【正文】 法加速三次獲得了變步長(zhǎng)梯形公式二分 10 次才能獲得的結(jié)果 , 因此加速效果是相當(dāng)明顯的 . 0123k 2kT 12kS? 22kC? 32kR ? 735 5 793 3 513 5 690 9 145 9 086 9 083 4 083 0 083 1 083 1 241 .33n n nS T T?? 21 6 1 .1 5 1 5n n nC S S??2 .n n nS T T 2 .n n n167。 為了方便，本節(jié)考慮加權(quán)型積分 公式： ? ba xxfx d)()(?則 0( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) .[ ]bbnaanbkkakx f x d x x L x d xx l x f x d x??????????設(shè) f (x) 在插值節(jié)點(diǎn) 處的函 01 na x x x b? ? ? ? ?數(shù)值為 f (xk), 作 n 次 Lagrange 插值多項(xiàng)式 0( ) ( ) ( )nn k kkL x l x f x?? ?1 Gauss型求積公式 本節(jié) 考慮帶權(quán)的積分 其中 為權(quán)函數(shù) . 若 ，即為通常的積分。 定理 求 積公式 ()的代數(shù)精度最高不超過2n + 1次 . 證明： 考慮 2n+2次多項(xiàng)式： 它只在節(jié)點(diǎn) xi（ i = 0,1,… ,n） 處為零 ， 在其它點(diǎn)處均大于零 ， 所以 2021 )()()( ???????? ??? ???niin xxxxf ?.0d)()(d)()( 2 1 ?? ?? ?ba nbaxxxxxfx ???)(,)(d)()(0????nkkkbaxfAxxfx?對(duì)于 2n+2次 多項(xiàng)式 不準(zhǔn)確成立，可知 ()的 其代數(shù)精度至多為 2n+1。 其中 ?? ba kk xxlxA d)()(? ，具有 2n +1 次代數(shù) 精 Gauss積 分 公式 和 Gauss點(diǎn) 為了確定 Gauss點(diǎn)和求積系數(shù) Ak，需要利用正交多項(xiàng)式理論。 1. 1 Gauss積 分 公式 定理 帶權(quán) Gauss 求積公式 () 中的求積節(jié)點(diǎn) xk (k = 0, 1, . . ., n) 是 Gauss 點(diǎn)的充分必要條件是 與任意次數(shù)不超過 n 的多項(xiàng)式 P(x) 均在區(qū)間 [a, b]帶權(quán) 正交 , 即 。 10( ) ( )nnkkx x x? ?????()x?()x?)13.(,)(d)()(0????nkkkbaxfAxxfx?0d)()()( 1 ?? ?ba nxxxPx ???? ???? ????111111d)()()()(d)()( xxxxxxxxlxAknknkk ????? ????????111111 d)()()()(xxAxxxAxknnknn???)(d)()()()(1111??????? xxPxxxPxknkn? 設(shè)求積節(jié)點(diǎn) xk (k = 0, 1, . . ., n)是 正交多項(xiàng)式 的零點(diǎn)，其首項(xiàng)系數(shù)為 ，則 )(1 xPn? 1?nA.)()()(01111 ?????? ???nkknnnn xxAxAxP ?于是求積系數(shù) Gauss 積 分 公式 定理 Gauss型求積公式 ()的求積系數(shù) Ak )13.(,)(d)()(0????nkkkbaxfAxxfx?滿足下面的性質(zhì)： 0( ) .n bk akA x d x???? ?.,1,00d)()( 2 njxxlxA ba jj???? ? ，?取 f (x) = 1 .d)()()( 202 ?? ???ba jnkkjkj xxlxxlAA ?下面討論 Gauss型求積公式的截?cái)嗾`差（余項(xiàng)）。 Gauss 求積公式的數(shù)值穩(wěn)定性 設(shè) f (xk) 的近似值為 ( ) ( 0 , 1 , , ) ,kf x k n?記 0m a x | | .kkn?????由 Gauss 求積公式和 Ak 0, 則有誤差估計(jì) 0 0 0 00( ) ( ) | |( ) .| | | |n n n nk k k k k k k kk k k knbkakA f x A f x A AA x d x C??? ? ???? