數(shù)理金融第八章二叉樹模型與美式期權(quán)的風(fēng)險(xiǎn)管理-閱讀頁
2025-01-26 09:49本頁面
【正文】 E j qn D j nq q i f j b n qE s S E j u d n dnq u d n dD s S nq q u d? ? ?? ? ?????In binomial model, we assume q is probability of stock price up in real worlds. 47 How to choose u and d 222( l n / ) l n ( / ) l n ( / 2 )[ l n / ] ( 1 ) l n ( / )TTE s S n q u d n dD s S n q q u d? ? ???? ? ? ? ???? ? ???2 , , , if we hav e k nown for m atc hing u d and q? ? ?2 2 2 20112 2 22201122 2220 , 0 , l i m [ 1 ( ( / 2) / ) ]l i m { 4 [ 1 ( ( / 2) / ) ] [ 1 ( ( / 2) / ) ] } / 41 ( ( / 2) / ) 1 ( ( / 2) / )l i m { [ ] [ ] } 422hhhi f n h hh h h hhhnh? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ??48 122 2l n ( / ) 4 l n ( / ) 2u d h u d h??? ? ?11222122212 l i m l n( / ) l n1 ( ( / 2) / )[ ] 2 l n2( / 2) l nl i m l n( / ) l n ( / 2) l n 0nnhhnq u d n dhn h n dn h n dnq u d n dn h n d d e u e??? ? ??? ? ? ?? ? ????????????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?49 So, we find one solve of the equation 122 2,1 ( ( / 2) / ) 1 / 22 2 2hhd e u ehqh??? ? ? ? ?????? ? ?? ? ?In riskneutral world, the return of securities must be r, which means 122 21 ( ( / 2) / ) 1 / 22 2 2r h rph? ? ??? ? ?? ? ?50 Disscusion: Choosing u and d ? We have know neutral probability p for any step 1, redpuu d d? ????u d 1 p 1p 51 ? We can get ,u e d e? ? ? ????? Prove: in riskneutral world ( 1 ) ( 1 )r h r hS e p S u p S d e p u p d? ? ? ? ? ? ?s r t t r h hs? ? ? ?D ? D ? D ? ?Varian of a stock’s return in According to Geometry Brown motion 2()sDhs?D ?h52 u d 1 p 1p 222 2 2( ) ( ) [ ( ) ] r a ndom v a r i a bl e ( ) ( 1 ) [ ( 1 ) ] , ,D Q E Q E Q f or QsD pu p d pu p d r u ds??D? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2212 ( 1 ) [ ( 1 ) ]()( ) 1rh rhrh rhpu p d pu p de u d ud ee u u e?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?1 / ,rhedu d p ud??? ?53 112212020112 2 2 222022202 2 202 l i m ( ) 1l i m ( ) 11 1 1l i m ( 1 ) ( 1 1 )2 2 2 1 ( 1 2 4 )l i m ( 1 ) ( 2 ) 2 2l i mrh rhhrh h h rhhhhhe u u ee e e erh r h h h h hrh r hrh h rhh rhh??? ? ? ????????????? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ????Substituting for u and d, the terms of higher than 2 power are ignored. ,u e d e? ? ? ????From Cox， Ross and Rubinstein(1979) 54 ? 美式期權(quán)可以提前執(zhí)行，提前執(zhí)行從表面上看是一個(gè)非常微小的變化，但是歐式期權(quán)與美式期權(quán)（尤其是看跌期權(quán)）價(jià)值有很大的不同。 Application: American option pricing 55 American option pricing S u S u2 S u3 SSS u S u2 S u4SS d S d3 S d S d2 S d2 S d41h2h3h4h56 ? 以無收益證券的美式看跌期權(quán)為例。 X = 50。 ? = 40%。 h = 1 month = (year)。 d = 。 p = rhe58 ? 為了構(gòu)造二叉樹，我們把期權(quán)有效期分為五段，每段一個(gè)月（等于 ）。 StockPrice = Columns 1 through 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Columns 5 through 6 0 63 OptionPrice = Columns 1 through 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Columns 5 through 6 0 0 0 0 0 0 64 Key conclusions ? 二叉樹模型的基本依據(jù)：假設(shè)資產(chǎn)價(jià)格的運(yùn)動(dòng)是由大量的小幅度二值運(yùn)動(dòng)構(gòu)成，用離散的隨機(jī)游走模型模擬資產(chǎn)價(jià)格的連續(xù)運(yùn)動(dòng)可能遵循的路徑。 ? 當(dāng)二叉樹模型相繼兩步之間的時(shí)間長度趨于零的時(shí)候，該模型將會(huì)收斂到連續(xù)的對(duì)數(shù)正態(tài)分布模型，即 BlackScholes方
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