀態(tài)，二者零級(jí)能量相等，而其它狀態(tài)與其零級(jí)能量差很大。對(duì)于后面兩種情形，微擾計(jì)算時(shí)只需要計(jì)入能量相等（或相近）的兩個(gè)狀態(tài)之間的相互影響，這就是簡(jiǎn)并微擾的情況，微擾的結(jié)果是原來(lái)能級(jí)較高的更高了，原來(lái)能級(jí)較低的向下降，即所謂能級(jí)排斥作用。 mkE222???,3,2, aaak ??? ????12V 22V 32V0kE kknak ?2?nk na?knnakk VEE ??? ?0 20 ?k na???????? na?k ??????? na?na?k na?2? ? kkE ~? 這里最重要的特點(diǎn)是準(zhǔn)連續(xù)的能級(jí)分裂為一系列的帶 1， 2， 3， … ，它們分別對(duì)應(yīng) …… ? 各帶間的間隔直接對(duì)應(yīng)于 圖線在 處的間斷值 ， ， ， … 。各能帶之間的間隔稱為“帶隙”，在“帶隙”中不存在能級(jí)。 ? ?1,~ 帶aak ???? ? ?2,2~,~2 帶aaaak ???? ?????? ?3,3~2,2~3 帶aaaak ???? ???????kE nak ??12V 22V 32V圖 圖和能帶 O n=3 n=2 n=1 n=4 167。零級(jí)方程 的本征值為 ，相應(yīng)的歸一化波函數(shù)為 。 代表勢(shì)能偏離平均值的部分，它隨坐標(biāo)變化，我們把它看作微擾勢(shì)。 ? ? ? ? ? ?rrr ?? EVm ??????? ??? 22???rV? ? ? ?rRr m VV ??mR332222 aaaR mmmm ???HHH ??? ??? 00220 2? VmH ???? ?00 ?V0000? kkk ?? EH ?mE 2220 kk??rkk ?? ieV10???NV ?? ???? n in heVH rK?? ? 01 ????? kkkkk VHE? ? ?? ??????k kkkkk0022EEHE??n kk ??? 波函數(shù)的一級(jí)修正為 （ ） 式（ ）和式（ ）中的 為微擾矩陣元。根據(jù) 的取值條件，把 和 表示為 （ ） （ ） 再考慮到式（ ），則有 （ ） ? ? ? ? ? ? ? ???????????????????k0000001 rrr kkkkkkkkkk kk ???EEVEEHkk??H? ???? ?????? V0 kkkk rkk dHVH 00 ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ???????????? ????????mii meNdeVvdeVVRkkiξkkrkk ξξrr 1110ξRr m ?? kk k?333222111 NlNlNl bbbk ???333222111 NlNlNl bbbk ???????? ?????????????????????????? ???????????????????????102102102 333333222222111111 NmmN lliNmmN lliNmmN llimeeee m???Rkki? 當(dāng) ， ， ， （ ） 顯然各加式中每項(xiàng)均為 1，結(jié)果得 。式（ ）用 和 表示為 （ ） ? 換句話說(shuō)，只有當(dāng) 和 相差為一倒格子矢量 時(shí)，它們之間矩陣元才不為 0，在這種情況下，式（ ）的矩陣元可以寫成 （ ） 實(shí)際上，以上用 （ n表示 三個(gè)整數(shù)）表示的積分正是 展開(kāi)為傅立葉級(jí)數(shù)的系數(shù) （ ） 把上述結(jié)果代入式（ ），由于 只限于 各值，因此 （ ） 如果把指數(shù)函數(shù)中的 改變一個(gè)格矢量 ，由于下式是 的整數(shù)倍： （ ） 所以，式（ ）中求和項(xiàng)的函數(shù)值不變。 