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?( ) ( ( 0 , 1 , ) ,) ,k k kf x f x kn?? ??令 其中 ()baC x dx?? ?是一個(gè)大于零的常數(shù) . 由此可知 Gauss 求積公式是數(shù)值穩(wěn)定的 . 0 0 0 00( ) ( ) | |( ) .| | | |n n n nk k k k k k k kk k k knbkakA f x A f x A AA x d x C??? ? ???? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?定理 對(duì)任意 的 f ∈ C[a , b], 則 Gauss 求積公式均收斂 , 即有 0l im ( ) ( ) ( ) .n bkk ankA f x x f x d x??? ??? ?對(duì)于 Gauss 求積公式的收斂性 , 有如下的定理 2 幾種常用的 Gauss型求積公式 GaussLegendre求積公式 Legendre多項(xiàng)式 是 定義在 區(qū)間 [1 , 1]上 , 權(quán)函數(shù)為 的正交多項(xiàng)式。 所以， 當(dāng) n =0 時(shí)，一次勒讓德 (Legendre)多項(xiàng) 式 P1( x ) = x的零點(diǎn)（ Gauss點(diǎn)） x0 = 0，取其為求積節(jié)點(diǎn)，由 。從而得到 一點(diǎn) GaussLegendre 求積公式 當(dāng) n = 1時(shí)，二次勒讓德（ Legendre）多項(xiàng)式 )13(21)( 22 ?? xxP它有兩個(gè)零點(diǎn) (Gauss點(diǎn) ) , 取它們?yōu)榍蠓e節(jié)點(diǎn)，由（ ）確定出 A0 = A1 = 1。)3 3()3 3()(11ffdxxf ?????)(d)()( )(1111??????? xxPxxxPAknknk常見 GaussLegendre求積公式 一點(diǎn) GaussLegendre 求積公式 )0(2d)(1 1 fxxf ?? ?二點(diǎn) GaussLegendre 求積公式 )3 3()3 3()(11ffdxxf ?????三點(diǎn) GaussLegendre求積公式 )53(95)0(98)53(95d)(11fffxxf ??????1~5 個(gè)節(jié)點(diǎn)的 GaussLegendre求積系數(shù) （真值） n xk Ak 0 0 2 1 1 2 0 33?53? 9598續(xù) GaussLegendre求積系數(shù)（真值） n xk Ak 3 4 0 ?????? ?? 534371 31012121 ??????? ?? 534371 31012121 ??????? ?? 7102591)()(103?????225128?????? ?? 7102591)()(103???對(duì)于一般的區(qū)間 [a, b]，可作坐標(biāo)變換 22abtabx ????得到 ?? ? ????? 1 1 d)22(2d)( tabtabgabxxgba對(duì)上式 右端 的積分可采用標(biāo)準(zhǔn) GaussLegendre求積公式進(jìn)行計(jì)算。 ? 10 ds in xx x， 解 : 令 ，則 )1(21 tx ???? ? ? ?? 1 110 dt1 )1( i nds i n t txx x? ? ? ?)( i n951) i n(98)( i n95???????.9 6 4 0 8 3 ?本章小結(jié) ?數(shù)值積分的基本概念、思想與理論 ?數(shù)值積分公式、插值型數(shù)值積分公式、余項(xiàng)、代數(shù)精度、收斂階 ?插值型數(shù)值積分及其數(shù)值穩(wěn)定性 ?NewtonCotes 公式， 復(fù)化求積 公式 、變步長(zhǎng)的求積 公式 、 Richardson外推算法與Romberg求積公式、 Gauss 求積公式 復(fù)化梯形公式的推導(dǎo) ? ?)()(2 1??? kkk xfxfhI利用 得到 ? ???????????10110)()(2nkkknkkn xfxfhIT?????? ?? ?? ?????10110)()(2nkknkk xfxfh?????? ???? ?? ?????201110 )()()()(2nknknkk xfxfxfxfh?????? ??? ???)()(2)(2110 nnkk xfxfxfh Back