【正文】 ???????? ?????????????? s es es es es esss sBsg可寫出系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為 ueeeeexxxxxxxxxx???????????????????????????????????????????????????????????????????????3213121132131211321113213121100000000001000010000??????????? ??????????????????3213121111100xxxxxy17/18,30/50 例 3 )1(11))(( )()(?2121211211 ss zssskss zssskssss zsksG ??????????????? ?? 設(shè) 畫出結(jié)構(gòu)圖 uyk11ss?21ss?12 zs ?1x2x動(dòng)態(tài)方程為 ? ? ??????????????????????????????????21122121210101xxkyuzsxxssxx??18/18,31/50 組合系統(tǒng) 并聯(lián) : 系統(tǒng)如圖，二子系統(tǒng)并聯(lián)連接 系 統(tǒng) 1G1( s )系 統(tǒng) 2G2( s )U y++1 1 1 1 111 1 1 1 1:x A x B uy C x D u???? ????2 2 2 2 222 2 2 2 2:x A x B uy C x D u???? ????特點(diǎn)： 1 2 1 2,u u u y y y? ? ? ?1 1 1 12 2 2 200x A x Bux A x B? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 1 2 2 1 21 2 1 2 1 2 Ty C x C x D u D uC C x x D D u? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 2y s y s y s G s G s u s? ? ? ?????? ? ? ? ? ?12G s G s G s?? 反饋 系統(tǒng)如圖，二子系統(tǒng)并聯(lián)連接 系 統(tǒng) 1G1( s )系 統(tǒng) 2G2( s )U yy 1u2y2U1_1 1 1 1 111 1 1:x A x B uy C x???? ???2 2 2 2 222 2 2:x A x B uy C x???? ???特點(diǎn)： 1 2 1 2,y y u u u y? ? ? ?(1) 動(dòng)態(tài)反饋 1 1 1 2 1 12 2 1 2 2 0x A B C x Bux B C A x?? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ?? ? ? ?1 1 20 Ty C x x?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1 1 21 1 2 y s y s G s u s G s u s y sG s u s G s G s y s? ? ? ???????? ? ? ? ? ? ? ?11 2 1 .G s I G s G s G s???????傳遞矩陣： 線性時(shí)不變系統(tǒng)的特征結(jié)構(gòu) 特征多項(xiàng)式 連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng) BuAxx ???)d e t ()()(1AsIAsIAsI???????＝特征多項(xiàng)式＝預(yù)解矩陣＝特征矩陣(1) 特征多項(xiàng)式 0111)de t ()( ???? ??????? ?? sssAsIs nnn ?110 , ?n??? ? 均為實(shí)常數(shù) (2) 特征方程式 00111 ????? ?? ??? sss nnn ?(3) 凱萊 哈密爾頓（ CaleyHamilton）定理 0)( 0111 ?????? ?? IAAAA nnn ???? ?1/6,32/50 這一定理揭示了線性時(shí)不變系統(tǒng)一特性：對(duì)系統(tǒng)矩陣 A，有且僅有 為線性無關(guān)，所有 都可表示為它們的線性組合。 (6) 特征多項(xiàng)式的計(jì)算 2/6,33/50 ① 基于跡計(jì)算的特征多項(xiàng)式迭代算法 nAtrRIARRAtrRIARRAtrRIARRAtrRIRnnnnnnnnnnnnn001103322222112111321????????????????????????????????????② 基于分解計(jì)算的特征多項(xiàng)式迭代算法 0111)de t ()( ???? ??????? ?? sssAsIs nnn ?3/6,34/50 特征值 ”的根特征方程“系統(tǒng)特征值 0)de t ( ???? AsI(1) 特征值的代數(shù)屬性 系統(tǒng)特征值就是使特征矩陣 (sI－ A)降秩的所有 s值 (2) 特征值集 對(duì) n維線性時(shí)不變系統(tǒng)，有且僅有 n個(gè)特征值，特征值的全體構(gòu)成系統(tǒng)的特征值集。 廣義特征向量 對(duì) n維線性時(shí)不變系統(tǒng)，設(shè) λi為 n n維系統(tǒng)矩陣 A的一個(gè) ζi重特征值，則 ? ?? ? TikiTikiTiiiikiikiivnAIvAIvkAvnvAIvAIkA非零向量的滿足＝級(jí)廣義左特征向量的的屬于非零向量的滿足＝級(jí)廣義右特征向量的的屬于??????????????10)(,0)(10)(,0)(11??????6/6,37/50 結(jié)論 4 特征值為兩兩互異的情形 狀態(tài)方程的約當(dāng)規(guī)范形 對(duì) n個(gè)特征值 {λ λ …λ n}兩兩互異的 n維線性時(shí)不變系統(tǒng)，基于 n個(gè)特征向量構(gòu)造變換陣 p=[v v …v n]，則狀態(tài)方程 BuAxx ???可通過線性非奇異變換 xpx 1?? 而化為約當(dāng)規(guī)范形 BPBuBxxn121, ?????????????????????