11 11 nN ll ???22 22 nN ll ??? 33 33 nN ll ??? ? ?為整數(shù)321 , nnnNNNN ?321k k?? ?為倒格子矢量nnnnn KKbbbkk ?????? 332211k? k nK? ? ? ? ne VdVvVHn???????? ???? ξξ1rVξi0Kkkkkkk原胞nV 321 nnn ??rV? ? ? ?? riK nrV eV nk? nKk?? ? ? ??????nini eEEVeVrKKkkrkk nn001 1?r mR ?2? ?3322112 mnmnmn ???? ?nm KR? 在一維情形，當(dāng) 的取值接近 時(shí)，一級(jí)微擾計(jì)算導(dǎo)致發(fā)散的結(jié)果，它實(shí)際反映采用簡(jiǎn)并微擾計(jì)算時(shí)。三維情形是完全類似的，即當(dāng)兩個(gè)相互有矩陣元的狀態(tài) 和 的零級(jí)能量相等時(shí)， 和 趨于 。其幾何意義是在 空間中從原點(diǎn)所作的倒格子矢量 的垂直平分面方程，如圖 。為了具體起見(jiàn)，圖 ， 的中垂面上的一點(diǎn) A與 的中垂面上的一點(diǎn) 之間相差倒格矢，有相互作用矩陣元，而且零級(jí)能量相等。這表明三維情形比一維情形要復(fù)雜，簡(jiǎn)并態(tài)的數(shù)目不都是兩個(gè)，有可能多于兩個(gè)。 ? 必須指出的是，一維情況下，色散關(guān)系在布里淵區(qū)邊界的不連續(xù)性在三維情況下也會(huì)發(fā)生，只是在 空間的不同方向，不連續(xù)的能量范圍不一定相同，從而不連續(xù)不一定導(dǎo)致禁帶的產(chǎn)生，而在一維情況，必然導(dǎo)致禁帶出現(xiàn) 。 布里淵區(qū)和能帶結(jié)構(gòu)的三種圖示法 ? 一、布里淵區(qū) ? 要知道一個(gè)能帶中有多少個(gè)量子態(tài)，須要求出一個(gè)布里淵區(qū)中有多少允許的波矢的取值。 態(tài)的點(diǎn)數(shù)即波矢的取值。這時(shí)可將的取值范圍限制在空間的一個(gè)區(qū)域內(nèi)，這個(gè)區(qū)域是一個(gè)最小的周期性重復(fù)單元，區(qū)域內(nèi)的全部波矢代表了晶體中所有波矢量為實(shí)數(shù)的電子態(tài)。 ? 圖 。 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 圖 為二維正方格子的布里淵區(qū) 21, bb ??akak yx?? ???? ,?X M ? X ? ? M?MX? ??Ⅰ Ⅰ? 離 點(diǎn)的次近鄰的四個(gè)倒格點(diǎn)相應(yīng)的倒格矢為 。 ? 離 點(diǎn)更遠(yuǎn)的點(diǎn)的更高的布里淵區(qū)可以用類似的方法求得。屬于一個(gè)布里淵區(qū)的能級(jí)構(gòu)成一個(gè)能帶，不同的布里淵區(qū)對(duì)應(yīng)不同的能帶。因此簡(jiǎn)約布里淵區(qū)以外的其它狀態(tài)點(diǎn)都可以通過(guò)平移一個(gè)適當(dāng)?shù)牡垢袷讣s化到簡(jiǎn)約布里淵區(qū)內(nèi)，而在區(qū)內(nèi)找到它的等價(jià)點(diǎn)，因此可以用簡(jiǎn)約布里淵區(qū)內(nèi) N個(gè)波矢點(diǎn)（ 2N個(gè)量子態(tài)）標(biāo)志晶體電子的所有狀態(tài)，在討論固體的性質(zhì)時(shí)，可以只考慮第一個(gè)布里淵區(qū)。在圖 (a)中， B表示第二布里淵區(qū)能量最低的點(diǎn)， A是與 B相鄰而在第一布里淵區(qū)的點(diǎn)