第四章數(shù)字特征-閱讀頁(yè)
2024-11-06 11:49本頁(yè)面
【正文】 ?????( 3 ),f ( x ) d xE ( x ) ][xD ( X ) 2? ??? ??其中 f(x)是 X的概率密度 . 隨機(jī)變量 X的方差可按下列公式計(jì)算 : D(X)=E(X2)[E(X)]2. (4) 證 由數(shù)學(xué)期望的 性質(zhì) (1),(2),(3)得 D(X)=E{[XE(X)]2}=E{X22XE(X)+[E(X)]2} =E(X2)2E(X)E(X)+[E(X)]2 =E(X2)[E(X)]2. 在按公式 D(X)=E(X2)[E(X)]2計(jì)算方差時(shí) , E(X) 還是按通常的辦法計(jì)算 , 而關(guān)鍵是計(jì)算 E(X2). 當(dāng) X是離散型隨機(jī)變量時(shí) : ,px)E( X1kk2k2 ????其中 P{X=xk}=pk, k=1,2,...是 X的分布律 . 對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量 , 有 ,f ( x ) d xx)E ( X 22 ? ????其中 f(x)是 X的概率密度 . 二、方差的性質(zhì) (1) 設(shè) C是常數(shù) , 則 D(C)=0. (2) 設(shè) X是隨機(jī)變量 , C是常數(shù) , D(CX)=C2D(X). (3) 對(duì)任意兩個(gè)隨機(jī)變量 X,Y, D(X+Y)=D(X)+D(Y) +2E{[XE(X)][YE(Y)]} () 特別 , 若 X,Y相互獨(dú)立 , 則 D(X+Y)=D(X)+D(Y) () (4) D(X)=0的充要條件是 X以概率 1取常數(shù) C, P{X=C}=1. 證 (4)證略 . 下面證明 (1),(2),(3) (1) D(C)=E{[CE(C)]2}=0 (2) D(CX)=E{[CXE(CX)]2}=C2E{[XE(X)]2} =C2D(X). (3) D(X+Y)=E{[(X+Y)E(X+Y)]2} =E{[XE(X)]2}+E{[YE(Y)]2} +2E{[XE(X)][YE(Y)]} =D(X)+D(Y)+2E{[XE(X)][YE(Y)]}. 如 X,Y相互獨(dú)立 , 則 XE(X)與 YE(Y)也相互獨(dú)立 , 則 E{[XE(X)][YE(Y)]} =E[XE(X)]E[YE(Y)]=0 兩相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 X、 Y的分布如下面兩表所示 , 計(jì)算 D(XY)。n?2)獨(dú)立同分布 , EXij=2, 則行列式 ________EYXXXXXXXXXYnn2n1nn22221n11211??的數(shù)學(xué)期望???????解 因多個(gè)隨機(jī)變量之和的數(shù)學(xué)期望是各個(gè)數(shù)學(xué)期望之和 , 而多個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之積的數(shù)學(xué)期望也是各個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望之積 , 而行列式無(wú)非是各個(gè)隨機(jī)變量相互乘積再相加得到的隨機(jī)變量 .因此有 0222222222212222111211?????????????????nnnnnnEXEXEXEXEXEXEXEXEXEY設(shè)隨機(jī)變量 X在區(qū)間 [1,2]上服從均勻分布
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