包含復(fù)數(shù)特征值情形的對(duì)角線規(guī)范形（略） 1/3,38/50 結(jié)論 5 特征值包含重值的情形 對(duì)包含重特征值的 n維線性時(shí)不變系統(tǒng)，設(shè)系統(tǒng)的特征值 ),(,),(),( 222111 重重重重重重 lll ????????? ?那么，基于相應(yīng)于各特征值的廣義特征向量組所組成的變換陣 Q，令 xQx 1? ??可將系統(tǒng)狀態(tài)方程化為約當(dāng)規(guī)范形： BQBuBxJJBuQxAxl1111?,?????????????????????? ??2/3,39/50 其中， Ji為相應(yīng)于特征值 λi 的約當(dāng)塊： ikikiiiirrikiiiiiikikiiirkJJJJJ???????????????????????????????????????????1)(21)(,2,1,11????3/3,40/50 由狀態(tài)空間描述導(dǎo)出傳遞函數(shù)矩陣 傳遞函數(shù)矩陣 定義： 單輸入單輸出線性時(shí)不變系統(tǒng)，在零初始條件下，輸出變量拉普拉斯變換和輸入變量拉普拉斯變換之比，稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，即 )(?)(?)(susysg ??多輸入多輸出線性時(shí)不變系統(tǒng)，在零初始條件下，輸出變量拉普拉斯變換和輸入變量拉普拉斯變換因果關(guān)系： )(?)()(? susGsy ?稱 G(s)為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。 (2) G(s)的真性和嚴(yán)真性 當(dāng)且僅當(dāng) G(s)是真或嚴(yán)真時(shí)， G(s)才是物理上可實(shí)現(xiàn)的 零陣是嚴(yán)真的非零常陣是真的????????)(l i m)()(l i m)(sGsGsGsGss(3) G(s)的特征多項(xiàng)式和最小多項(xiàng)式 階子式的最小公分母的所有＝的最小多項(xiàng)式階子式的最小公分母、階、階、的所有＝的特征多項(xiàng)式1)()()(),m i n (21)()()(sGssGpqsGssGGG???(4) G(s)的極點(diǎn) G(s)的極點(diǎn)定義為方程式 0)( ＝sG? 的根 2/4,42/50 (5) G(s)的循環(huán)性 若 常數(shù)＝ ?ksks GG ),()( ?? 稱 G(s)是循環(huán)的 (6) G(s)正則性和奇異性 是非正則的為奇異滿足方有理分式矩陣是正則的)()(0)(d e t)()(sGsGsGsGsG???G(s)基于 (A,B,C,D)的表達(dá)式 考慮連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng) DuCxyBuAxx?????則 DBAsICsG ??? ? 1)()(設(shè) G(s)的首一化特征多項(xiàng)式為 αG(s)， A的特征多項(xiàng)式為 α(s)，若 )()( ss G?? ?必有 )(d e g)(d e g ssG ?? ? 若系統(tǒng)能控能觀測(cè)，則 )()( ss G?? ?表 G(s)的極點(diǎn)集合 Λ G， A的特征值集合 Λ ，若 Λ G≠ Λ ， 則 ΛG?Λ；若系統(tǒng)能控能觀測(cè)，則 ΛG=Λ 。 坐標(biāo)變換的幾何含義和代數(shù)表征 線性時(shí)不變系統(tǒng)狀態(tài)空間描述為 DuCxyBuAxx????? ?：引入坐標(biāo)變換 xPx 1?? 則變換后系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為 uDxCyuBxAx????? ?——：DDCPCBPBAPPA ???? ?? , 111/3,45/50 結(jié)論 9 線性時(shí)不變系統(tǒng)引入坐標(biāo)變換，其傳遞函數(shù)矩陣在線性非奇異變換下保持不變。 代數(shù)等價(jià)的系統(tǒng)的基本特征是具有相同的代數(shù)結(jié)構(gòu)特性，如特征多項(xiàng)式、特征值、極點(diǎn)、穩(wěn)定性、能控性、能觀測(cè)性等。以解析形式或數(shù)值分析形式，建立系統(tǒng)狀態(tài)隨輸入和初始狀態(tài)的演化規(guī)律。 從數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，上述條件可減弱為： ① 系統(tǒng)矩陣 A(t)的各個(gè)元 αij(t)在時(shí)間區(qū)間 [t0,tα]上為絕對(duì)可積，即： ? ????tt ij njidtta0 ,2,1,|)(| ?② 輸入矩陣 B(t)的各個(gè)元 αij(t)在時(shí)間區(qū)間 [t0,tα]上為平方可積，即： 1/2,1/29 ? ?????tt ik pknidttb0 2,1,2,1,)]([ 2 ??③ 輸入 u(t)的各個(gè)元 uk(t)在時(shí)間區(qū)間 [t0,tα]上為平方可積，即： ? ????tt k pkdttu0 2,1,)]([ 2 ?條件②③可一步合并為要求 B(t) u(t)的各元在時(shí)間區(qū)間 [t0,tα]上絕對(duì)可積。 狀態(tài)方程： 給定初始時(shí)刻 時(shí)的狀態(tài)向量值： 則 任意時(shí)刻的狀態(tài)： 此即齊次狀態(tài)方程的解。 其中 H為任意非奇異實(shí)常陣 結(jié)論： (1). 基本解陣不唯一 (2). 由系統(tǒng)自治方程 ? ?000 , ttxtxAxx ????的任意 n個(gè)線性無關(guān)解為列可構(gòu)成一個(gè)基本解陣。 結(jié)論： 1:連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng) (1)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可由基本解陣定出 ? ? ? ? ? ? 0010 tttttt ?????? ?2:狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 ф(tt0) 唯一，與基本解陣的選取無關(guān)。即： 位置ietetuii?????????